2023湖北省荆州市中考数学真题试卷和答案

荆州市2023年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．★祝考试顺利★一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）11.在实数1，3，2，3.14中，无理数是（）A.1

B.

3

C.

12

D.3.142.下列各式运算正确的是（）A.3a2b32a2b3a2b3

B.a2a3a6C.a6a2a3

D.

a2a

53.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）A.主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B.左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C.俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形4.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系试卷

I

UR

．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）

133A.

B.

C.

D.5.已知k

2

5353，则与k最接近的整数为（）A.2

B.3

C.4

D.56.为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x,x,,x，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）1210A.这组数据的平均数C.这组数据的众数

B.这组数据的方差D.这组数据的中位数7.如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，BD80，EF47，则图中G的度数是（）A.80

B.76

C.66

D.568.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）yx4.5A.0.5yx1yx4.5C.0.5yx1

yx4.5B.y2x1yx4.5D.y2x19.如图，直线y

32

x3分别与x轴，y轴交于点A，B，将OAB绕着点A顺时针旋转90得到CAD，则点B的对应点D的坐标是（）试卷

2A.

2,5

B.

3,5

C.

5,2

D.

13,210.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OBAC于D．若AC3003m，BD150m，则AC的长为（）A.300m

B.200m

C.150m

D.1003m二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.若a1(b3)20，则ab___________．12.如图，CD为RtABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC8，CD5，则DE___________．13.某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有___________人参与A类运动最多．14.如图，AOB60，点C在OB上，OC23，P为AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为___________．试卷

315.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30，底部C的俯角为60，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为___________m．（31.73，结果精确到0.1）16.如图，点A2,2在双曲线y

kx

(x0)上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC2，则点C的坐标是___________．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）2xy17.先化简，再求值：xy

x22xyy2xyx2y2

11218.已知关于x的一元二次方程kx22k4xk60有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k1时，用配方法解方程．19.如图，BD是等边ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接试卷

4xy，其中x，yxy，其中x，y(2023)0．DE．求证：CDCE．20.首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．组别ABCDE

身高分组155x160160x165165x170170x175175x180

人数32m54根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的m___________，扇形统计图中的度数是___________；（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．21.如图，在菱形ABCD中，DHAB于H，以DH为直径的O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．试卷

5（1）求证：①CD是O的切线；②DEF∽DBA；（2）若AB5，DB6，求sinDFE．22.荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．23.如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作123，其中1与3的一边分别是射线AB和射线BA，2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．（1）如图2，在53个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；试卷

6（2）如图3，在RtAPC中，A90，ACAP，延长AP至点B，使ABAC，作A的等联角CPD和PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB1:2，BF

2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．24.已知：y关于x的函数ya2x2a1xb．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a4b，则a的值是___________；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A2,0，B4,0，并与动直线l:xm(0m4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S，CDE的面积为S．12①当点P为抛物线顶点时，求PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，试卷

SS1

2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

7荆州市2023年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．★祝考试顺利★一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）11.在实数1，3，2，3.14中，无理数是（）A.1

B.

3

C.

12

D.3.14【答案】B【解析】【分析】根据无理数的特征，即可解答．【详解】解：在实数1，3，1，3.14中，无理数是3，2故选：B．【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．2.下列各式运算正确的是（）A.3a2b32a2b3a2b3

B.a2a3a6C.a6a2a3

D.

a2a

5【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.3a2b32a2b3a2b3，故该选项正确，符合题意；B.a2a3a5，故该选项不正确，不符合题意；C.a6a2a4，故该选项不正确，不符合题意；试卷

833D.

a2a

6，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．3.观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）A.主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B.左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C.俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D.主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形【答案】C【解析】【分析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义.如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.4.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数试卷

UR

．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）

93关系3关系IA.

