2020-2021学年聊城市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年聊城市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1,椭圆阳/+政2=1与直线工+了-1=0相交于AS两点，过中点M与坐标原点的直线的斜

率为yw,则一的值为（）

2M

AV2R2的C1D2

23

111

2.数列九｝满足的=1,且对任意的m,nCN*,都有&n+n=%n++mn^则丁+丁+丁----1"

a1

-^―=（）

a2015

些4030C2013D2012

"2015"2016'2014'2013

3.设嬲W虱%豆肉:抑W2以「器一辑一号，则函数“频礴=/特端黑号喉在区间?溷|上有零点

的概率是（）

4.若f（x）=3（%-1）1（1）+/,则"2）一尸（2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

5.下列说法正确的个数是（）

①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；

②系统抽样在总体均分以后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样;

③百货商场的抽奖活动是抽签法；

④系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外）.

A.1B.2C.3D.4

6,圆（x-3A+*=4与圆/+（y一与2=16的位置关系为（）

A.内切B.外切C.相交D.相离

7.等差数列｛an｝的公差d40,且的，a3,CI4成等比数列，Sn是数列｛an｝的前几项和，则言色的值

为（）

A.3B.|C.1D.1

8.正方体ABCD-的棱长为a,M为的中点，N为的中点，则幽时为（）

A.7B.比aC.V2aD.2a

22

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知曲线C：mx2+ny2=1,下列说法正确的是（）

A.若爪=几>0,贝UC是圆，其半径为查.

n

B.若m>0,n=0,则C是两条直线.

C.若n>?n>0,贝UC是椭圆，其焦点在y轴上.

D.若mn<0,贝北是双曲线，其渐近线方程为y=—

10.在如图所示的棱长为1的正方体aBCD-ABiGDi中，点P在侧面

BCQB］所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）

A.若点P总满足P4IB%,则动点P的轨迹是一条直线

B.若点P到点4的距离为则动点P的轨迹是一个周长为2兀的

C.若点P到直线2B的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆

D.若点P到直线4。与直线CG的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

11.设向量反=（一1,1）,3=（0,2），则下列结论正确的有（）

A.|a|=\b\B.（a-b）//b

C.（a—K）1aD.方与另的夹角为3

12.已知抛物线C：必二八的焦点为F，则下列结论正确的有（）

A.抛物线C上一点M到焦点F的距离为4,则点M的横坐标为3

B.过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4

C.过点（0,2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条

D.过点（2,0）的直线1与抛物线c交于不同的两点力（久口为），8（久2，>2），则为为=-8

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/（久）的图象在点处的切线方程为2x-y+1=0,则f（l）+r（1）=

14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：以

上结论中正确结论的序号为.（写出所有符合要求的图形序号）

@AB1EF-,

②AB与CM所成的角为60。；

③EF与MN是异面直线；

④MN〃CD.

15.以点(0,0)为圆心，r为半径的圆的曲线方程为工2+V=产.类比推出：以点(0。0)为球心，丁为

半径的球面的方程为.

16.已知抛物线,/=/斌上的点部到抛物线的准线距离为丛，到直线;fc-q睇噌期=/的距离为&2,

则d1+d2的最小值是一

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，己知直线I矛+丁一1=°以及4上一点尸(一2,3),直线12：4x+y=°,求圆心在乙上且

与直线4相切于点尸的圆的方程.

18.甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6,乙队获得的概率为04每场比

赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出.

(I)求甲队以二比一获胜的概率；

(H)求乙队获胜的概率；

(HI)若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由.

19.单调递增数列的前几项和为勾，且满足2Sn=a：+n,

(1)求数列国"的通项公式；

(2)数歹!J｛“｝满足即+1+log3hn=log3an,求数列｛加｝的前n项和心.

20.如图，在直角AABC中，AACB=90°,ZXBC=30°,。是AB的中点，F是8C上的一点，AF交CD

于点E,且CE=DE,将AACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小为120。.

(1)求证：平面AEF_L平面CBD；

(2)求二面角F-AC-E的余弦值.

21.已知椭圆G：5+S=l(a>6>0)的右顶点为P(l,0),过G的焦点且垂直长轴的弦长为1.

(I)求椭圆G的方程；

(口)设抛物线。2：y=/+h(heR)的焦点为尸，过F点的直线/交抛物线与4、B两点，过4、B两点

分别作抛物线。2的切线交于Q点，且Q点在椭圆Q上，求面积的最值，并求出取得最值时

的抛物线C2的方程.

