柳卡图解行程问题

数学竞赛讲义之行程问题多车相遇例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，自隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿着电车线路骑车前往甲站。他出发的时侯，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？解：一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有15÷3-1=2辆车。所以当人骑车出发时，而甲站车时，在中途有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发车9辆时，甲到达，即有8个时间间隔，时间为5×8=40分钟。所以骑车行完全程的时间为40分钟。例73、某人沿电车路线行走，每隔12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的。求这个发车间隔。解：因为两辆电车的间隔目相等，两次相遇期间，共走了[〔行人+电车〕×4]，所以两辆电车的间隔为[(行人+电车)×4]，于是两辆车间隔时间为。两次追及期间，共行走[电车×12]，行人行走了[行人×12]，所以电车行走了[〔电车-行人〕×12],两辆电车的间隔为[〔电车-行人〕×12],于是两辆车的间隔时间为。于是有，所以3×〔电车-行人〕=电车+行人，即有：电车=2×行人。所以分钟。例74、从电车总站每隔一定时间开出辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上一辆迎面开来的电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。那么B距A点距离为BA=米C距A点距离为CA=82×10=820米所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒-10分钟=15秒=分路程为820–615=205米于是，电车的速度和为米/分于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(820+82)×10=9020米远。两电车间隔为9020米。所车间隔为9020÷820=11分钟。柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿弗尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿弗尔。轮船在途中需要7天7夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘勒阿弗尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来，一位数学家画出了“路程图”〔运程图〕，才得以解决。中途13艘，首尾2艘，共15艘。从图上可以看山，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看，当中一列(蓝色〉共有16行相交，除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列〔红色〕，相交数也是15。例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都为每小时60千米。早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一个站，问在哪两个相邻站之间，货车能与3列客车先后相遇？图像法：画出示意图，利用示意图求解，但是要求图像一定的精确度。所以，一般采用图像法与分析法结合使用，对有可能的情况进行分析。由上图可知，客车在5、6两站遇见三辆客车。分析法：客车从一个站到下一个站所需的时间为分钟所以客车到第一站的时间为第一站8时0分第二站8时分第三站8时分第四站8时分…………第十一站8时42分而客车出发时，第一辆货车距它千米所以客车与第一辆车相遇为8时分相邻两货车相距为千米所以，客车经过两辆货车的时间间隔为分钟那么客车与18辆货车相遇时间顺次为第一辆：8时分，即8时分第二辆：，即8时分第三站：，即8时分第四站：，即8时分第五辆：，即8时分……所以，客车在8时分到达第五站，8时21分到达第六站。在此期间，它于8时……，8时……，8时分三次与货车相遇。所以在第5、6两站之间，客车与货车三次相遇。例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4小时才能驶完全程。从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到到几辆？解：最多9辆，最少5辆例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后半程时，每人的速度都是固定不变的。他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。最先拍的是X，然后是Y，最后按快门的是Z。照片洗出后他们分别这样说:X：“我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是B、E、C、A、D，而且他们的间隔相等，都是30m”。Z：“我是在他们返回跑了30分钟后照的，当时五人的顺序是A、B、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是20m”。