向量的概念课件

向量的概念

基本内容

§1.1向量的概念

一、向量的定义：

既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等。

二、向量的表示：

用带箭头的线条表示向量，箭头表示向量的方向，线条长度代表向量的大

小；向量的大小又叫向量的摸（长度）。始点为A,终点为B的向量，记作初，

其摸记做陷。

注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外

我们一般用小写黑体字母a、b、c……标记向量.

三、两种特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零矢，以0记之。

注：零向量是唯一方向不定的向量。

2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量。特别与非0向量反同方向的单

位向量称为发的单位向量，记作.

四、向量间的几种特殊关系：

1、平行（共线）：向量a平行于向量b,意即a所在直线平行于b所在

直线，记作a〃b,规定：零向量平行于任何向量，

.\a\=国且

2、相等：向量a等于向量b,意即L与占同向,记作a=b。

规定：所有零矢均相等。

注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位

置无关的向量称为自由向量。

3、反向量：与向量。模相等但方向相反的向量称为白的反向量，记作一。，显

然-益=丽，-（-«）=«,零向量的反向量还是其自身。

4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量

总是共面的，零向量与任何共面向量组共面。

注：应把向量与数量严格区别开来：

①向量不能比较大小，如荔〉丽没有意义；

AB

②向量严禁除法运算，如无此类式子不允许出现。

§1.2向量的加法

一向量的加法定义：

定义1设13=砺，以扇与砺为边作一平行四边形CMC3,取对

角线向量。C,记万=前，如图1-3,称万为万与5之和，并记作1=2+5

（图1.1）

这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加

法的平行四边形法则.

如果向量万=石与向量后=幅在同一直线上，那么，规定它们的和是这样

一个向量：

若04与5豆的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等

于两向量的模之和（图1.2）.

（图1.2）

O

若与。百的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向

与模值大的向量方向一致（图1.3）.

（图1.3）

O-----------—C

由于平行四边形的对边平行且相等，可用以下方法来作两向量的和

定义2作=以5N的终点为起点作三=5,联接

（图1.4）得苕+S=OC="（1.2-1）

该方法称作向量加法的三角形法则.

向量加法的三角形法则的实质是：将两向量的首尾相联，则一向量的首

与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.

二、向量加法的运算规律

定理向量的加法满足下面的运算律：

1、交换律a+b=b+a,(1.2-2)

2、结合律(左+易+^=1+(3+3=1+3+5(1.2-3)

证交换律的证明从向量的加法定义即可得证，结合律的证明从图1.5可得证.

三向量的减法

定义3若己=计3,则我们把后叫做5与在的差，记为后="一公显

然，1-5=1+(—5),特别地，a-a=a+(-a)=O

由三角形法则可看出：要从才减去后，只要把与否长度相同而方向相反的向量

一彳加到向量1上去.由平行四边形法则，可如下作出向量万一占(图1.6).

例1设互不共线的三向量&、*与3,试证明顺次将它们的终点与始点相

连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.

证必要性设三向量方、石、5可以构成三角形3c(图1.7),

即有

AB=a,BC=b,CA=c

那么，

AB+BC+CA=AA=O,

即

〃+1+c=0

充分性设a+B+c=6,作AB=a,BC=b,那么AC=a+b所以

AC+c=O,从而5=豆，所以］、后、5可以构成三角形3c.

例2用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

证设四边形45cZ）的对角线RC、BD交于。点且互相平分

（图19）

（图1.9）因此从图可看出：

AB=AO+OB=OB+AO=Dd+OC=DC

=

所以,AB//DC,KMM,即四边形ABCD为平行四边形.

§1.3数量乘向量

一、数量乘向量的定义

定义1设工是一个数量，向量茂与4的乘积是一向量，记作力甚，其模等

于同的4倍，即根团=回同；且方向规定如下：当工＞°时-，向量的方向

与反的方向相同；当4=°时，向量兄&是零向量，当外〈°时，向量外茂的方向

与应的方向相反.特别地，取工=-1,则向量（一1）&的模与&的模相等，而方向

相反，由负向量的定义知：（一1）七=一在.

二、数乘向量运算的运算规律

定理2.数量与向量的乘法满足下面的运算律：

1、结合律处⑷="（如=（四）左，（1.3-1）

2、第一分配律（4+〃*=41+〃汉（1.3-2）

3、第二分配律4"+易=41+密.（1.3-3）

证1、显然，向量以3左）、〃（如、的方向是一致，且

|N（向I=1〃（总）1=（4〃）£=/川I].

