2022年江苏省南京中考数学终极押题密卷【含答案】

2022年南京中考数学终极押题密卷一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2021•秦淮区一模）4的算术平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．22．（2分）（2021•玄武区二模）计算（﹣a）3•（﹣a2）的结果是（）A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a63．（2分）（2021•南京二模）下列整数中，与12最接近的是（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2分）（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝2x+2 B．y＝2x+3 C．y＝2x D．y＝2x﹣15．（2分）（2021•秦淮区一模）关于一次函数y＝kx+b，有下列命题：甲：图象过点（3，4）；乙：b＜0；丙：k＝2；丁：图象过点（1，2）．若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（2分）（2021•玄武区二模）某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续5天在该软件上聊天，下列选项中，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（）A．中位数为110条，极差为20条 B．中位数为110条，众数为112条 C．中位数为106条，平均数为102条 D．平均数为110条，方差为10条2二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．（2分）（2017•南京）计算：|﹣3|＝；(−3)28．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，2），那么也经过点（﹣2，9．（2分）（2021•秦淮区一模）分解因式a2﹣1的结果是．10．（2分）（2021•玄武区二模）分解因式（x+3）（x+1）+1的结果是．11．（2分）（2021•南京二模）设x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2＝．12．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接AB、BC、CD、DA的中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH的面积为．13．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，AD=∠DAB＝°．14．（2分）（2021•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN＝6，CN＝4，则MN的长为．15．（2分）（2021•南京二模）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为16．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝°．三．解答题（共11小题，满分88分）17．（7分）（2018•南京）计算（m+2−5m−2）18．（7分）（2021•玄武区二模）先化简，再求值：a2−b2a2+ab÷（a﹣219．（7分）（2021•南京二模）某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．20．（8分）（2021•鼓楼区二模）某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息．信息一：七年级打分成绩的频数分布表：分组50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100人数616182832信息二：七年级学生打分在80≤x＜90这一组的分数统计表：分数80818283848586878889人数2310226273信息三：九年级学生打分的统计表：分数6263646667686971727374767778人数12123144391133分数8081828384868889909293959698人数5179152018161220104556信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级82a88八年级8684.586九年级84bc（1）表中a＝；b＝；c＝；（2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；（3）如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？21．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校共有2000名学生．为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡议﹣﹣提倡在上学和放学途中佩戴口罩．学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况．收集数据（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：方案一：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查；方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；方案三：随机抽取300名女生进行调查．其中抽取的样本具有代表性的方案是．整理数据数学兴趣小组采取（1）中的具有代表性的方案进行了一周的调查，根据调查，将数据绘制成条形统计图：（2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？分析数据（3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论．22．（8分）（2021•玄武区二模）如图，某海域有两个海岛A，B，海岛B位于海岛A的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔C位于海岛A的南偏东47.5°方向，海岛B的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛B出发，沿正南方向航行32海里到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上．求海岛A，B之间的距离．（参考数据：tan37°≈0.75，tan47.5°≈1.10，tan70°≈2.75）23．（8分）（2021•南京二模）如图，港口B位于港口A北偏东37°的方向，两港口距离为30海⾥．在港口A处测得一艘军舰在北偏东45°方向的C处，在港⼝B处测得该军舰在北偏东51°方向．求该军舰距港口B的距离BC．（结果保留整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）24．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝，方程的另一个根为；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．25．（8分）（2021•秦淮区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．