22.某人年初用98万元购买了一条渔船，第一年各种费用支出为12万元，以后每年都增加4万元，

而每年捕鱼收益为50万元.

(1)第几年他开始获利？

(2)若干年后，船主准备处理这条渔船，有两种方案：

①年平均获利最大时，以26万元出售这条渔船;②总收入最多时，以8万元出售这条渔船.请你帮

他做出决策.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的问题，考查了利用点差法求解中点弦的问题。

设4（再。。3（孙必）。

X4-J-1=02

则有:/-二（加+〃）x'—2Hx+打一1=0,

mx"+ny2=1

In..一2打1m

二毛+巧=-----二=1-7+1—W=2-----=----

'm+打*'m-\-nm-\-n

m

则可知中点M的坐标为:

m+力w+wJ

n_

:.kw=3卫=巴=典

丁m2

故选：Ao

2.答案：B

解析：解：,•・对任意的m,nEN*,都有。血+九=+。九+?rm,且%=1,

「.令??2--17（弋入得，都有&i+i=a1+a九+九，则%1+1—=九+1,

。2—=2,。3—。2=3，…，。九一。九一1=九,

以上几—1个式子相加可得，an—ar=2+3+4+—\-n=⑺D6+2）,

2

则M=ai+（n-lXn+2）=1+（n-lXn+2）n+n

2

1_2_2_7,1___1_.

2

ann+nn（n+l）mn+Y

有+2+2+…+亳=2［（1_》+（;$+…+（盍一短）］

1、4030

=2（1-=

2016yJ2016，

故选：B.

令爪=1代入已知的式子得an+i-册=n，结合条件和累加法求出与，代入5化简后利用裂项相消

法求出式子的值.

本题考查等差数列的前n项和公式，累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前几项和，

属于中档题.

3.答案:C

解析：试题分析：所有酶网j的组合共有16种，函数崩墟=B丹嗨常#睇对称轴富=-媪-：：领，所

小

以要满足函数频谈=/小稀富#制在区间?留上有零点需满足「串:二伯:G;吱一鬲敬。1:独北决■H"—'®1满足上

'*,…仙⑶口领悟蹄书灌包一寓

』产V>"&，

式的急纲脸组合共有11种，所以概率为—

考点：古典概型概率

点评：古典概型概率需找到所有的基本事件总数及满足题目要求的基本事件种数，求其比值

4.答案:B

解析：解:求导/0)=31⑴+2x,

令久=1,则((1)=31(1)+2.解得1(1)=-1,

因此/(%)=-3(%-1)+7,1(%)=2%-3,

所以/(2)=-3+4=1.1(2)=1,

故/⑵—/(2)=0,

故选：B.

求导尸。)=3/(1)+2x,令x=1,解得尸(1)=-1,因此f(x)=-3(x-l)+x2,f'(x)=2x-3,

由此能求出f(2)一1(2).

本题考查函数值的求法，考查导数、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.答案：C

解析：解：对于①，总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，命题正确；

对于②，系统抽样在总体均分以后的第一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样，.•.②错误；

对于③，百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阉，命题正确；

对于④，系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)，命题正确；

综上，正确的命题有3个.

故选：C.

根据抽样方法的特征，对题目中的命题进行分析、判断正误即可.

本题考查了抽样方法的正确理解与应用问题，是基础题.

6.答案：C

解析：

本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题.

先求出两个圆的圆心和半径，再根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交.

解：这两个圆的圆心分别为(3,0)、(0,4)；半径分别为2、4.

圆心距为5,大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，

故选：C.

7.答案：A

解析：解：•.•等差数列｛即｝的公差dRO,且由，a3,成等比数列，

.•.(%,+2d产=%,•(附+3d),

解得%,=-4d,

.S4-S2_(4。1+亍，)-(2%+亍d)

s5-^3(5^+—d)-(3^+—d)

(-16d+6d)—(-8d+d)

一(-20d+10d)-(-12d+3d)

=3.

故选A.

由等差数列九｝的公差dW0,且a1，的，。4成等比数列，知(。1+2d)2=的•(的4-3d),解得的=一4d,

由此能求出汽1的值.

本题考查等差数列的通项公式和前几项和的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意等

比中项的合理运用.