Y：“我是什么时侯照的，自己也没记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。”问：Y是在他们返回跑了几分钟时照的？解：先用图表示5个人的顺序变化。从上图可以看出，A、C、E经常处于间隔相同的状态，当A正好在B和C中间时，E也正好在C和D的正中间，因此5人中的间隔是相同的。为便于分析这个时间，在两侧B和C的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A线相交时，A就在B和C的正中间，所以可以求出这个时刻。这时，图中的两个阴影局部的三角形是相似三角形。因此，两个三角形的对应边的比〔相似比〕是30:60=1:2，所以m：n=1:2。5人的间隔相同，，即6分40秒也就是说，Y在他们返回来回跑了16分40秒后照的。【稳固练习】某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/小时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？优化设计★例78、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车那么从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？假设甲坐车时间为“1”，甲班行驶了1×7速度时，乙班行驶了1×1速度时，然后甲下车，汽车往回行驶，于是汽车与乙相遇，他们的路程差为7-1=6速度时，速度和8速度时，所需时间为时，于是乙步行时，换车；甲坐车1时，步行。因为甲乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样，于是甲乙坐车1时，甲乙步行时间1.75时。所以，坐车与步行路程比为于是步行路程为千米所以汽车停在距机场4.8千米处。例79、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？解：为了使两班最短时间到达，汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小，所以先让速度快得甲班先走，这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。假设甲班先行走时间为“1”，那么甲班行程4，乙班因为坐车行程48。现在行程差为48-4=44，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为44。车、甲速度和为4+48=52，于是需时，车、甲相遇。此时，甲行走，乙行走。所以，甲乙行程差为乙、车速度差为48-3=45，车追上乙时间为，于是乙行走了，甲行走了，所以他们的步行距离比为：所以甲乙两班步行的距离比为15:11方法二：甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇。最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了AD+DC。由于在这一过程中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即因此，，由此，例80、甲乙两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米。两人骑车的速度都是每小时20千米。那么两人从甲地到乙地最短需要多少小时？解：小李骑车到达甲乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑车，两人同时到达乙地。此时两人到达乙地需要时间最少。方法一方程法设甲丙距离为x，那么小李需要时间，小张需要时间因为同时出发，同时到达，所以小李、小张所需时间相等。于是，，所以千米于是所需时间为小时，即4小时45分钟。方法二比例法求出甲丙：丙乙的路程比。知道骑车“1”距离时间为，小李步行“1”距离时间为，小张步行“1”距离时间为。小李因走路程“1”耽误的时间与小张因走路程“1”耽误的时间之比为，因为所需时间相等，所以路程比为3:4。因为小李与小张的步行、骑车距离正好相反，所以小李步行路程为千米，所以甲丙路程为35-15=20千米。小李步行时间为小时，即4小时45分钟。例81、一条环形道路，周长为2千米，甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周。现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。甲步行的速度为每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米。请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点。那么环行2周最少要用多少分钟？解：求出甲乙步行的路程比。假设甲乙均始终骑车，那么甲乙同时到达。在一个单位路程“1”内，甲乙骑车所用时间：，甲步行所用时间：，乙步行所用时间：现在因步行耽误的时间比为：，于是步行的距离比应为耽误时间的倒数比，即4:3。又因为乙、丙速度相同，所以步行距离相等。于是甲乙丙步行距离比为：甲：乙：丙=4:3:3。因为有3人2辆自行车，所以始终有人在步行，一圈的距离等于甲乙丙步行距离和。〔注意到车子放在一周的不同地方，所以总有一人从一停车处走到另一停车处〕。于是甲步行的距离为？