抽样技术课后习题答案

第二章习题

2.1判断下列抽样方法是否是等概的：

（1）总体编号1〜64,在0~99中产生随机数r,若r=0或r>64则舍弃重抽。

（2）总体编号1〜64,在0〜99中产生随机数r,r处以64的余数作为抽中的数，若余数为0

则抽中64.

（3）总体20000〜21000,从1〜1000中产生随机数r。然后用r+19999作为被抽选的数。

解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机

原则抽取样本。第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的.第三，当用样

本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。

因此（1）中只有1〜64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）

是等概的。

2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y的定义和性质有哪些不同？

解析：抽样理论和数理统计中关于样本均值的定义和性质的不同

抽样理论概率统计

1n

y=-Ey,

定义n,=i

几2

1.期望£(y)=方⑴*)=方G)/=亍i.期望喇=：辛&)

i=li=l5

2=-[n/z]=/z

2.方差厂药(J不)

n

/=1

2.方差V(y)=E[匕一〃]2

C",2

性质

i=\5

L«/=)J

4S2

n12

2

=-£:(y.-A)

nn

2.3为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300

户进行，现得到其日用电平均值7=9.5（千瓦时），s2=206.试估计该市居民用电量的95%

置信区间。如果希望相对误差限不超过10%,则样本量至少应为多少？

解：由已知可得，N=50000,n=300,y=9.5,s2=206

]300

2

V（y）=v（Ny）=N上£$2=5000C?—迎理*206=170636666（

n300

Vv(^)=71706366666=4130819

该市居民用电量的95%置信区间为

[[Ny±7^00]-1475000+1.96*41308.19]

2

即为(394035.95,555964.05)

由相对误差公式W10%

y

可得1.96*^1-n50000*206<9.5*10%

即n2862

欲使相对误差限不超过10%,则样本量至少应为862

2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。

随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=0.35,是估计该大学所有本科生中暑假参加培训

班的比例的95%置信区间。

解析：由已知得：N=10000〃=200〃=0.35/=—=0.02

N

又有：E(i)=E(〃)=p=0.35V(p)=^^p(l-/?)=0.0012

n-\

该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：[E(5)土

~2

代入数据计算得：该区间为[0.2843,0.4157]

2.5研究某小区家庭用于文化方面(报刊、电视、网络、书籍等)的支出，N=200,现抽取

一个容量为20的样本，调查结果列于下表：

编号文化支出编号文化支出

120011150

215012160

317013180

415014130

516015100

613016180

714017100

810018180

911019170

1024020120

估计该小区平均的文化支出手，并给出置信水平95%的置信区间。

解析：由已知得：N=2(X)〃=20

_120

根据表中数据计算得：y=」-£y=144.5

20金

52=—!—yfv.-y)2=827.06842

20-1

V(y)=-(l-—)52=37.21808”(1)=6.1()01

nN'

该小区平均文化支出歹的95%置信区间为：口土Zq即是：［132.544,156.456］

2

故估计该小区平均的文化支出歹=144.5,置信水平95%的置信区间为［132.544,156.456］。

2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到

亍=1120(吨)，§2=2560,据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的

置信区间。

解析：由题意知：亍=1120/=—=^-=0.1429§2=2560ns=160

7N350

置信水平95%的置信区间为：丘土z.J匕/s］代入数据得：

2Vn

置信水平95%的置信区间为：［1079.872,1160.872］

2.7某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置

信水平95%,现根据以前的调查结果，认为总体方差整=68,是确定简单随机抽样所需的

样本量。若预计有效回答率为70%,则样本量最终为多少？

NZ,：S2

解析：简单随机抽样所需的样本量々=——一〃2=—j

Nd'zW〜70%

Za=1.96

由题意知：N=1000d=2S2=681

ACAAi”,=q=87.142。87

代入并计算得：々=61.3036。61-70%

故知：简单随机抽样所需的样本量为61,若预计有效回答率为70%,则样本量最终为87

2.8某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，

抽取10个企业调查今年的产量，得到丁=25,这些企业去年的平均产量为x=22。试估计

今年该地区化肥总产量。

解析：由题可知友=22,N100y=25

——y25

Y=X-==21.35—=24.26

则，该地区化肥产量均值「的比率估计量为X'24

A▲

该地区化肥产量总值Y的比率估计量为Y=NYR=100*24.26=2426

所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。

2.9如果在解决习题2.5的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表:

