湖南省衡阳市 市第三中学高二数学文上学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市市第三中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆上有三点（，）（1，2，3），它们到同一个焦点的距离分别是，，，则，，成等差数列的充要条件是（

）

A.，，成等差数列

B.，，成等差数列

C.上述（A）、（B）同时成立

D.（A）、（B）以外的条件参考答案：B2.直线的倾斜角为

（

）A.30

B.60

C.120

D.150参考答案：C略3.已知向量=(1，2)，

=(x，1)，若//，则x＝（

）A、－2

B、－

C、

D、2参考答案：C4.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（

）A．B．C．D．参考答案：A5.下列说法正确的是（）A．若a＜b，则am2＜bm2．B．命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．C．原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为真命题．D．命题“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x＞1”．参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，当m2=0时，则am2=bm2．B，命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．C，原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为：若x≠2，则x2≠4，此命题为假命题．D，命题“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”．【解答】解：对于A，当m2=0时，则am2=bm2．故错．对于B，命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．正确．对于C，原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为：若x≠2，则x2≠4，此命题为假命题．故错对于D，命题“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”故错．故选：B6.设椭圆()的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在(

)A．圆内

B．圆上

C．圆外

D．以上都有可能参考答案：A略7.已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数参考答案：D8.已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝()A．2

B．8C．18

D．20参考答案：C略9.已知等差数列中，，，则前项的和等于

参考答案：C设等差数列的公差为，则，，所以，故选.

10.某校对高一新生的体重进行了抽样调查，如图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是，样本数据分组为，，，，，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36人，则被调查的高一新生体重在kg的人数是（

）A.90 B.75 C.60 D.45参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：12.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须都用上，且相同数字不能相邻，这样的四位数有__________个.参考答案：1813.如图，是水平放置的直观图，O'A'=3,O'B'=2,则三角形OAB的面积是

。参考答案：614.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C—B1D1－C1的正切值是；⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．参考答案：①②④15.从棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积是

.参考答案：16.已知函数，则的值为_________。参考答案：217.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线y=g(x)﹣是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由题意，直线是曲线y=lnx+ax2的一条切线，设切点，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此时．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）当﹣1≤a≤0时，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）（ⅱ）当a＜﹣1时，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，∴当﹣1≤a≤0时，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，当a＜﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．

…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．19.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，,∥,，，底面，与底面成30°角.（1）若于点，求证：；（2）求平面PAB与平面PCD夹角的正切值.参考答案：（1）如图建立空间直角坐标系，则,，，，，，∴，，∴，∴

…………5分（2）易知，则平面，∴是平面的一个法向量，∴，又设平面的一个法向量为，则,，而，∴由，得，解得，令,∴，设平面PAB与平面PCD夹角为，则，∴.∴平面PAB与平面PCD夹角的正切值为2.…………12分略20.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为1，且|MF|=．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义直接求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，设MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），联立直线与抛物线方程组成方程组，利用弦长公式，求出MN，PQ，推出四边形MPNQ的面积的表达式，利用基本不等式求四边形MPNQ面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故抛物线C的方程为：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）设MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四边形MPNQ的面积：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（当且仅当m=±1时等号成立）∴四边形MPNQ的面积的最小值为2．…21.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2EF=2，，EF⊥FB，∠BFC=，BF=FC，H为BC的中点.（1）求证：平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求四面体B—DEF的体积.

参考答案：略22.设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．参考答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分）

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（，2）上递减，所以x=时，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2﹣2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为﹣lna﹣1；③当a≥1时，f（x）最大值为﹣a．

（3）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，当x