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文档简介

浙江省温州市溪口乡中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.下列函数中,与函数的奇偶性、单调性均相同的是(

)A. B.C.

D.参考答案:A略2.若不等式的解集为,则实数的取值范围是

A

B

C

D[来源:/]参考答案:B略3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形,正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,则此几何体的体积是(

)A B. C. D.参考答案:A【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥,结合图中数据求出它的体积.【详解】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是底面边长为1正方形,斜高为1四棱锥,且四棱锥的高为的正四棱锥.它的体积为.故选:A.【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题,也考查了空间想象能力的应用问题,属于基础题.4.函数的图象(

)A.关于原点对称

B.关于直线对称

C.关于轴对称

D.关于轴对称参考答案:D略5.下列函数与相等的是(

)A.

B.

C. D.参考答案:A略6.给定函数①,②,③y=|x﹣1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A.①② B.②③ C.③④ D.①④参考答案:B【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型,对数函数型,指数函数型,含绝对值函数型,在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质;①为增函数,②为定义域上的减函数,③y=|x﹣1|有两个单调区间,一增区间一个减区间,④y=2x+1为增函数.【解答】解:①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求;②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的,因为原函数在(0,+∞)内为减函数,故此项符合要求;③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方,下方图象翻折到x轴上方而得到的,故由其图象可知该项符合要求;④中的函数图象为指数函数,因其底数大于1,故其在R上单调递增,不合题意.故选B.7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是(

)A.

B.

C.

1

D.参考答案:B根据题中三视图,知该几何体为三棱锥,则该三棱锥的体积为,故正确答案为B.

8.已知命题p:x∈[1,2],使ex-a≥0.若p是假命题,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,e2]

B.(-∞,e]

C.[e,+∞)

D.[e2,+∞)参考答案:B9.若定义在实数集上的偶函数满足,,对任意恒成立,则(

) A.4

B.3

C.2

D.1参考答案:D略10.已知,则(

)A. B. C.-3 D.3参考答案:B【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系可得,分子分母同时除以可构成关于的式子,代入可求得结果.【详解】由题意得:本题正确选项:B【点睛】本题考查根据正切值,求解正弦、余弦的齐次式的值的问题,关键是能够通过二倍角公式和同角三角函数平方关系构造出齐次式,从而配凑出正切的形式.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点为的焦点,、、为该抛物线上三点,若,则

.参考答案:6略12.函数f(x)若f(x)的两个零点分别为x1,x2,则|x1﹣x2|=.参考答案:3【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数y=log4x和y=3﹣x的图象交点A,作出y=()x与y=x+3的交点B,y=4x与y=3﹣x的交点C,根据A,B,C之间的对称关系得出x1,x2的关系.【解答】解:当x>0时,令f(x)=0得log4x=3﹣x,作出函数y=log4x和y=3﹣x的函数图象,设交点为A(x1,y1),当x<0时,令f(x)=0得()x=x+3,作出函数y=()x和y=x+3的函数图象,设交点为B(x2,y2),显然x1>x2.作函数y=4x的函数图象,与y=3﹣x的图象交于C(x0,y0)点.∵y=()x与y=4x的函数图象关于y轴对称,y=x+3与y=3﹣x的图象关于y轴对称,∴B,C关于y轴对称,∴x0=﹣x2,y0=y2,∵y=4x与y=log4x互为反函数,∴y=4x与y=log4x的函数图象关于直线y=x对称,又y=3﹣x关于y=x对称,∴A,C关于直线y=x对称.∴x0=y1,y0=x1.∴x2=﹣y1,∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=x1+y1,又A(x1,y1)在直线y=3﹣x上,∴x1+y1=3.故答案为:3.13.已知向量=(1,2n),=(m+n,m)(m>0,n>0),若,则m+n的最小值为