单位：元

编号文化支出总支出编号文化支出总支出

12002300111501600

21501700121601700

31702000131802000

41501500141301400

51601700151501600

61301400161001200

71401500171801900

81001200181001100

91101200191701800

101401500201201300

全部家庭的总支出平均为1600元，利用比估计的方法估计平均文化支出，给出置信水平95%

的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。

1n1

又=—Zxi=—(2300+1700+…+1300=1580

11

解析：由题可知i=i20

9=144.5

1445

我=r=上---二0.091

X1580

NR=又g=1600144.5

=146.329

又X1580

一»=826053

58

1n

22

Sv=—5—¥(%,-x)=8831579

故平均文化支出的95%的置信区间为

①-⑻-2Asyx+R"：),]R+Z「/2j一S一2双£+」S二)]

代入数据得(146.329+1.96*1.892)

即为[142.621,150.037]

2.10某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。现从中抽取10头，记录重量,

3个月后再次测量，结果如下：

单位：千克

编号原重量现重量

195150

297155

387140

4120180

5110175

6115185

7103165

8102160

992150

10105170

用回归估计法计算120头牛现在的平均重量，计算其方差的估计，并和简单估计的结果进行

比较。

1n1

解：由题可知，X=-Vx.=—(95+---+105)=1026

n白10

y=-yyi=—(150+---170)=163

10

1〃1

八百45丁⑼。72222

1〃I

邑，=—(%一刃(工]君=x*1317=146333

〃一1仁9

1fl1

22

Sv=—5—y(x,.-x)=±*9264=106933

〃一1片9

146333

故有功1.368

106933

所以总体均值F■的回归估计量为

y/r=y+/^(X-x)=163+1.368*(100-1026)=159443

其方差估计为：

—2£。5孙,)

i-12"

=^20(212222+1.36^*106933-2*1.368*146333

=1.097

而R(y)=匕/S?

n

1-10/

=——d2Q*212222

10

=19.454

显然之见)<0(历

所以，回归估计的结果要优于简单估

第三单元习题答案(仅供参考)