8.答案：B

解析：解：在直角三角形4BN中，AN2=AB2+BN2,

在直角三角形C/iN中，CW=C]屏+当村2,

由于N为BBI的中点，则B]N=BN=：,

故AN=C[N=Jet2+3/a，

在等腰三角形ZCiN中，M为AC1的中点，

则MN12C1，AQ=V3a,

222222

MN=AN-AM=4-a--4a=-2a,

故MN=A,

2

故选：B.

由直角三角形的勾股定理和N为BBi的中点，推出B1N=BN=5,再由等腰三角形AC#中，M为46

的中点，应用勾股定理求出MN的长.

本题考查空间两点间的距离，考查正方体中对角线长，及直角三角形的勾股定理，等腰三角形的三

线合一，是一道基础题.

9.答案：ABD

解析：解：若机=71>0,贝北是一+必=工，表示圆，其半径为亚，所以A正确；

九n

若m>0,几=0,贝！JC是zu/=1,是两条直线，所以5正确；

%2V2

若九>771>0,贝IJC是丁+==1,是椭圆，其焦点在％轴上，所以C不正确；

mn

若nm<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±JW”，所以。正确.

故选：ABD.

通过小，n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项.

本题考查切线方程的应用，考查椭圆、双曲线、圆的方程对应的图形的判断，是基础题.

10.答案:ABD

解析：

本题考查空间中的轨迹问题，属于中档题.

A.根据BO】，平面AB4,判断点P的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C,由条件可转化

为|P8|+|PC|=1,根据椭圆的定义判断；。.由条件建立坐标系，求点P的轨迹方程，判断轨迹是否

是双曲线.

A.在正方体&C中，AC1BD,BB1L^^ABCD,力Cu平面ABC。，

所以BB]CiBD=B,u平面峭心。，所以4C1平面岫。/，

BD1u平面BB也D,所以AC1BD1,

同理AB11叫也CMC=44B1，4CU平面ABC所以B£>11平面ABC

而点P在侧面BCC/i所在的平面上运动，且P41BD],

所以点P的轨迹就是直线故A正确；

8.点P的轨迹是以力为球心，半径为鱼的球面与平面BCR/的交线，

即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r,

球心4到平面BCC/i的距离为1,贝*=J(V2)2-I=I-

所以小圆周长Z=2TTT=2兀，故8正确；

C.点P到直线力B的距离就是点P到点B的距离，

即平面BCC/i内的点P满足|PB|+|PC|=1=\BC\,

即满足条件的点P的轨迹就是线段BC,不是椭圆，故C不正确；

D如图，平面BCQB11平面力BCD,平面n平面ABCD=CB,

过P分别作PM1BC于点M,PMu平面BCC/i，则PM_L平面4BCD,

ADc^ABCD,所以PM14D,

作PE_LCG于点E,过M做MN1AD,连结PN,

PMCMN=M,PM,MNu平面PMN,所以ZD_L平面PMN,

PNu平面PMN,所以PN12D,

如图建立平面直角坐标系，设P(x,y),

PM=y,则PN2=l+y2,PE2=(1-x)2,

即l+y2=(1—x)2,整理为：(X—1)2—y2=L

则动点p的轨迹是双曲线，故。正确.

故选：ABD

11.答案：CD

解析：解：对于4因为五=(一1,1),3=(0,2)，

所以|利=V(-l)2+l2=V2,|h|=2,

所以|方|7|b|，所以A错误；

对于B由五=(一1,1),9=(0,2)，得苍一。=(一1,一1)，

而加=(0,2)，所以0—石)与了不共线，所以8错误；

对于C,由五一3=(—1,一1),a=(-1,1),

得0-b)-a=-lx(-1)+(-1)x1=0,

所以①―5与五垂直，所以C正确；

对于D,由五=(一1,1)石=(0,2),

得cos〈五,后)=袤=字而〈方花)6[0,呼

所以旧石＞=3,所以。正确，

故选：CD.

利用向量的模、向量平行、向量垂直、向量的夹角直接求解.

本题考查向量的运算，向量的模、向量平行、向量垂直、向量的夹角等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

12.答案：ABD

解析：解：抛物线C：*=曲的焦点为尸准线方程为尤=一1,

对于4设M的横坐标为%o，则由抛物线的定义可得，MF=X()+1=4,解得%0=3,故选项A正

确；

对于8,过焦点产的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2P=4,故选项B正确；

对于C,当直线的斜率不存在时，直线为x=0,与抛物线有一个公共点；

当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y=2时，与抛物线有一个公共点；

当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为y=kx+2,

联立方程组?，可得1/+4(fc-l)x+4=0,

则4=16(fc-I)2-16k2=o,解得k=I，

此时直线方程为y=?x+2,与抛物线有一个公共点.