.参考答案:﹣1考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用;不等式.分析:进行数量积的坐标运算得到m+n+2mn=1,根据基本不等式便有,从而便得到不等式(m+n)2+2(m+n)﹣2≥0,根据m>0,n>0,从而解该关于m+n的一元二次不等式便可得到,从而m+n的最小值便为.解答: 解:;∵m>0,n>0;∴;∴;即(m+n)2+2(m+n)﹣2≥0;解关于m+n的一元二次不等式得,,或m(舍去);∴m+n的最小值为,当m=n时取“=”.故答案为:.点评:考查向量数量积的坐标运算,基本不等式:a+b,a>0,b>0,以及解一元二次不等式.14.把正方形沿对角线折成直二面角,则与平面所成角为

,参考答案:略15.等差数列的前项和为,若,,,则

.参考答案:2116.已知sinα+cosα=,则sin2α=

.参考答案:﹣【考点】二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用.【专题】计算题;转化思想;三角函数的求值.【分析】把已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,再利用二倍角的正弦函数公式变形,即可求出sin2α的值.【解答】解:把已知等式两边平方得:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,即2sinαcosα=﹣,则sin2α=2sinαcosα=﹣,故答案为:﹣【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键.17.设为虚数单位,则=___.参考答案:1三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(Ⅰ)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.参考答案:【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.【分析】(I)延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点,可得AE=ED=AD,由BC=CD=AD,可得ED=BC,已知ED∥BC.可得四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD.利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可.(II)如图所示,由∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M,可得AP⊥平面ABCD.由CD⊥PD,PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°.PA=AD.不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1.可得P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出.【解答】解:(I)延长AB交直线CD于点M,∵点E为AD的中点,∴AE=ED=AD,∵BC=CD=AD,∴ED=BC,∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD.∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,∵BE?平面PBE,∴CM∥平面PBE,∵M∈AB,AB?平面PAB,∴M∈平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=AB∩CD),使得直线CM∥平面PBE.(II)如图所示,∵∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°,AB∩CD=M,∴AP⊥平面ABCD.∴CD⊥PD,PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°.∴PA=AD.不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1.∴P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),∴=(﹣1,1,0),=(0,1,﹣2),=(0,0,2),设平面PCE的法向量为=(x,y,z),则,可得:.令y=2,则x=2,z=1,∴=(2,2,1).设直线PA与平面PCE所成角为θ,则sinθ====.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知数列满足(为常数),成等差数列.(Ⅰ)求p的值及数列的通项公式;(Ⅱ)设数列满足,证明:.

参考答案:解:(Ⅰ)由得∵成等差数列,∴即得………(2分)依题意知,当时,…相加得∴∴……………(4分)又适合上式,………(5分)故……………………(6分)(Ⅱ)证明:∵∴∵

…(8分)若则即当时,有…………………(10分)又因为………(11分)故……………………(12分)(Ⅱ)法二:要证

只要证…………(7分)下面用数学归纳法证明:①当时,左边=12,右边=9,不等式成立;

当时,左边=36,右边=36,不等式成立.…………(8分)②假设当时,成立.…(9分)则当时,左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2,要证3×9k2≥9(k+1)2,只要正3k2≥(k+1)2,即证2k2-2k-1≥0.…………(10分)而当k即且时,上述不等式成立.………………(11分)由①②可知,对任意,所证不等式成立.…………(12分)略20.已知命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“?x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】四种命题的真假关系.【分析】已知p且q是真命题,得到p、q都是真命题,若p为真命题,a≤x2恒成立;若q为真命题,即x2+2ax+2﹣a=0有实根,即△≥0,分别求出a的范围后,解出a的取值范围.【解答】解:由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,a≤x2恒成立,∵x∈[1,2],∴a≤1①;若q为真命题,即x2+2ax+2﹣a=0有实根,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即a≥1或a≤﹣2②,对①②求交集,可得{a|a≤﹣2或a=1},综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1.【点评】本题是一道综合题,主要利用命题的真假关系,求解关于a的不等式.21.(本小题满分13分)设函数。(1)当a=1时,求的单调区间。(2)若在上的最大值为,求a的值。参考答案:解:函数f(x)的定义域为(0,2),

……2分f′(x)=-+a.

……4分(1)当a=1时,f′(x)=,

……5分所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).

……7分(2)当x∈(0,1]时,f′(x)=+a>0,

……10分即f(x)在(0,1]上单调递增,故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=.

……13分22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知,为线段的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求

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