分别延长BA、AB、CA、AC至点D、E、F、G，使得AD＝AF＝BC，BE＝8，CG＝6．（1）经过D、E、G三点作⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点F在⊙O上；（3）⊙O的半径长为．26．（10分）（2021•玄武区二模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，经过A，C的⊙O与BC边另一个公共点为D，与AB边另一个公共点为E，连接CE．（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝EC，求⊙O的半径；（2）如图②，作∠BEF＝∠ACE，交BC边于点F．求证：直线EF与⊙O相切．27．（9分）（2021•南京二模）（1）如图①，AB＝AC，点P为BC上一点，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°，求BPCP（2）如图②，AB＝AC，DB＝DC，点P为BC上一点，求证=sin∠BAP（3）如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF与DO相交于点I，连接AI并延长交BC于点G．求证BG＝CG．

2022年南京中考数学终极押题密卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2021•秦淮区一模）4的算术平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．2【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2，故选：D．【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根与平方根的定义，本题属于基础题型．2．（2分）（2021•玄武区二模）计算（﹣a）3•（﹣a2）的结果是（）A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6【考点】同底数幂的乘法．【专题】整式；运算能力．【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：（﹣a）3•（﹣a2）＝（﹣a3）•（﹣a2）＝a5．故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．3．（2分）（2021•南京二模）下列整数中，与12最接近的是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；数感．【分析】求出3＜12【解答】解：∵9＜12＜16，∴3＜12又∵3.52＝12.25＞12，∴与12最接近的是3．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出12接近的整数是解题关键．4．（2分）（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝2x+2 B．y＝2x+3 C．y＝2x D．y＝2x﹣1【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象；正比例函数的图象．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+1）+1，即y＝2x+3．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．（2分）（2021•秦淮区一模）关于一次函数y＝kx+b，有下列命题：甲：图象过点（3，4）；乙：b＜0；丙：k＝2；丁：图象过点（1，2）．若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【考点】命题与定理．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【分析】若一次函数同时经过（3，4），（1，2）两点，则k＝1，b＝1，此时可判断乙、丙都是假命题，不满足题意；若一次函数经过（3，4），当k＝2，b＝﹣2＜0，满足题意．【解答】解：若一次函数同时经过（3，4），（1，2），则3k+b＝4，k+b＝2，解得k＝1，b＝1，此时乙、丙都是假命题，所以一次函数不经过（3，4），（1，2），若一次函数经过（3，4），则3k+b＝4，当k＝2时，b＝﹣2＜0，此时甲、乙、丙为真命题，丁为假命题．故选：D．【点评】本题考查了命题于定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．6．（2分）（2021•玄武区二模）某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续5天在该软件上聊天，下列选项中，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（）A．中位数为110条，极差为20条 B．中位数为110条，众数为112条 C．中位数为106条，平均数为102条 D．平均数为110条，方差为10条2【考点】方差；算术平均数；中位数；众数；极差．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【解答】解：A、B、C三个选项中，最小的数都可能小于100，故不一定能判断甲、乙获得“星形”标识；D选项中，设5个数分别为x1，x2，x3，x4，x5．则S2=15[（x1﹣110）2+（x2﹣110）2+（x3﹣110）2+（x4﹣110）2+（x5﹣110）若x1，x2，x3，x4，x5中有一个数小于或等于100，则S2≥(100−110∴若S2＝10，则x1，x2，x3，x4，x5中每一个数都大于100，∴一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是D，故选：D．【点评】本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数与方差的计算方法进行解答．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．（2分）（2017•南京）计算：|﹣3|＝3；(−3)2【考点】二次根式的性质与化简；绝对值．【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．【解答】解：|﹣3|＝3，(−3)故答案为：3，3．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键．8．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果反比例函数y=kx的图象经过点（﹣3，2），那么也经过点（﹣2，【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【分析】将（﹣3，2）代入反比例函数解析式求得k的值，再将x＝﹣2代入求得y的值，结论可得．【解答】解：将（﹣3，2）代入反比例函数y=kx得：∴反比例函数解析式为：y=−6当x＝﹣2时，y＝3．∴反比例函数也经过点（﹣2，3）．故答案为：3．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数解析式．待定系数法是求函数解析式中未知系数的常用方法．9．（2分）（2021•秦淮区一模）分解因式a2﹣1的结果是（a﹣1）（a+1）．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；符号意识．