综上所述，过点(0,2)与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误；

设过点(2,0)的直线方程为x=my+2,

联立方程组2'可得f-4叩-8=0,

则y，2=-8,故选项。正确.

故选：ABD.

利用抛物线的定义判断选项4由焦点弦中最短的为通径，即可判断选项2,由直线与抛物线的位

置关系判断选项C,由直线与抛物线联立，由韦达定理即可判断选项。.

本题考查了抛物线标准方程的应用，抛物线定义的运用，直线与抛物线位置关系的应用，在解决直

线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”

的方法进行研究，属于中档题.

13.答案：5

解析：解：・函数/(比)的图象在点M(l,/(1))处的切线方程为2x—y+1=0,

f(l)=k=2

将点/(I))代入2x-y+l=0得2xl-/(l)+1=0

•••/(l)=3

・••/(1)+/⑴=5

故答案为：5

首先根据导数的几何意义求出((1),然后将点M代入切线方程，求出/1),即可得出答案.

本题主要考查了导数的几何意义，解题关键是把握导数与切线斜率的关系，此题比较简单，属于基

础题.

14.答案：①③

解析：解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，

则4B1EF,EF与MN为异面，即①③正确----刁|“

直线AB〃CM,MN1CD,即②④错误

只有①③正确.

故答案为①③Fc

先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可.

本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和

推理论证能力，属于基础题.

15.答案：x2+y2+z2=r2

解析：解：设点P(x,y,z)是球面上的任一点，由|OP|=r,得J久2+产+z2=「,从而球面的方程是

x2+y2+z2=r2.

故答案为：x2+y2+z2=r2.

由空间两点的距离公式可得+y2+z2=r,化简可得结论.

立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面=空间，点=点或直线，直线=直线或平

面，平面图形=平面图形或立体图形.

16.答案：一

卷

解析：试题分析：点P到准线的距离等于点P到焦点尸(1,0)的距离，从而由=］碑1,设点尸到直线

警嘉一丹岁带脚=领的距离为d,则婿=!注网=—,

易知心+d2>d,故心+最小值为三.

考点：本题考查了抛物线的定义及点到直线距离公式。

点评：此类题解答策略主要有：一是根据题目条件适当选择未知量，建立目标函数，再求函数的最

值；二是利用抛物线的几何性质进行转化；三是根据题目条件建立多元等式，根据特点选择适当的

方法进行求解

17.答案：设圆心为,半径为尸，依题意，b=-Aa,设直线4的斜率&=一1，过巴C两

点的直线斜率如C,因FC'??,.-.^0=——-=h解得

一2一以

a=-\,b=A.r=\PC\=-j2.所求圆的方程为(x+川+8-4)=2.

解析：试题分析：本题是求圆的方程，只需求出圆心和半径即可.设圆心为C(a，»,半径为广，依题

意，3=—4a.设直线12的斜率居=T,过巴C两点的直线斜率5c,因尸1-L/a,那PC*=T

3-(-4a)

=------=1,解得“=T，B=4.r=\PC\=-^2.这样可以求出圆的方程.

—Z—a

考点：圆的标准方程和一般方程.

18.答案：解：(I)甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为R=废x0.6x

0.4X0,6=0.288.

(II)乙队以2：0获胜的概率为P'2=0,4X0.4=0.16；

乙队以2：1获胜的概率为PG=废0.4X0.6x0,4=0.192

二乙队获胜的概率为「2=0.42+废x0.4x0,6x0.4=0.16+0.192=0.352

(HI)若三场两胜，则甲获胜的概率2=0.62+废x0.6X0.4x0,6=0.36+0.288=0,648

或P3=1-P2=1-0,352=0.648；

若五场三胜，

则甲获胜的概率P'3=0,63+CfX0.62x0,4x0.6+C：X0.62X0.42X0.6=0,216+0.2592+

0.20736=0.68256

P3<P’3，

••・采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大.

解析：(1)甲队以二比一获胜的概率，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜.由已知条件一场甲队获

胜的概率为0.6,乙队获得的概率为0.4,结合独立事件的概率公式易得到结果.