三、一个常用的结论

定理3.若后=兄&（几为数量）,则向量a与向量3平行，记作在〃不；反之,

若向量1与向量3平行，则*=尢2（4是数量）.

简言之，在"后=三数；I,使后=41.

设在是非零向量，用日°表示与&同方向的单位向量.

由于同日°与"同方向，从而同日°与在亦同方向，而且

|同.泊卜同叔。|二团

ta_1-_亘

即。=同a°.我们规定：若N。0,4—2".于是4=同.

这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.

了一后+5（—1后+^^

I25）

例1化简

11」11占一3不）_（511-

«_g+5-*5&+=（1—3）«+-1——+—・5b

解I/V25；

c-51

=-2a-—b

2

例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.

->T—>—>

证明AM=MC.BM=MD而

AD=AM+MD=MC+BM=BC

则ib与病平行且相等.命题得证.

向量的线性关系与向量的分解

基本内容

§1.4向量的线性关系与向量的分解

一、定义和几个定理

定义1由向量与数量4,办…，4所组成的向量

TT—>—>—>—>

日=4%+劣％+■••+4%叫做向量即%•••,%的线性组合，或称在可以用向量

，,%一•,%线性表示或称1可以分解成向量%，％，…，%的线性组合.

定理1如果向量一。o,那么向量；与向量一共线的充要条件是；可用向量一线性表示,

即存在实数x使得；=X),(1.4-1)并且系数x由5与,唯一确定.

证若「=x&成立，那么由定义1知向量5与向量e共线.反之，如果向量;与向量e共

线，那么一定存在实数x使得>=X)

再证x的唯一性：

如果r=xe=x'e,那么(*一*%=°,而所以，x=x'.

TTTTTT

定理2如果向量不共线，那么向量：与铸出?共面的充要条件是,可用向量4，°2

TT

线性表示，即尸=".+丁&2,(142)并且系数冗了由

6,生唯一确定.

7?*->TTTTTTTTTT

证因明与弓2不共线，由定义］知工4〃/,丁的〃6品工o,e2工0设；与。1,生中之

一共线，那么由定理1有产="6+了°2,期>zy中有一个为零；如果［与马了？都不共线,

把它们归结共同的始点。，并设。玛=%，°坊=。2,OP=r,

那么经过7的终点产分别作

。外，。当的平行线依次交直线耳

r、T

于48(图)，因血和，0BII62

由定理1可设3=工6,OB=ye2,所以由平行四边形法则得

TT

OP=OA+OB,即尸=叼+—

TTTT

反之，设厂=”.+了&2,如果见,中有一个为零，如X=0,那么产与电共线,

因此与6，°2共面.如果孙工°,那么

TTTT

叼〃/,庶2〃牝，

TTTT

从向量加法的平行四边形法则知；与工6/°2都共面，则;与.,82共面.

最后证不了的唯一性.因为

,

r=xex+ye2=xe1+y'e2,

那么

（x-x'.i+O-y'M=6,

,3=-3]

1J,t

如果XWX’，那么X—X,，将有4〃备，这与假设矛盾，所以x=x'.同理y=y,

这就证明了唯一性.

34..TTT

定理3如果向量收便“小不共面，那么空间任意向量；可以由向量的道2/3线性表

示，即存在一组实数苞了/使得

「=应+总+z1,（143）

TTT

并且系数苞了*由%,02,%亍唯一确定.

—>—>—>

定义2对于力（*1）个向量％%・••，4,若存在不全为零的实数4,人，…，4,使

得4%+4%+…+4%=G,（1.4-4）则称向量

TTT

%，％，…，外线性相关

TTT

不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量％，）2,…,%线性无关：

4.+42a2+…+4«a*=oQ4=%=一・=4=。

定理4在附22时，向量&1，%，…，%线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是

其余向量的线性组合.

TTT

证设向量的‘生，…，/线性相关，则存在不全为零的实数使得

TTT一

4%+%%+…+4%=0,且％，外，…，4中至少有一个不等于O,不妨设°,

则

TTTT

反过来，设向量的中有一个向量，不妨设为%,它是其余向量的线性组合,

即

即

4%+42a2+…++（T）%=0

T

因为数4'%'…，-i不全为o,所以向量的线性相关.

显然，如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.

如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关

类似地可证明下面的定理：

定理5两向量F与e共线=r，e线性相关.

TTTT

定理6三向量尸与共面6，。2,产线性相关.

定理7空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.

例1试证明：点"在线段上的充要条件是：存在非负实数瓦〃，使得

OM=ZOM/aOB且4+〃=1,其中。是任意取定的-点.