1解：⑴不合适

(2)不合适

(3)合适

(4)不合适

2.将800名同学平均分成8组，在每一级中抽取一名“幸运星”。

3.根据表中调查数据，经计算，可得下表：

h

NWhfhNySh

nhhYhhh

1102560.30330.039111.22867.294.4

2104200.49760.023825.510710302.5

3101680.19910.0595203360355.6

总计30844116937.2

a1一〜

•••Yst不ELNhyh=20.i

八加立匕等X匕警

=9.7681-0.2962

=9.4719

Jv(^)=3.0777

(2)置信区间为95%相对误差为10%,则有

按比例分配的总量：n=%=[WhS：=185.4407%85

V+丁匕VM

：•n1=nW1=56,n2=92,n3=37

按内曼分配:=175

:.n『33,n2=99,n3=43

4.根据调查数据可知：

h

Wh

10.180.9

20.210.933

30.140.9

40.080.867

50.160.933

60.220.967

Pst=E匕WhPh=0.924

根据各层层权Wh及抽样比fh的结果，可得

V(Pst)=^Zi=1N^l-fh)-^^=0.000396981

•••JV(&)=L99%

;估计量的标准差为1.99%,比例为9.24%

按比例分配:n=2663

A111=479,112=559,113=373,n4=240,n5=426,n6=586

内曼分配：n=2565

:.111=536,n2=520,n3=417,n4=304,115=396,n6=392

5.解：由题意，有

Y=Z匕yWn=75.79

・•,购买冷冻食品的平均支出为75.79元

又由V⑦_Wh)s2

又n=E匕nh/Wh

.,•V(y)=53.8086

Jv(y)=7.3354

•••95%的置信区间为[60.63,90.95]o

7.解：(1)对

(2)错

(3)错

(4)错

(5)对

12

8.解：(1)差错率的估计值齐一X70%+—X30%=0.027

」4357

估计的方差v(y)笈匕於3.1967X10一4

标准差为S（%=0.0179。

⑵用事后分层的公式计算差错率为y=Xj;=iWh（±2鬻yhi）=o.o3

mh

估计的方差为；V（9）=Xh据\EhWhS烂2.5726X10-4

9.解：（1）所有可能的样本为：

第一层第二层

X1X2

%y2

3,50,38,156,9

3,100,68,256,15

5,103,615,259,15

（2）用分别比估计，有ri=0.4,「2=0.65,所以用分别比估计可计算得丫=6.4。

用联合比估计，有r1=0.5,「2=0.625,所以用联合比估计可计算得丫=6.5。

第四章习题

4.1邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个群，每群

10户，现随机抽取4个群，取得资料如下表所示:

群各户订报数X)X-

11,2,1,3,3,2,1,4,1,119

21,3,2,2,3,1,4,1,1,220

32,1,1,1,1,3,2,1,3,116

41,1,3,2,1,5,1,2,3,120

试估计平均每户家庭订报份数及总的订报份数，以及估计量的方差。

ri4

解：由题意得到N=400,〃=4,M=\0,=0.01

N400

19+20+16+20

=1.875（份）

10x4

歹="j=10xl.875=18.75（份）

f=M-^•^=10x400=7500（份）

nMnMn-\~^

1-0,01（19-18.75）2+…+（2（）-18.75产

-4xl024-1

=0.00391875

v（r）=/V2M2vG）=4002xlO2x0.00391875=62700

于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875,估计量方差为0.00391875,

该辖区总的订阅份数为7500,估计量方差为62700o

4.2某工业系统准备实行一项改革措施。该系统共有87个单位，现采用整群抽样，用简单

随机抽样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政策改革措施的意见，结

果如下：

单位总人数赞成人数

15142

26253

34940

47345

510163

64831

76538

84930

97354

106145

115851

125229

136546

144937

155542

（1）估计该系统同意这一改革人数的比例，并计算估计标准误差。

（2）在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允许误差不

超过8%,则应抽取多少个单位做样本？

n15

解：题目已知N=87,n=15,f=—=—

N87

1）由已知估计同意改革的比例

n

二i=l

p=-需。.709

i=l

60.733

M=-YMi=

11_f1〃

V{p}=——L--y（y,-M）2=0.008687

Mnn-\~^

此估计量的标准差为

5（p）=Ji而=A/0.008687=0.9321

4.3某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员欲估计办公

费用支出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整理出办公费用的票据，

得到下表资料：

抽屉编号票据数费用额（%，百元）

14283

22762

33845

463112

57296

61258

72475

81458

93267

104180

要求以95%的置信度估计该集团办公费用总支出额度置信区间（a=0.05）。

解：已知N=48,n=10,f=—=、，由题意得X%=736,=365,

N48MM

则办公费用的总支出的估计为丫〜=—NI='48x736=35328（元）

〃M10

1"1

群总和均值了=上£弘=」-x736=73.6（元）

10

Z(y-9尸

道）二V（17）i=l

nn-\

4又2*ri

22

I48(83—73.6)2+(62-73.6)+...+(80-73.6)

x

109

1

182.4x-x3590.4

9

72765.44

7^(/)=269.7507

则户的置信度为95%的置信区间为3532.8±1.96x269.7507,即［3004.089,4061.5111，

4.4为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机抽样方法，从中抽出

20个小区域，测量树的高度，得到如下资料:

数目株数数目株数

平均高度目平均高度反

区域编号区域编号

Mi

（尺）（尺）

1426.211606.3

2515.812526.7

3496.713615.9

4554.914496.1

5475.215576.0

6586.916634.9

7434.317455.3

8595.218466.7

9485.719626.1

10416.120587.0

估计整个林区树的平均高度及95%的置信区间。

解：由已知得N=386,n=20,/-=-=—=0.0518

N386

工根为

整体的平均高度q=Q=上-----="丝=5.909

£区1046

i-i

1a

=52.3

方差估计值v(r)=v(^)=上------------

nM2n-\

=0.02706

_±_/白

标准方差5(F)=Vv(F)=Vo.02706=0.1644

在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为

(Ytt^-5(Y))=(5.909±1.96x0.1644)=(5.5868,6.2312)