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（a﹣1）（a+1）．故答案为：（a﹣1）（a+1）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10．（2分）（2021•玄武区二模）分解因式（x+3）（x+1）+1的结果是（x+2）2．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】因式分解；运算能力．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x2+4x+4＝（x+2）2．故答案为：（x+2）2．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解本题的关键．11．（2分）（2021•南京二模）设x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算x1x2﹣x1﹣x2值．【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案为﹣7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x212．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接AB、BC、CD、DA的中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH的面积为24．【考点】中点四边形；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】根据矩形的性质推出BE＝AF，BE∥AF得到平行四边形BHFA，推出AB∥HF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：连接HF、EG，∵矩形ABCD，∴BC∥AD，BC＝AD，∵H、F分别为边DA、BC的中点，∴AH＝BF，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB＝HF，AB∥HF，同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=故答案为：24．【点评】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．13．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，AD=∠DAB＝68°．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】根据圆周角定理及已知可求得∠B的度数，从而可求得∠ADC的度数，再根据三角形内角和公式即可求得∠DAC的度数，从而可得出∠BAD的度数．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝46°，∴∠B＝44°．∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．∵AD=∴AD＝DC．∴∠DAC＝∠DCA=180°−136°∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．故答案是：68．【点评】本题利用了圆周角定理，三角形的内角和定理，直径对的圆周角是直角求解．14．（2分）（2021•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交BC边于点N，垂足为M，若BN＝6，CN＝4，则MN的长为21．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB＝2x，则AC＝2x，根据等角的余弦列式可得CE和AE的长，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根据勾股定理计算可得MN的长．【解答】解：如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB＝2x，则AC＝2x，∵AB的垂直平分线MN交BC边于点N，∴AN＝BN＝6，BM＝x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴cos∠B＝cos∠C，∴BMBN=CE∴CE=23∴AE＝2x−23x=由勾股定理得：EN2＝AN2﹣AE2＝CN2﹣CE2，∴62﹣（43x）2＝42﹣（23x）解得：x=±15∴MN=B故答案为：21．【点评】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质，勾股定理以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．15．（2分）（2021•南京二模）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为43【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD=34，由于AD＝CD，则EHAD=3【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，∵EH∥CD，∴EHCD∵BE＝3EC，∴EHCD∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∴EHAD∵EH∥AD，∴AFEF故答案为43【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．16．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝100°．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）即可解决．【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，∴AM＝A'M，AN＝A″N，此时△AMN的周长最小值等于A'A″的长，∵BA＝BA′，NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查轴对称变换、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三．解答题（共11小题，满分88分）17．（7分）（2018•南京）计算（m+2−5m−2）【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（m2−4=(m+3)(m−3)m−2•＝2（m+3）＝2m+6．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．18．