千米。于是骑车距离为2×2-0.8=3.2千米；所以甲需要时间为？=0.32小时。即0.32×60=19.2分钟。环形两周的最短时间为19.2千米。例82、以下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米，宽为150米。如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么从邮局出发走遍所以邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟？解：此题的关键是求出最正确路径，显然不满足一笔画，我们也要走到个个交点。观察上图，前两种路线有重复局部，而第三个路线比第四个路线长。所以第四种路线最短。至少要走3900米，有6×4-1=23个邮户。所以需3900÷200+〔6×4-1〕×0.5=19.5+11.5=31分钟。例83、有一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油。现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回。为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他得油给甲车。求甲车所能开行的最远距离。解：我们知道，甲车尽可能远，那么乙车离开甲车时，保证甲车行驶24天得汽油，那么还有24天的汽油，是甲乙到达乙车离开的地点，然后，乙车原路返回，所以24天得汽油，3车次到达乙车离开的地点，于是24÷3=8天。又甲车单独行驶的24天汽油，分成3局部，向前前进，返回至乙车离开地点，返回出发点。由于向前前进局部=返回至乙车离开地点，返回出发点=8天所以向前前进局部=〔24-8〕÷2=8所以，甲最远跑到8+8=18天得距离。16×200=3200千米。稳固练习习题14、一条“☆”形道路，周长为7千米，甲乙丙3人从同一地点出发，每人环形3周，现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。甲步行的速度为每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时6千米，3人骑车的速度都是每小时30千米。请你设计一种走法，使3个人2辆自行车同时到达终点。那么环形3周最少要用多少分钟？习题15、猴子爬窗吴尽的手风琴已经走了调，可他依旧弹奏不休，图中的那些人被他吵得要死。如果不打发一点钱，他是不会走的。现在，他的听众准备投降了。请你说出。他的那只叫乔科的猴子，将采取怎样一条最短的路线，带着一只锡碗从一个窗子爬到另一个窗子去向人家收钱？注意，猴子必须从现在的位置出发，最后回到它主人的肩膀上。如果每通过一个窗子需2分钟，等待别人的付钱1分钟，那么需要时间为多少？习题16、在百慕大三角洲内，轮船每天行驶50海里，每辆轮船带有可供50天的淡水；现在有“探索号”与“试验号”两艘轮船同时从同一码头出发，并在完成任务后，沿原路返回。为了让“探索号”尽可能开出远的距离，“试验号”在行驶一段路程后，仅留下自己返回码头所需的淡水，把其他的淡水给“探索号”。求“探索号”所能到达的最远航程？其他问题例84、龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑了2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，……，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？解：乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟。兔子如果不休息，那么需要时间5.2÷20×60=15.6分钟。注意到兔子休息的规律是跑1、2、3、……分钟后，休息15分钟。15.6=1+2+3+4+5+0.6有5个间隔，所以休息5×15=75分钟，于是，兔子跑到终点所需时间为15.6+75=90.6分钟。显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6=14.6分钟。例85、如以下图，8时10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点。甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D向A走去，8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上。问三角形BEF的面积为多少平方米？例86、某出租车的计价方式为：起价是2千米5元，往后每增加1千米〔最后缺乏1千米按1千米计算〕增加2元。现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙地先步行800米，然后再乘也要35元。问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱？解：35-5=30元，所以起价后付了30元，我们以起价后2元为1段。又先走800米，付的车费不变，所以，最后的一段路程为800-1000米之间，于是全程为2+30÷2-1+~=16+~所以半程为，为400-500米之间所以需支付5+〔8-2〕×2=19元。例87、如果在游泳池中用水拍打水面，就会有水波从拍打处向四周扩散，这时水波的速度仅仅和水的深度有关，如果游泳池的水深都一样的话，那么不管是站立打水还是边走边打水、轻轻打水、水波的扩散速度都将是一样的，水波真是奇怪的东西。