4.5某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女生宿舍200

间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽

取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的抽样都是

简单随机抽样，调查结果如下表：

样本宿舍拍照人数样本宿舍拍照人数

1261

2070

3181

4291

51100

试估计拍摄过个人艺术照的女生比例，并给出估计的标准差。

M10

解：题目已知N=200,n=10,M=6,7/7=3,f.=2i_^_o.O5,f.=—=0.5

1N=200=2M

n

i=I

P—=0.3

nm10x3

1]_f1n

v(p)=—•-------Y(yi-p.fn)=0.005747

m-n

s(p)="而=Vo.005747=0.0758

在置信度95%下，p的置信区间为

(p±t.2后面＞=(03土L96x0.0758)=(0.1514320.44856&

4.6上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的调查，宿

舍间的标准差为5=326元，宿舍内同学之间的标准差为$2=188元。以一位同学进行

调查来计算，调查每个宿舍的时间％为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据

计算等工作，所花费的时间为C。是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的

样本宿舍和样本学生是多少？

解：由已知条件得到以下信息：

S1=326（元）$2=188（元）5=10（分钟）C2=l（分钟）c0=4x60=240（分

钟）

由此得到

c、,S335344

S?=106276,S；=35344,=5,一一=106276-=100385.33

12u1M6

因而取最优的m=2,进一步计算n°pt

由于总时间的限制C=480,由关系式

C=c（）+CIii+c2nm得到480=240+10nopt+2nop（

计算方程得到%=20,因而取n=20

则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2o

4.7某居委会欲了解居民健身活动情况，如果一直该居委会有500名居民，居住在10个单

元中。现先抽取4个单元，然后再样本单元中分别抽出若干居民，两个阶段的抽样都

是简单随机抽样，调查了样本居民每天用于健身锻炼的时间结果如下（以10分钟为1

个单位）：

单元i居民人数M,样本量叫健身锻炼时间y,7

13244,2,3,6

24552,2,4,3,6

33643,2,5,8

45464,3,6,2,4,6

试估计居民平均每天用于锻炼的时间，并给出估计的标准差。

（1）简单估计量

（2）比率估计量

（3）对两种估计方法及结果进行评价。

解：（1）简单估计

=—x(32x3.75+45x3.4+36x4.5+54x4.17)

=1650,

Y_1650_

则用u3.3,

初一500—

=—x660=165,

4

n八

2xy(K-y)222

所以vR)=N"l-力沙’,二汽MjQ-fQ丁

n«-1n/=|

分别计算

n人

2("匕)21

22

月----------=ix[(l20-165)+(153-165)2+062-165)2+(225-165)]

H-13

5778_

1926

3

405o4

32o2x(l-—)x2.92452x(l-—)x2.8362x(l-—)x7

寸Mil-启凡,232,45,36

i=l㈣454

6

54?2x(l-)x2.2

+---------------=462848

6

房「1N2(l—九)[“一工/—%)%2

斫“v(/)=----------------；---+—2------------

所以，Monn-\n(=1m,

=0.1155&0.04628况0.162

三I~~

所以标准差s(匕)=加(匕)=0.402

(2)比率估计

32x3.75+45x3.4+36x4.5+54x4.17

i=l=3.9532

±M,.32+45+36+54

i=i

京)"

2

度R)=

nn-\

二Y

其中心=-ci=l

M。

1=1

2)=四=0.0715

MJ

s(工)="&)=70.0715=0.2647

(3)•.•简单估计标准差s(%)=0402,比率估计标准差s(N)=0.2647

比率估计更好

第五章不等概抽样习题答案

5.1解：

分析题目可知“代码法”与“拉希里法”都是PPS抽样（放回的与规模大小成比例的不

等概抽样）的实施方法，而此题需要用此两种方法进行不放回抽样，故需进一步进行改进:

即采用重抽法抽取，如果抽到重复单元，则放弃此样本单元，重新抽取，直到抽到规定的样

本量且所有样本党员不重复：

MM

（1）代码法：由Zj=——可假设Mo=lOOOOOO,则Mi=ZiM0列成数据表为:

NAN011°

M。ZM]

i=l

PSU代码

M,累计Mj

11101101-110

21855618666111〜18666

3629998166518667〜81665

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