0<AM<一4£

证（先证必要性）设W在线段力8上，则金河与上8同向，且,所

以，0<^<1.

任取一点°，所以

OM-OA=k（pB-OA）

则

OM=（y-k）OA+kOB

取4二1一左,〃二上则4+〃=1220,〃20

TTT

（充分性）若对任一点。有非负实数瓦〃，使得0凶=204〃°£,且4+〃=1则

所以而与金方共线，即M在直线A?上.又O=,所以M在线段工夕上.

小结

.§1.4向量的线性关系与向量的分解

一、定义和几个定理

—>—>T

定义1由向量％，%，…，%与数量4,4，•••，4所组成的向量

TTTTTT

a=4%+%%+…+4%叫做向量%%，“、%的线性组合,或称臣可以用向

TTTTTT

量%,线性表示,或称左可以分解成向量固,%,…,％的线性组合.

定理1如果向量那么向量；与向量5共线的充要条件是,可用向量一

线性表示，即存在实数X使得；=♦,（L4T）并且系数X由J与；唯一确定.

证若广=xe成立，那么由定义1知向量r与向量e共线.反之，如果向量广与

向量一共线，那么一定存在实数x使得；=♦

再证x的唯一性：

如果r=xe=x'e,那么（“一工）”。，而e。。，所以，z=/

TTTT

定理2如果向量，，牝不共线，那么向量,与，道2共面的充要条件是「可用

TTTT

向量。1，。2线性表示，即尸=21+,62,（1.4-2）并且系数冗了由

TT

，启，r唯一确定.

（7->TTTTTTTTTT

证因叫与。2不共线，由定义1知工/〃6,”2〃。2品工0gH0.设,与,道2

TT

中之一共线，那么由定理1有尸其中无了中有一个为零；如果,与

TT

e

.，备都不共线,把它们归结共同的始点。,并设°E\=i,OE%=e2,OP=r,

那么经过7的终点产分别作

S\的平行线依次交直线。%，。％

于48（图），因血场，OBHe2

T—TT

由定理1可设加=工6,0B=y5,所以由平行四边形法则得

TT

OP=OA+OB,即尸

TTT

反之，设尸=".+了。2,如果冗了中有一个为零，如工=0,那么尸二丁6与

TTT

°2共线，因此与共面.如果孙工0,那么

叼〃/山2〃。2

TTTT

从向量加法的平行四边形法则知7与工6，”2都共面，则,与色，备共面.

最后证不了的唯一性.因为

r=^1+ye2=^ei+y'e2,

那么

f/

(x-x)e1+(y-y)e2=6,

；=,221Z；--

如果XHX',那么1x-/2,将有6〃马，这与假设矛盾，所以x=x’.同理

y=V,这就证明了唯一性.

・•，.TTT

定理3如果向量抑(不共面，那么空间任意向量7可以由向量与，叼道3

线性表示，即存在一组实数兄使得

r=x&1+ye2+ze3；(1.4-3)

TTT

并且系数无y，z由4,❷品/唯一确定.

TTT

定义2对于用色之1)个向量%，%「•，％,若存在不全为零的实数

TTT_

儿孙…人,使得4%+为。2+…+4%=0,(1.4-4)则称向量

TTT

%，％，…，/线性相关.

TTT

不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量%，％，…，%线性无关：

4以1+22d2+…+兄及。畜=o=4=%=…=4=。

TTT

定理4在%22时向量的，&2产1%线性相关的充要条件是其中至少有一个

向量是其余向量的线性组合.

证设向量线性相关，则存在不全为零的实数血石，…，4使得

TTT一

4%+4的+…+&%=0,且4，石，…，4中至少有-个不等于o,不妨设

9

则

反过来，设向量中有一个向量，不妨设为陶,它是其余向量的

线性组合，即

a*=+442+…+4-1外-1,

即

441+&的+…+4-1即-1+(-1)即=o.

TT—>

因为数4,4，…，为1,-1不全为o,所以向量劣，叫「1%线性相关.

显然，如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.

如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关

类似地可证明下面的定理：

定理5两向量r与e共线=”线性相关.

TTTT

定理6三向量尸与共面鼻，生，产线性相关.

定理7空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.

例1试证明：点M在线段工8上的充要条件是：存在非负实数无”，使得

国=4藐〃电且2+"=1,其中。是任意取定的一点.

_0<AM<AB

证（先证必要性）设河在线段48上则上股与上月同向，且，

所以,0<k<\.