在一个游泳池〔水深都一样〕里，放了一台10秒钟可以打出6个水波的机器。这台机器带有轮子，所以也可以一定的速度前进。水波是以每10秒钟12米的速度扩散。水波的最高处叫波峰，最低处叫波谷，请问：这台机器静止不动打水，从一个波峰到另一个相邻的波峰的距离是多少米？太郎以每10秒钟4米的速度面向正在静止站立打水的机器走去，太郎在10秒钟内可以碰上几次波峰？〔时间的计算是一个波谷正好到太郎的面前开始的〕。这回是机器以每10秒钟4米的速度朝着站立不动的太郎边走边打水，太郎在10秒钟内可以碰上几个波峰？〔时间的计算同上〕太郎和机器分别以每10秒钟4米的速度面对面地走，太郎在10秒内可以碰上几个波峰？〔时间的计算同上〕解：1、一瞬间产生的波以每10秒钟12米的速度扩散，在10秒内可产生6个水波。12÷6=2米2、10秒钟内，开始计数时的波谷从太郎原先的位置前进了12米，太郎前进了4米，其距离是12+4=16米，在这16米之间，宽度是2米的波有16÷2=8〔个〕，这8个波太郎都能遇上。3、波的速度不变，注意到相邻两个波之间宽度比原来小，就容易解决了。10秒后机器前进了4米，初始的波，10秒后距机器现在的位置为12-4=8米，由于波产生的速度没变，所以在10秒钟内产生的波都应在这个8米的距离之内。因此，从运动着的机器那里产生的波的宽度是，因为这个波是太郎原位未动时计数的。波的前进速度不变，10秒12米，所以〔个〕。4、同3，机器在动，所以波的宽度是。同2一样，太郎也在动，所以他在16米之间可能碰到的波的数量是〔个〕。非典型问题1、数论类例88、在一条环形公路上，n个车站被n段公路连接起来，车站所在地的高度有海拔50米和100米两种。相邻两车站假设海拔高度相同，那么它们之间的一段公路是水平的。否那么是上坡路或下坡路。有一个乘客汽车在这条环形公路上逆时针方向兜了一圈，发现有坡公路的段数与水平公路的段数一样多。求证：4|n。解：记50米高站位L，记100米高站为H，水平公路的连接方式为line〔L，L〕，line〔H，H〕，有坡公路为line〔L，H〕。平路与有坡公路段相等，那么line〔L，H〕=line〔L，L〕+line〔H，H〕又因为每1站车站都连接2条公路，所以每条公路完全占有两个车站。设line〔L，L〕有x条，line〔H，H〕有y条，那么line〔L，H〕有x+y条。所以在line〔L，L〕中有个L车站，在line〔H，H〕中有个H车站，共有个H车站。因为不管L、H都是整数，所以〔x+y〕为偶数，总车站数为L+H=2〔x+y〕=n所以4|[n=2(x+y)]例89、以下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？解：大小圆只有一个公共点〔内切〕，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一端点B。所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了圈，相距最远。于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了。因为速度相同，所以相同时间内路程相同，起点相同，所以，即，利用不定方程知识，解出n=4，m=4所以小圆甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。益智类例91、一条公共汽车线路，包括首尾两站共10站。首尾两站同时每隔3分钟相向发车一辆，每辆汽车行驶一个单程需要27分钟。要保证首尾两站随时都有车，至少需要多少辆汽车？解：从首站发向尾站的车，第1辆到达时第10辆正准备发车，该方向共10辆车；同理，相反方向也有10辆。所以共需要20辆车。例92、某路电车每隔5分钟从甲站发一辆电车到乙站，全程要走20分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站，他出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又迎面遇到了10辆电车，到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出。问：他从乙站到甲站用了多长时间？解：他一共看到12辆电车，他从乙站出发时第5辆电车正从甲站出发，他到达甲站时第12辆电车正从甲站出发，这中间共35分钟。例93、长途汽车在甲乙两地间运行，每天从甲乙两地同时相对开出一辆客车，单程需要三天时间，到达终点后，休整两天再按原路返回。为了保证这条线路上客运任务能正常进行，这条线路上至少应配备几辆车？解：一辆车两次从甲站出发间隔10天，所以需10辆车。例94、AB两地相距54千米，有18人共同骑7匹马由A地到B地去，每匹马每次只能驮1人，为了轮换休息，大家决定每人骑马行1千米轮换休息一次。问：每人骑马、步行各多少千米？解：7匹马共行54×7=378千米，即18人共骑马行378÷18=21千米，步行54-21=33千米。所以每人骑马21千米，步行33千米。例95、四只甲虫A、B、C和D处于一个边长10厘米的正方形的四端。A对准B，B对准C，C对准D，D对准A同时直接超前爬。如果所有的甲虫的爬行速度都一样，那么，它们的爬行轨迹将是四条一样的螺旋曲线，最终相交与这个正方形的中心。现在的问题是，当四只甲虫相距时，它们各自爬了多长的距离？解：因为四只甲虫的爬行速度是一样的，所以在爬行的过程中，不管它们彼此间的距离如何变化，这四只甲虫始终处于一个正方形的四个端点，随着甲虫距离的缩短，这个正方形不断地旋转和