第四章 指数函数与对数函数 尖子生必刷卷 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数尖子生必刷卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．已知，则与的大小关系是（）A． B．C． D．不确定2．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（）A． B．C． D．4．已知，函数，则方程的实根个数最多有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个5．已知函数，，若是偶函数，且满足函数有一个零点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b7．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（）A． B．C． D．10．已知函数，若存在实数a，使得，则a的个数不是（）A．2 B．3 C．4 D．511．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（）A． B．C．＞0 D．12．已知函数，则方程的根的个数可能为（）A．2 B．6 C．5 D．4三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是____．14．函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________．15．已知，且．若函数有最大值，则关于x的不等式的解集为_________．16．已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为____.四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．设，函数．（1）若函数为奇函数，求；（2）若，判断并证明函数的单调性；（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的取值范围．18．已知是偶函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断的单调性，并简要说明理由；（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．19．已知函数（1）当，时，解关于的方程；（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；（3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．20．已知函数，，.（1）若函数在上有零点，求的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.21．已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．22．设函数.（1）当，时，解方程.（2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.参考答案1．C【解析】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，由，得，即故选：C2．B【解析】因为，所以且，当时，在时单调递增，所以；又在时单调递增，且，因为方程有两解，所以，所以；当时，在时单调递减，；又在时单调递增，，因为方程要有两解，所以，此时不成立.综上可得，故选：B.3．D【解析】，，，又即，，，且在上单调递增，，即.综上可得.故选:D.4．C【解析】由基本不等式可得或，作出函数，的图象，如下：且，，①当时，或，由图象可知：、分别有两解，故方程的实数根个数为；②当时，或或，由图象可知：、、分别有两解，故方程的实数根个数为；③当时，或或或，由图象可知：、、、分别有两解，故方程的实数根个数为；④当时，或或或，由图象可知：有一解，、、分别有两解，故方程的实数根个数为；⑤当时，或或，由图象可知：无解，、分别有两解，故方程的实数根个数为；⑥当时，或，由图象可知：有一解，有两解，故方程的实数根个数为；⑦当时，，由图象可知：有两解，故方程的实数根个数为；综上可知，则方程的实根个数最多有个，故选：C.5．C【解析】因为是偶函数，所以，所以．因为有一个零点，所以有一个根，即有一个根．整理得：．令，则转化为在内有一个根．分类讨论：当，即时，恒小于0，不符合题意；当，即时，若在内有一个根，则，因为恒成立，所以；当，即时，若在内有一个根，则．因为，所以无解．综上所述，若有一个零点，则a的取值范围是．故选：C．6．A【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.7．B【解析】函数有两个零点由题意得方程有两个根.设，则设，则所以在上单调递减，又当，所以在上单调递增,当，所以在上单调递减,又，，当时，，则所以存在，，即在上，又当时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，作出函数的大致图象如下.所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，所以实数的取值范围是，故选：B8．D【解析】的定义域为，由，解得，的定义域为，，令，，，则,当时为增函数,，，存在实数,使得，即，解得故选：D9．ACD【解析】正数满足，令（），则，，，对A，，故A正确；对B，，，，所以，，所以，所以，故B错误；先判断D，由于，由两边平方整理可得：，故D正确；对C，由D知，可得，故C正确.故选：ACD.10．ABD【解析】令，即满足，转化为函数与有交点，结合图像由图可知，有两个根或（1）当，即，由，得时，经检验均满足题意；（2）当，即，当时，，解得：；当时，，解得：；综上所述：共有4个a．故选：ABD．11．BC【解析】对于A，，即，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；故选：BC12．ACD【解析】画出的图象如图所示：令，则，则，当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，即方程的根的个数为2个，A正确；当时，即时，，则故，，当时，即，则有2解，当时，若，则有3解；若，则有2解，故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；故选：ACD13．8【解析】作出的函数图象如图所示：（1）若，则，当时，无解；当时，，由图象可知不可能只有一个整数解；当时，，若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为．又（3），（4），故而，即．（2）若，由可得．

，由图象可知有两个整数解，，至少含有两个整数解，不符合题意．综上，的最大值为8．故答案为：8．14．.【解析】∵是定义在上的偶函数，且当时，，∴，则，则等价于，当时为增函数，则，即对任意恒成立，设，则，解得，又，所以.故答案为：.15．【解析】，定义域为在上单调递减，在上单调递增有最大值，需在上单调递减，由，得，解得：不等式的解集为故答案为：16．【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，令，可得当时，；当时，；，作出函数的图像，如图所示由图可知，在单调递增，在单调递减，若函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，故，故答案为：17．（1）或；（2）上的单调递增函数，证明见解析；（3）．【解析】解：（1）当时，函数的的定义域为，当时，定义域为，因为函数为奇函数，所以，即，，整理得，所以，解得或，当时，的定义域为，关于原点对称，所以或，（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为．结论：函数为上的单调递增函数．证明：设对任意的，，且，则，因为，所以，即，又因为，，，所以，于是，即函数为上的单调递增．（3）因为，所以，从而，由，知，所以，因为，所以或．当时，由（2）知，函数为上单调递增函数．因为函数在区间上的取值范围是所以，即，从而关于的方程有两个互异实数根．令，则，所以方程，有两个互异的正实数根，所以，从而．当时，函数在区间，上均单调递减．若，则，于是，这与矛盾，故舍去．若，则，于是，即，所以，两式相减整理得，，又，故，从而，因为，所以．综上可得，当时，当时，．所以的取值范围为．18．（1）；（2）在上是增函数；（3）．【解析】（1）因为是偶函数，所以恒成立，，，恒成立，所以，是奇函数，则，，此时满足，所以；（2），显然是增函数，且，所以是减函数，所以是增函数；（3）由（2）不等式等价于，所以在上恒成立，设，因为是增函数，所以是增函数，是增函数，而是增函数，所以是增函数，时，，所以．19．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当，时，．即，解得：或（舍去），∴；（2）若函数是定义在上的奇函数，则，即即恒成立，解得：，，或，经检验，满足函数的定义域为，．（3）当时，函数满足，∴，则不等式恒成立，即恒成立即恒成立，设，则，即，恒成立，由平均值不等式可得：当时，取最小值．故，即实数m的最大值为．20．（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，所以在上为减函数.又在上存在零点，所以，解得故的取值范围为（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为①当时，，不符合题意，舍去.②当时，在上的值域，只需，解得③当时，在上的值域为，只需，无解.综上，的取值范围为（3）当或时，在上单调递增，则；当时，，解，得，故当，综上，于是的最小值为21．（1）{5}；（2）[]；（3）n（a）＝.【解析】（1）a＝3时，f（x）＝x2﹣3x+1，所以方程为：log3（x2﹣3x+1）＝log3[3（x﹣）]＝log3（3x﹣4），所以，解得：x＝5或x＝1（舍），所以方程的解集为{5}．（2）因为函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，所以f（x）0，且f（x）在x∈[0，]单调递减，所以，解得，即所以a的取值范围为：[]；（3）x＝﹣1显然不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解．当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，所以当0＜a＜2﹣3时，方程无解；当a＝时，方程只有一解；当＜a＜时，方程有两解；当a时，方程只有一解．故n（a）＝．22．（1）；（2）答案见解析.【解析】解：（1）当，时，，所以方程即为，解得：或(舍)，所以.（2）