（7分）（2021•玄武区二模）先化简，再求值：a2−b2a2+ab÷（a﹣2【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a﹣b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：a2−b2a2=(a+b)(a−b)a(a+b)÷=a−b=a−b=1当a﹣b=2时，原式=【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（7分）（2021•南京二模）某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是76分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是78分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【分析】（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）样本估计总体，样本中80分以上的占20+450，因此估计总体1500人的20+4【解答】解：（1）第2组60～70组的人数为：50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为（77+79）÷2＝78（分），因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×20+4答：估计该校参赛学⽣成绩不低于80分的人数有720人．【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．20．（8分）（2021•鼓楼区二模）某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息．信息一：七年级打分成绩的频数分布表：分组50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100人数616182832信息二：七年级学生打分在80≤x＜90这一组的分数统计表：分数80818283848586878889人数2310226273信息三：九年级学生打分的统计表：分数6263646667686971727374767778人数12123144391133分数8081828384868889909293959698人数5179152018161220104556信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级82a88八年级8684.586九年级84bc（1）表中a＝85.5；b＝84；c＝84和90；（2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；（3）如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；（2）可从平均数及中位数比较得出答案（答案不唯一，合理均可）；（3）用七、八、九年级人数乘以样本中七、八、九年级打分在85分以上（含85分）的学生人数所占比例即可得．【解答】解：（1）七年级学生打分成绩的中位数a＝（85+86）÷2＝85.5，九年级学生打分成绩的中位数b＝（84+84）÷2＝84，九年级学生打分成绩的众数c＝84和90；故答案为：85.5，84，84和90；（2）满意度较高的是七年级，理由：七年级的中位数大于八、九年级的中位数，超过一半的学生打分超过85分，∴满意度较高的是七年级；（3）1000×52100+1200×答：估计打分在85分以上（含85分）的约有1792人．【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数及频数分布表，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用．21．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校共有2000名学生．为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡议﹣﹣提倡在上学和放学途中佩戴口罩．学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况．收集数据（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：方案一：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查；方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；方案三：随机抽取300名女生进行调查．其中抽取的样本具有代表性的方案是方案二．整理数据数学兴趣小组采取（1）中的具有代表性的方案进行了一周的调查，根据调查，将数据绘制成条形统计图：（2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？分析数据（3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论．【考点】条形统计图；抽样调查的可靠性；用样本估计总体．【专题】统计与概率；数据分析观念．【分析】（1）根据题意和选取样本要具有代表性，可以判断哪个方案最合理；（2）根据统计图中的数据和题意，可以计算出全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少；（3）根据题意和统计图中的数据，可以写出正确的结论，注意本题答案不唯一．【解答】解：（1）由题意可得，其中抽取的样本具有代表性的方案是方案二，故答案为：方案二；（2）2000×222即估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生有1480名；（3）答案不唯一，例如，结论1：这一周上学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是240、210、201、213、222，由多变少再变多，说明上学途中学生在周初和周末安全防护意识较强，在周中时安全防护意识较弱．结论2：这一周放学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是125、130、146、180、202，逐渐增加，说明在放学途中，越接近周末学生的安全防护意识越强．结论3：这一周上学途中平均每天佩戴口罩的人数约为217名，放学途中平均每天佩戴口罩的人数约为157名，217＞157说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施．结论4：这一周上学途中佩戴口罩人数与放学途中佩戴口罩人数之差分别是115、80、55、33、20，说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施．【点评】本题考查条形统计图、抽样调查、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）（2021•玄武区二模）如图，某海域有两个海岛A，B，海岛B位于海岛A的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔C位于海岛A的南偏东47.5°方向，海岛B的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛B出发，沿正南方向航行32海里到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上．求海岛A，B之间的距离．（参考数据：tan37°≈0.75，tan47.5°≈1.10，tan70°≈2.75）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【分析】过点C作CE⊥AD于E，在Rt△DEC和在Rt△BCE中，根据三角函数的定义分别用CE表示出DE、BE的长度，结合BD＝DE﹣BE求出CE，再在Rt△ACE中，根据三角函数的定义求出AE，根据线段的和差即可求出AB．