(2)乙队获胜分为两种情况：一是2：0胜，一是2：1胜，可分别计算后相加得出结果.

(3)分别计算三场两胜制甲的胜率和五场三胜制甲的胜率，并进行比较不难得到答案.

若2事件发生的概率为PQ4)，B事件发生的概率为P(B),则

①48同时发生的概率为PQ4)P(8)；

@A,B同时不发生的概率为p/）p（3）;

③a不发生B发生的概率为PQ）P（B）；

④a发生B不发生的概率为p(A)p(a；

19.答案：解：(1)2Sn-a^+n,

n-1时2sl=讲+1

•••=1

当九>2,2Sn=d^+n,2szi_i=a^_r+n-1

两式相减可得，2Sn-2s九_i=嫌一成t+1

艮132azi=a^—+1

(an-1)2=an-l

•・•数列｛a九｝单调递增

,•>^n—1

・•・厮-Qn—1=1即数列｛距｝是以1为首项，以1为公差的等差数列

an=1+1x(n—1)=n

⑵-an+1+log3bn=log3an,

■-n+l+log36n=log3n即

n

••bn=尹

111

,』=1予+2予+…+n.布

11111

/=1予+2予+…+⑺一D•3"+i+n'3«+2

两式相减可得'|&=*+£+…+肃—展肃

—击(1一•1

解析：（1）由2szi=必+n，可求由，当九22,2Sn=a^+n,2szi_】=W_i+荏一1两式相减可得,

结合数列｛a九｝单调递增可得数列的项之间的递推公式，结合等差数列的通项公式即可求解

（2）由册+1+log3al=log3an,可求匕,利用错位相减求和即可

本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，数列的错位相减求和方法的应用

是求和的重点，要注意掌握

20.答案：(1)证明:。是AB的中点,AACB=90°,

CD—AD,

^ABC=30°,AC=AD,即4C=CD=AD,

ac。是等边三角形，

•••CE=DE,

••・折叠前4E1CD,EF1CD,

折叠后4E1CD,EF1CD,

JLAEnEF=E,AE.EF~-iv.AEF,

：.CD1平面AEF,

又CDu平面C8D,

平面4EF1平面CBD；

(2)解：以E为原点，EC为久轴，EF为y轴，

过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

由(1)可知N4EF为二面角4—CD—B的平面角,

所以N.AEF12()，

设CD=2,贝i」C(l,0,0),F(0,^,0),

4(0,—今|),E(0,0,0),

C4=(-l,-fCF=(-l,f,0),

设平面CZF的法向量五=(x,y,z),

r3

T+O

lncl-_X-VT3y-Z-

贝d2

u<

ITCF

n-%+V3y-O)

K-3-

取y=B，得元=(1,百

丽=(0,-*|)，正=(1,0,0)，

设平面力CE的法向量记=(a,b,c),

m-EA=-—b+-c=0

则一22」

Jm-EC=a=0

取6=V3,得行=(0,V3,l)>

设二面角尸-AC-E的平面角为仇由图可知。为锐角，

一一n-m

cosO=Icos<n,m>\=\—r,——rr

|n|•|mI

5,_

7V61

61•

••・二面角F-AC-E的余弦值为也.

61

解析：本题考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角、三角形等基础知识，考查思维能力、空

间想象能力，属于中档题.

(1)由已知得△4CD是等边三角形，且满足4F1CD,从而折叠后4E1CD,EF1CD,由此能证明

平面AEF1平面CBD.

(2)以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分

别求出平面C4F的法向量和平面力CE的法向量，利用向量法能求出二面角F-AC-E的余弦值.

21.答案：解：(/)由题意得解得［二j

Ia

・•.所求的椭圆方程为艺+/=1;

4

(〃)令4(久L好+ti),B(x2,X2+h),

22

设切线4Q方程为y—(%2+%)=fc(%—%1),代入y=%+/i,得：x—kx+kx1一好=0.

令&=0,可得k=2%i.

・•・抛物线C2在点/处的切线斜率为k=2xi.

・•・切线4Q方程为:y—(%i+h)=2xt(x—xt)f即y=2%i%—好十九①

同理可得BQ方程为：y=2X2X—X2+h②

联立①②解得Q点为(也产,乂62+Q.

焦点F坐标为(0,h+1),令/方程为：y=k久+h+%代入C2：y=x2+h,

得：x2—kx--=0,由韦达定理有：x+x=k,xx=-

4r24