任取一点°，所以

OM-0A=k（0B-0A）

则

OM=（y-）e）dA+kOB

取4=1—左,〃=左则儿+〃=1220,〃20

—>—>T

（充分性）若对任一点。有非负实数儿”，使得。M=4Q41"〃。？，且

2+4=1则

所以次与上方共线，即心在直线为8上.又°工〃<I,所以M在线段上.

小结

§1.5标架与坐标

一空间点的直角坐标：

平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与…对有序数组（无沙之间的一一

对应关系，沟通了平面图形与数的研究.

为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过

引进空间直角坐标系来实现.

1、空间直角坐标系

过空间一定点°,作三条互相垂直的数轴，它们以°为原点，且一般具有相

同的长度单位，这三条轴分别叫X轴（横轴）、丁轴（纵轴）、Z轴（竖轴），且统称

为坐标轴.

通常把X轴，了轴配置在水平面上，而Z轴则是铅垂线，它们的正方向要符

合右手规则：

（图1.⑶

右手握住Z轴，当右手的四个指头从X轴的正向以90。角度转向了轴正向时,

大拇指的指向就是z轴正向.

三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点。叫做坐标原点.

注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把无轴与了轴间的夹角画

成130。左右.当然，它们的实际夹角还是90。.

2、坐标面与卦限

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐

标面.

由x轴与了轴所决定的坐标面称为柒少面，另外还有xoz面与户区面.

三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.

（图L14）

3、空间点的直角坐标

取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应

关系.

设般为空间的一已知点，过凶点分别作垂直于X轴、了轴、z轴的三个平

面，它们与x轴、了轴、z轴的交点依次为尸，0，及，这三点在x轴、了轴、z轴

的坐标依次为冗于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组冗MZ,这组

数叫加"点的坐标.

依次称不HZ为点N的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为

（图1.15）

反过来，若已知一有序数组冗y，z,我们可以在k轴上取坐标为x的点产，

在了轴上取坐标为丁的点0,在Z轴取坐标为Z的点正，然后过尸、Q、五分别

作K轴、了轴、Z轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是以有序数组XJ，Z为

坐标的空间点.

这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点可和有序数组元y，z之间的

--,对应关系.

定义1我们把上面有序数组/KZ叫点N在此坐标系下的坐标，记为

二空间两点间的距离公式

定理1设弧/，必，4)、初式叼仍向)为空间的两点，则两点间的距离为

d=1MM1=+(%-4)'+(Zi-zj'(1.5-1)

证过加;、％各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个

以"2为对角线的长方体，如图所示

"孔笆是直角三角形，故

d2=陷必F=+

因为△%尸"是直角三角形，故

|M2vf=+|P2V|2

从而

d1=IM邛+户/2+1年f；

而

附出=用固=卜2-讨，|PN|=IQQ|=I力-川,叫|=|耳&卜卜2-町|,

故

特别地，点M（xJ，z）与坐标原点°（0,0,0）的距离为

d=J/+y2+z2

三空间向量的坐标

定义2设司后风是与坐标轴xj,z同向的单位向量，对空间任意向量：都

存在唯一的一组实数XJ/使得尸=痴1+丁，2+Z&,那么我们把这组有序的实数

x,y,z叫做向量r在此坐标系下的坐标，记为尸｛xj，z｝或尸=｛x.y.z｝

定理2设向量弧舷2的始、终点坐标分别为监乞，必，4）、此（与必用），

T

那么向量舷】取2的坐标为

%舷2=｛々一孙乃一必工2-卬.（1.5-2）

证由点及向量坐标的定义知

0M\=内为+y1e2+z1e3,OM2=x2%+y2e2+z3&3,

所以

由定义知

定理3两向量和的分量等于两向量对应的分量的和.

证设

a=｛々Ji，zj,♦=询乃㈤,

那么

=+

=(々+电,1+01+乃)e?+(Z1+Z2”3,

所以

。+1=｛再+巧,乃+乃,Zi+z2｝.(1.5-3)

类似地可证卜面的两定理：

定理4设1=必与},则然'={秩,为2,@3}.

定理5设。=(和乃，zj,b={x2,y2,z2]f则工彳共线的充要条件是

^(1.5-4)

定理6三非零向量彳={和为，/},后={叼，刈，22},}={%,乃,Z3},共面的

充要条件是

玉必4

勺y2ZQ=0

今乃.(1.5-5)

证因为瓦不共面，所以存在不全为o的实数2区/使得

4a+诵+yc=0,

由此可得

因为4，〃，/不全为0,所以

不弘入

电y2Z2=0

入3%Z3

定理1向量次在轴“上的投影等于向量的模।与।乘以轴乂与向量下的

夹角*的余弦.即

prjAB-L45cos^)

u(1.6-1)

小结

§1.