【解答】解：过点C作CE⊥AD于E，在Rt△DEC中，∠CDE＝37°，∴tan37°=CEDE，即DE在Rt△BCE中，∠CBE＝70°，∴tan70°=CEBE，即BE∵BD＝DE﹣BE，∴CEtan37°解得CE≈33，∴BE=CE在Rt△ACE中，∠CAE＝47.5°，∴tan47.5°=CE即AE=CE∴AB＝AE+BE＝30+12＝42，答：海岛A，B之间的距离约为42海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线，把航海中的实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．23．（8分）（2021•南京二模）如图，港口B位于港口A北偏东37°的方向，两港口距离为30海⾥．在港口A处测得一艘军舰在北偏东45°方向的C处，在港⼝B处测得该军舰在北偏东51°方向．求该军舰距港口B的距离BC．（结果保留整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【分析】过B作BD⊥CF于D，过B作BE⊥AF于F，在RtABE中，∠ABE＝37°，在Rt△CBD中，∠BCD＝51°，在Rt△CAF中，∠CAF＝45°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过B作BD⊥CF于D，过B作BE⊥AF于F，在RtABE中，∠ABE＝37°，∵sin37°=AE∴AE＝AB•sin37°＝30sin37°（海⾥），∵cos37°=BE∴BE＝AB•cos37°＝30cos37°（海⾥），设CD＝x海里，在Rt△CBD中，∠BCD＝51°，tan51°=BD∴BD＝CD•tan51°≈tan51°x，∴EF＝BD＝tan51°x，∴AF＝tan51°x+30sin37°，CF＝x+30cos37°，在Rt△CAF中，∠CAF＝45°，∵tan45°=CF∴1=x+30cos37°解得：x=30cos37°−30sin37°∴CD=30cos37°−30sin37°在Rt△CBD中，∠BCD＝51°，∵cos51°=CD∴BC=CD答：该军舰距港口B的距离BC为41海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝1，方程的另一个根为x＝0；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．【考点】根与系数的关系；一元一次方程的解．【专题】计算题；方程思想；一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力．【分析】（1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求m即可；（2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元；（3）利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造出新的函数关系，求最小值．【解答】解：（1）解2（x﹣1）﹣4＝0得：x＝3，将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1，将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0，∴另一个解为x＝0，故答案为1；x＝0．（2）由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m，将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1，解得：m＝1或m＝﹣1，答：m的值为1或﹣1．（3）由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n，将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1，整理得：m＝n2+n﹣1，∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2，当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2，答：m+n的最小值为﹣2．【点评】本题考查一元二次方程含参及二次函数最值问题，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题．25．（8分）（2021•秦淮区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．分别延长BA、AB、CA、AC至点D、E、F、G，使得AD＝AF＝BC，BE＝8，CG＝6．（1）经过D、E、G三点作⊙O；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点F在⊙O上；（3）⊙O的半径长为237．【考点】作图—复杂作图；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】（1）作线段EG，DG的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OE为半径作⊙O即可．（2）想办法证明OF＝OD即可．（3）求出EF，证明△OEF是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求作．（2）连接FD、OD、OE、OF、OG．LM是EG的垂直平分线，∵AD＝AF，AB＝CG，AC＝BE，∴AB+BE＝CG+AC，即AG＝AE．∵LM是EG的垂直平分线，∴点A在LM上，∵AF＝AD，LF＝LD，∴LM是FD的垂直平分线，∵点O在LM上，∴OF＝OD．∴点F在⊙O上．（3）如图，连接EF．∵AE＝AG，∠EAG＝90°，∴∠AGE＝∠AEG＝45°，∴∠EOF＝2∠EGF＝90°，∵EF=AF2∴OE＝OF=EF2=故答案为：237．【点评】本题考查复杂作图，三角形的外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（10分）（2021•玄武区二模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，经过A，C的⊙O与BC边另一个公共点为D，与AB边另一个公共点为E，连接CE．（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝EC，求⊙O的半径；（2）如图②，作∠BEF＝∠ACE，交BC边于点F．求证：直线EF与⊙O相切．【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】（1）如图①，连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠CEA＝∠CAE，等量代换得到∠CDA＝∠CAE，推出△ADC∽△BAC，求得CABC=ADAB，在△ABC中，根据勾股定理得到AB=AC2+BC2=10，于是得到AD=（2）连接AO，EO，如图②，设∠BEF＝∠ACE＝x，由圆周角定理得到∠AOE＝2∠ACE＝2x，根据切线的判定定理得到直线EF与⊙O相切．【解答】（1）解：如图①，连接AD，∵AC＝CE，∴∠CEA＝∠CAE，∵∠CDA＝∠CEA，∴∠CDA＝∠CAE，∵∠ACB＝∠ACD，∴△ADC∽△BAC，∴CABC在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB=A∴AD=15在⊙O中，∠ACD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴⊙O的半径为154（2）证明：连接AO，EO，如图②，设∠BEF＝∠ACE＝x，由圆周角定理，∠AOE＝2∠ACE＝2x，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝90°﹣x，∴∠OEA+∠BEF＝90°，∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF，∵点E在⊙O上，∴直线EF与⊙O相切．