B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】根据电流I与电阻R之间函数关系I

UR

可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案．【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且U

0，I0，R0∴图象是第一象限双曲线的一支．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键．5.已知k

2

5353，则与k最接近的整数为（）A.2

B.3

C.4

D.5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k

2

5353=

25322∵2.52=6.25，32=9∴

52

223,∴与k最接近的整数为3，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．6.为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x,x,,x，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）1210A.这组数据的平均数C.这组数据的众数【答案】B【解析】试卷

B.这组数据的方差D.这组数据的中位数

10【分析】根据题意，选择方差即可求解．【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，故选：B．【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键．7.如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，BD80，EF47，则图中G的度数是（）A.80

B.76

C.66

D.56【答案】C【解析】【分析】延长AB交EG于点M，延长CD交GF于点N，过点G作AB的平行线GH，根据平行线的性质即可解答．【详解】解：如图，延长AB交EG于点M，延长CD交GF于点N，过点G作AB的平行线GH，EF47,EBAFDC80，EMAEBAE33，FNCFDCF33，AB∥CD,AB∥HG，HG∥CD，MGHEMA33，NGHFND33，EGF333366，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，试卷

11不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）yx4.5A.0.5yx1yx4.50.5yx1

yx4.5B.y2x1yx4.5D.y2x1【答案】A【解析】【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：1绳子=木条-1，据此列出方程组即可．2【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，yx4.5那么可列方程组为：

，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．9.如图，直线y

32

x3分别与x轴，y轴交于点A，B，将OAB绕着点A顺时针旋转90得到CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A.

2,5

B.

3,5

C.

5,2

D.

13,2【答案】C【解析】【分析】先根据一次函数解析式求得点A,B的坐标，进而根据旋转的性质可得试卷

12C.0.5yC.0.5yx1ACOA2,CDOB3，OAC90，ACD=90，进而得出CD∥OA，结合坐标系，即可求解．【详解】解：∵直线y

32

x3分别与x轴，y轴交于点A，B，∴当x0时，y3，即B0,3，则OB3，当y0时，x2，即A2,0，则OA2，∵将OAB绕着点A顺时针旋转90得到CAD，又∵AOB90∴ACOA2,CDOB3，OAC90，ACD=90，∴CD∥OA，延长DC交y轴于点E，则E

0,2，DEECCD235，∴D5,2，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OBAC于D．若AC3003m，BD150m，则AC的长为（）A.300m试卷

B.200m

C.150m

D.1003m

13【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：OBAC，点O是这段弧所在圆的圆心，ADCD，，ODOD，OAOC，ADO≌CDO，AODCOD.AC3003m，ADCD，ADCD1503m.设OAOCOBx，则DOx150，在Rt△ADO中，x2x15021503x300m，

2sinAOD

ADAO

1503300

32

.∠AOD60，AOC120，AC

nR180

120300180

200m.故选：B.【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.若a1(b3)20，则ab___________．【答案】2【解析】【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得a,b的值进而求得ab的算术平方根即可求解．【详解】解：∵a1(b3)20，∴a10,b30，试卷

14，，解得：a1,b3，∴ab132，故答案为：2．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得

a,b的值是解题的关键．12.如图，CD为RtABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC8，CD5，则DE___________．【答案】3【解析】【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB，然后利用勾股定理即可得出BC，最后利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵在RtABC中，CD为RtABC斜边AB上的中线，CD5，∴AB2CD10，∴BC

AB2AC2102826，∵E为AC的中点，∴DE

12

BC3故答案为：3．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．13.某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有___________人参与A类运动最多．【答案】300【解析】【分析】利用样本估计总体即可求解．试卷

15【详解】解：800

3080

300（人）．估计有300人参与A类运动最多．故答案为：300．【点睛】本题考查了样本估计总体，掌握用样本估计总体是本题的关键．14.如图，AOB60，点C在OB上，OC23，P为AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为___________．【答案】1【解析】【分析】首先利用垂直平分线的性质得到

1OQOC3，利用角平分线，求出BOP，再在2△POQ中用勾股定理求出PQ1，最后利用角平分线的性质求解即可．【详解】如图所示，由尺规作图痕迹可得，PQ是OC的垂直平分线，∴

