广东省梅州市大埔华侨第二高级中学高三数学理期末试题含解析

广东省梅州市大埔华侨第二高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某算法的程序框图如图，执行该算法后输出的结果i的值为(

)A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C

2.已知平面α与平面β交于直线l，且直线a?α，直线b?β，则下列命题错误的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥l，正确B．若α⊥β，b⊥l，则b⊥α，∵a?α，∴a⊥b，正确C．∵a与l不平行，∴a与l相交，∵a⊥b，b⊥l，∴b⊥α，则α⊥β正确．D．若a⊥l，b⊥l，不能得出α⊥β，因为不满足面面垂直的条件，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础．3.关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞)，则关于x的不等式的解集（

） A．(-1,2) B．(-∞,-1)∪(2,+∞)C．(1,2) D．(-∞,-2)∪(1,+∞)参考答案：B略4.已知关于x的方程sinx+cosx﹣a=0有实数解，则实数a的取值范围是（） A．[﹣2，2] B． （﹣2，2） C． [﹣1，1] D． [﹣1﹣，1+]参考答案：略5.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232

321

230

023

123

021

132

220

001231

130

133

231

031

320

122

103

233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A．B．C．D．参考答案：C6.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）A． B． C． D．参考答案：B略7.已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A．

B．

C.

D．参考答案：A依题意，圆，故直线过圆的圆心；因为直线不经过第三象限，结合图像可知，.8.A是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，∠OFA=120°，则抛物线的准线方程是（）A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣2参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】当|AF|=4时，∠OFA=120°，结合抛物线的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程．【解答】解：由题意∠BFA=∠OFA﹣90°=30°，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．如图，A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4，解得p=2，则抛物线的准线方程是x=﹣1．故选A．9.若点在函数的图象上，则的值为A. B.C. D.参考答案：D略10.函数的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．【解答】解：因为，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时，是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数是增函数．故选B．【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量，，，则向量与的夹角为

．参考答案：

12.已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则三棱锥A一BCD的体积是________.参考答案：2【分析】由球的表面积求球的半径，利用直角三角形计算AB长，可得AB恰为球的直径，可得AD长，得到，推证平面,利用三棱锥的体积公式计算可得.【详解】因为球的表面积为，所以球的半径为，又，，，可得，故为球的直径，所以，由勾股定理得，在三角形中，，所以，又，所以平面，又在三角形中，，所以，所以三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积是2．【点睛】本题空间几何体的体积计算，组合体的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算能力，属于中档题.13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是

．参考答案：14.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．参考答案：8π如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.

15.若双曲线C:（为常数）的一条渐近线与直线垂直，则双曲线C的焦距为

.参考答案：2【知识点】双曲线及其几何性质H6由于双曲线的一条渐近线与直线l：y=-3x-1垂直，则该条渐近线的斜率为，

双曲线C：mx2-y2=1的渐近线方程为y=±x，则有=，即有m=．

即双曲线方程为-y2=1．则c=，即有焦距为2．【思路点拨】运用两直线垂直的条件，即斜率之积为-1，求得渐近线的斜率，求出双曲线的渐近线方程，得到m的方程，解得m，再求c，即可得到焦距．16.已知，，则A．

B．

C．

D．参考答案：B略17.已知向量则实数k等于______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知

（1）求

（2）求参考答案：解析：①由平方得

②

又

19.已知函数（Ⅰ）当时，解关于的不等式；（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.

参考答案：（Ⅰ）————————————————5分（Ⅱ）对恒成立时，时，综上：—————————————————————10分20.（本小题满分12分）已知函数

(I)求函数的单调区间；(II)求函数在区间[–3,2]上的最值

参考答案：(I)解：令得

---------------------------3分若

则，故

在上是增函数，在上是增函数

------------------------------------5分若

则，故在上是减函数

-----------------------------------------7分(II)------------------------9分-----------------12分21.设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【分析】（1）利用零点分段去绝对值，即可求解不等式f（x）＞2的解集；（2）求解f（x）的最小值，恒成立，只需f（x）min即可求解实数t的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．化简可得：f（x）=，由f（x）＞2，可得：或或解得：x＜﹣5或1＜x≤2或x＞2∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜﹣5或1＜x}．（2）由（1）分段函数可知f（x）的最小值为f（）=恒成立，只需f（x）min，即≥t2，解得：故得实数t的取值范围是[，5]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题求解的转化思想的运用．属于中档题．22.已知f（x）=sin2x﹣2sin2x，（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．参考答案：【考点】三角函数的最值；复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+）﹣1，由此求得函数的周期，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．（2）根据﹣≤x≤，求得2x+的范围，可得sin（2x+）﹣1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．【解答】解：（1）因为f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，…（4分）所以，函数的周期为T==π，即函数f（x）的最小正周期为π．

…（5分）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