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（9分）（2021•南京二模）（1）如图①，AB＝AC，点P为BC上一点，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°，求BPCP（2）如图②，AB＝AC，DB＝DC，点P为BC上一点，求证=sin∠BAP（3）如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF与DO相交于点I，连接AI并延长交BC于点G．求证BG＝CG．【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．【分析】（1）方法一：过点P分别作PM⊥AB于点M、PN⊥AC于点N，证Rt△BPM∽Rt△CPN即可得出比例关系；方法二：过点P作PD∥AB交AC于点D，过点D作DE⊥AP于点E，先证DP＝DC，再根据DE＝DP•sin30°，DE＝DA•sin45°得出BPCP（2）由（1）得，BPCP（3）连接OE、OF，证sin∠ABC＝sin∠IOE，sin∠ACB＝sin∠IOF，过点A作AH⊥BC于H，证AB•sin∠EAI＝AC•sin∠FAI，过点B作BM⊥AG于M，过点C作CN⊥AG延长线于点N，再根据AAS证△BGM≌△CGN，即可得证BG＝CG．【解答】解：（1）方法一：如图①，过点P分别作PM⊥AB于点M、PN⊥AC于点N，∵∠BAP＝30°，∠PAC＝45°，∴PM＝AP•sin30°，PN＝AP•sin45°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠PMB＝∠PNC＝90°，∴Rt△BPM∽Rt△CPN，∴BPCP方法二：如图①（二），过点P作PD∥AB交AC于点D，过点D作DE⊥AP于点E，∵PD∥AB，∴∠B＝∠DPC，∠DPE＝∠BAP＝30°，BPCP∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠DPC，∴DP＝DC，在Rt△ADE和Rt△PDE中，DE＝DP•sin30°，DE＝DA•sin45°，∵DP＝DC，∴DC•sin30°＝DA•sin45°，∴BPCP（2）证明：∵AB＝AC，DB＝DC，∴由（1）得，BPCP∴sin∠BAPsin∠BDP（3）证明：如图③，连接OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，AE＝AF，∴∠OEB＝∠ODB＝∠ODC＝∠OFC＝90°，∵∠OEB+∠ABC+∠ODB+∠EOD＝360°，∴∠ABC+∠EOD＝180°，∵∠IOE+∠EOD＝180°，∴∠ABC＝∠IOE，同理可证，∠ACB＝∠IOF，∴sin∠ABC＝sin∠IOE，sin∠ACB＝sin∠IOF，∵AE＝AF，OE＝OF，由（2）可知，sin∠EAIsin∠FAI∵sin∠IOEsin∠IOF∴过点A作AH⊥BC于H，∴sin∠ABC=AHAB，sin∠ACB∴sin∠ABCsin∠ACB∵sin∠EAIsin∠FAI∴sin∠EAIsin∠FAI∴AB•sin∠EAI＝AC•sin∠FAI，过点B作BM⊥AG于M，过点C作CN⊥AG延长线于点N，在Rt△ABM和Rt△ACN中，BM＝AB•sin∠EAI，CN＝AC•sin∠FAI，∵AB•sin∠EAI＝AC•sin∠FAI，∴BM＝CN，在△BGM和△CGN中，∠BMG=∠CNG=90°∠BGM=∠CGN∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG＝CG．【点评】本题主要考查圆的综合知识，平行线分线段成比例，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练运用解直角三角形和线段比例关系证线段相等是解题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．4．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．5．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．6．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．7．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．8．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a②（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=|a|（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=a（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．9．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．10．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．11．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．12．正比例函数的图象正比例函数的图象．13．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）14．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．16．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．17．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．18．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．中点四边形中点四边形．20．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．21．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．22．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．23．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．24．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．25．圆的综合题圆的综合题．26．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．27．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．28．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．29．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）