1OQOC3，2∴

BOP

12

BOA30，设PQx，则PO2x，试卷

16∵PQ2OQ2OP2，∴x2

2∴x1，∴PQ1，由尺规作图痕迹可得，PO是AOB的平分线，∴点P到OA的距离等于点P到OB的距离，即PQ的长度，∴点P到OA的距离为1．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．15.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30，底部C的俯角为60，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为___________m．（31.73，结果精确到0.1）4【答案】13.8##13##5

6913【解析】【分析】解直角三角形，求得BD和CD的长，即可解答．【详解】解：根据题意可得，在RtADB中，

BDAD

tan30

33

，BD

33

AD，在RtADC中，

CDAD

tan603，CD3AD，试卷

1732x，232x，2BCBDCD

33

AD3AD

433

AD13.8m，故答案为：13.8．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．16.如图，点A2,2在双曲线y

kx

(x0)上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC2，则点C的坐标是___________．【答案】

2,22【解析】【分析】求出反比例函数解析式

4x

(x0)，证明DOA45，过点A作x轴的垂线段交x轴于点E，过点C作y轴的垂线段交y轴于点D，通过平行线的性质得到DBC45，解直角三角形求点C的横坐标，结合反比例函数解析式求出C的坐标，即可解答．【详解】解：把A2,2代入y

kx

(x0)，可得2

k2

，解得k4，反比例函数解析式y

4x

(x0)，如图，过点A作x轴的垂线段交x轴于点E，过点C作y轴的垂线段交y轴于点D，A2,2，AEOE，试卷

18yyAOE45，AOD90AOE45，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，CBD45,在Rt△CBD中，

CDCB

sin45

22

，CD

22

CB2，即点C的横坐标为2，把x2代入yC2,22，

4x

(x0)，可得y22，故答案为：2,22．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）2xy17.先化简，再求值：xyx【答案】，2xy

x22xyy2xyx2y2

112【解析】【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x和y的值代入即可求出答案．2xy

x22xyy2xyx2y22xyxy2xyxy

xy2xyxyxyxyxyxyxyxy

xxyxyxy试卷

19C的横xy，其中x，y(2023)0．【详解】解：xyxyC的横xy，其中x，y(2023)0．【详解】解：xyxy

xxy12原式

xxy

221

2．故答案为：

xxy

，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．18.已知关于x的一元二次方程kx22k4xk60有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k1时，用配方法解方程．【答案】（1）

2k且k05（2）x314，x31412【解析】【分析】（1）根据题意，可得2k424kk60，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将k1代入kx22k4xk60，利用配方法解方程即可．【小问1详解】k0解：依题意得：

，解得

2k且k0；5【小问2详解】解：当k1时，原方程变为：x26x50，则有：x26x959，x3214，试卷

20x12，y(x12，y(2023)01Δ=2k424kk640k160x314，方程的根为x314，x314．12【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．19.如图，BD是等边ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CDCE．【答案】见解析【解析】【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出E2，再利用等边对等角即可．【详解】证明：QBD为等边ABC的中线，BDAC，160330BDDE，E3302E160，E230CDCE【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．20.首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．试卷

21组别ABCDE

身高分组155x160160x165165x170170x175175x180

人数32m54根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的m___________，扇形统计图中的度数是___________；（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．【答案】（1）20，6，54o（2）

16【解析】【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得m的值，再求出总数；用周角乘以D组所占的比，即可求出的度数；（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即可．【小问1详解】∵

m32m54

30100∴m6∴32m543265420360试卷

320

54

22故填：20，6，54o；【小问2详解】画树状图为：或者列表为：男1

男1

男2（男1男2）

女1（男1女1）

女2（男1女2）男2女1

（男2男1）（女1男1）

（女1男2）

（男2女1）

（男2女2）（女1女2）女2

（女2男1）

（女2男2）

（女2女1）共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种P（抽中两名女志愿者）

212

16

．【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键．21.如图，在菱形ABCD中，DHAB于H，以DH为直径的O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．（1）求证：①CD是O的切线；②DEF∽DBA；（2）若AB5，DB6，求sinDFE．【答案】（1）①见解析，②见解析试卷

