浙江省台州市五校2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题

浙江省台州市五校2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．2．设复数满足，则（）A．1 B．2 C． D．3．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．4．若，则（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知，则下列三个数，，（）A．都不大于-4 B．至少有一个不大于-4C．都不小于-4 D．至少有一个不小于-46．函数的部分图像大致为（）A．

B．

C．

D．

7．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（）A．60种 B．90种 C．150种 D．240种8．是定义在上的非负､可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（）A． B．C． D．9．已知函数，则是不等式成立的的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（）A．-9 B．-7 C．-6 D．-4二、双空题11．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为________；函数的极大值点为________.12．在二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，项的系数为________；各项系数之和为________.(用数字作答)13．已知复数若复数是实数，则实数________；若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.14．若随机变量，且，则________；________.三、填空题15．用数学归纳法证明：时，从“到”时，左边应增添的代数式为________.16．在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有________种涂色方案.17．已知方程的两实根为，，方程的两实根为，，且，则实数的取值范围为________.四、解答题18．已知函数，(其中).（1）求的最小值；（2）当，时，试比较与的大小，并证明你的结论.19．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.20．2021年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21．设常数，函数.（1）若为奇函数，求的值，并说明理由；（2）若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围.22．设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．参考答案1．B【分析】先求补集再求交集即可得结果.【详解】由，集合，，则，，故选：B.2．D【分析】利用复数的除法运算得到复数，再求得模长得解【详解】,故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算及模长，属于基础题.3．D【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．4．B【分析】令可得：，令可得：，相加即可得解.【详解】令可得：，令可得：，两式相加可得：，所以，故选：B5．B【分析】利用反证法设，，都大于，结合基本不等式即可得出结论.【详解】设，，都大于，则，由于，故，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数，，至少有一个不大于，故选：B.6．C【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及特殊值代入，即可判断和选择.【详解】容易得定义域为关于原点对称，又，，故函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D.当时，，故排除A.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象；（5）从函数的极限，排除不合要求的图象.7．C【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有所以一共有故选：C【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.8．A【分析】构造新函数求导利用新函数的单调性得解.【详解】设则因为；所以时，则函数在上是减函数或常函数；所以对任意正数a，b，若，则必有是定义在上的非负､可导函数,两式相乘得故选A【点睛】本题考查导数的运算，构造新函数，利用函数单调性比较大小，属于中档题..9．A【分析】先判断是偶函数，可得，在单调递增，可得，解不等式即可得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以是偶函数，所以当时，单调递增，根据符合函数的单调性知单调递增，所以在单调递增，因为，所以，所以，所以，解得：或，所以不等式成立的的取值范围是：故选：A【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.10．C【分析】画出函数的图象，对，分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【详解】解：函数的图象如图所示，①当时，化为，当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又，，，则，当时．由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为，又，，，则，②当时，对于，，解得，只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，，舍去．可得：实数的最小值是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．11．【分析】根据奇函数的定义，得到，即，确定函数解析式，函数求导得切线的斜率，利用函数的单调性求得极值点.【详解】因为函数是奇函数，所以，从而得到，即,所以，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，，则，所以函数在上是减函数，在是增函数，所以函数的极大值点是故答案为:；【点睛】本题考查利用导函数求函数在某点处的切线方程及函数极大值点，属于基础题..12．【分析】利用已知条件得到，利用二项式展开式求出，令求出各项系数之和即可.【详解】由题意得：，，当；可得项的系数为，令，可得各项系数之和为：.故答案为：；.13．【分析】根据复数的定义和复数的几何意义解答．【详解】为实数，则，解得或，又，所以．对应点在第二象限，则，解得．故答案为：；．【点睛】易错点睛：本题在利用复数的定义求出的值时：，必须注意实部的表示法，它是由对数给出的，因此求出的结论必须使对数式有意义，即通常所说的定义域．否则易出错．14．【分析】利用随机变量，，先求出，再利用，求解即可.【详解】由随机变量，则，，所以；；故答案为：；.【点睛】结论点睛：若随机变量，则，，.15．【分析】分别写出和时的式子左边，两式相比即可得出增乘的式子．【详解】解：时，左边，当时，左边，需要增乘的式子为．故答案为：．16．4100【分析】分类讨论：、、三个区域用同一种颜色，用2种颜色，用3种颜色，由分步计数原理可得结论．【详解】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数有，考虑、、三个区域用2种颜色，共有方法数有，考虑、、三个区域用3种颜色，共有方法数有，故总计有方法数．故答案为：4100．【点睛】本题考查分类计数原理和分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步？本题完成涂色这个事件，采取的是先分类：按、、三个区域所用颜色数分三类，然后每类再分步，每类里先涂色、、三个区域，然后再涂色其它三个区域．17．【分析】把问题转化为函数与，两个函数的交点问题，画出图像，观察即可得出结果.【详解】由方程的两实根为，，，则，转化为两个函数的交点问题，由方程的两实根为，，转化为两个函数的交点问题，画出函数的图像，如图所示：又，观察图像可得：.则实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有实根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.18．（1）；（2），证明见解析．【分析】（1）由二次函数的性质求得最小值；（2）用数学归纳法证明．【详解】（1）由题意时，，即；（2）时，，下面用数学归纳法证明：（i）时，，，成立，（ii）假设时，命题成立，即，则时，,因为，所以所以时命题为真，综上当时，．【点睛】比较与正整数有关的两数的大小方法：（1）作差法，作差后与0比较大小；（2）函数法，作差后引入函数，利用函数的单调性得出大小关系；（3）放缩法，利用不等式的性质证明大小关系；（4）数学归纳法法，取特殊值，归纳出大小后肜数学归纳法证明．19．（1）；（2）和【分析】（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开式中系数最大的项.【详解】（1）由题意可得：，得，的展开式通项为，，要求展开式中有理项，只需令，所以所以有理项有5项，（2）设第项系数最大，则，即，即，解得：，因为，所以或所以，所以展开式中系数最大的项为和.【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题20．（1）；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：（1）判断随机变量的可能取值；（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；（3）列表写出随机变量的分布列；（4）利用期望公式求值21．（1）；（2）【分析】（1）由于函数是奇函数，可得，解出即可得出．（2）当时，．可得函数在，单调递增，分别由，，化为：，，因此方程由不相等的正实数根．可得△，，，解出即可得出，当类似处理即可得解．【详解】解：（1）函数．函数是奇函数，，，化为：．解得．经过验证：都满足题意．（2）时，．则函数在，单调递增，，，由，化为：，由，化为，方程有不相等的正实数根．△，，，联立解得：．当时，函数在和上单调递减依题意可得，相减得即，即，解得，此时，且或当时有解，故此时．当时无解，实数的取值范围是．【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数的值以及指数型复合函数的单调性与最值求参数的取值范围，函数为奇函数则，复合函数的单调性由内外层函数的单调性确定，根据“同增异减”的规则来确定；22．（1）若，在（-∞，+∞）上单调递增；若，在单调递减，在上单调递增；（2）【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当x>0时，(x