23（2）

2425【解析】【分析】（1）①根据菱形的性质得出AB∥CD，根据DHAB，可得CDOD，进而即可得证；②连接HF，根据等弧所对的圆周角相等得出DEFDHF，根据直径所对的圆周角是直角得出DFH90，进而可得DHFDBADEF，结合EDFBDA，即可得证；（2）连接AC交BD于G．根据菱形的性质以及勾股定理求得AG4,AC8，进而根据等面积法求得DH，由DEF∽DBA得：DFEDAH，在RtADH中，即可求解．【小问1详解】证明：①四边形ABCD是菱形，AB∥CDDHAB，CDHDHA90，则CDOD又D为O的半径的外端点，CD是O的切线．②连接HF，∵DFDF∴DEFDHFDH为O直径，DFH90，而DHB90DHFDBADEF，又EDFBDADEF∽DBA．试卷

24【小问2详解】解：连接AC交BD于G．菱形ABCD，BD

6，ACBD，AGGC，DGGB3，在RtAGB中，AGAC2AG8，

AB2BG24，S

菱形ABCD

12

ACBDABDH，DH

12

1685

245

，在

RtADH中，sinDAH

DHAD

DHAB

24155

2425

，由DEF∽DBA得：DFEDAH，sinDFEsinDAH

2425

．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．22.荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【答案】（1）A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；（2）①120x210且x为整数，②当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．试卷

25【解析】【分析】（1）分别设出A，B饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；（2）①依据题意列出不等式即可；②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．【小问1详解】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为a1元．由题意得：

1400a

630a1

2，解得：a10，经检验，a10是所列方程的根，且符合题意．A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．【小问2详解】600x390①根据题意得：600x4x

，解得：120x210且x为整数；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元．当120x150时，w1560010x9600x，即wx3600，10，w随x的增大而减小．当x120时，w有最大值3480．当150x210时，w15600101501060%x1509600x整理得：w3x3000，30，w随x的增大而增大．当x210时，w有最大值3630．36303480，w的最大值为3630，此时600x390．即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值．试卷

2623.如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作123，其中1与3的一边分别是射线AB和射线BA，2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．（1）如图2，在53个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3，在RtAPC中，A90，ACAP，延长AP至点B，使ABAC，作A的等联角CPD和PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB1:2，BF

2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．【答案】（1）见解析

（2）①等腰直角三角形，见解析；②AB3k；PE

52

k【解析】【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）①PCF是等腰直角三角形，过点C作CNBE交BE的延长线于N．由折叠得ACCM，CMPCMEA90，12，证明四边形ABNC为正方形，进而证明RtCME≌RtCNE，得出PCF45即可求解；②过点F作FQBE于Q，FRPB交PB的延长线于R，则RA90．证明△APC≌RFP，得出APBRFR，在RtBRF中，BR2FR2BF2，BF2k，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQQFk，由FQ∥CN，得出AEF∽NEC，根据相似三角形的性质得出NE

32

k，根据PEPMME即可求解．【小问1详解】试卷

27解：如图所示（方法不唯一）【小问2详解】①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CNBE交BE的延长线于N．由折叠得ACCM，CMPCMEA90，12ACAB，APBDN90，四边形ABNC为正方形CNACCM又CECE，RtCME≌RtCNEHL34，而123490，CPF90PCF23CFP45试卷

28PCF是等腰直角三角形．②过点F作FQBE于Q，FRPB交PB的延长线于R，则RA90．155690，16，由PCF是等腰直角三角形知：PCPF，APC≌RFPAAS，APFR，ACPR，而ACAB，APBRFR，在RtBRF中，BR2FR2BF2，BFAPBRFRk，PB2AP2k，ABAPPBBN3k，由BRFR，QBRRFQB90，∴四边形BRFQ为正方形，BQQFk，由FQBN，CN^BN得：FQ∥CN，∴QEF∽NEC，

2k，

QENE

QFCN

，而QEBNNEBQ3kNEk2kNE，即

2kNENE

k3k

13

，解得：NE

32

k，由①知：PMAPk，

MENE

32

k，3PEPMMEkk2

52

k．【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．试卷

2924.已知：y关于x的函数ya2x2a1xb．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a4b，则a的值是___________；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A2,0，B4,0，并与动直线l:xm(0m4)交于