概率论与数理统计第一章总习题答案

概率论与数理统计课后习题答案第一章总习题1．填空题（1）假设是两个随机事件，且，则，；解：即与互为对立事件，又所以（2）假设是任意两个事件，则.解：.（3）.已知，，。则事件、、全不发生的概率为解：所求事件的概率即为,又从而则，所以2．选择题（1）设，，，则下列结论正确的是.（A）事件与事件相互独立；（B）事件与事件互逆；（C）；（D）.解：因为，而，即，所以事件与事件相互独立，选（A）.（2）设为两个互逆的事件，且，，则下列结论正确的是.（A）；（B）；（C）；（D）.解：因为为两个互逆的事件，所以当事件发生时，事件是不会发生的，故.选（C）.（3）设，，，则下列结论正确的是.（A）事件与事件互不相容；（B）事件与事件互逆；（C）事件与事件不互相独立；（D）事件与事件互相独立.解：因为，所以事件与事件互相独立.选（D）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率.解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则.4．（找次品问题）盒中有只次品晶体管，只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到只次品晶体管都找到为止，求第次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设表示“第次找到次品晶体管”，则所求概率为：.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲胜元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜.甲获胜的预期概率为：.于是，甲应分得元奖金中的元，乙分得元.6．(彩票问题)一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示.幸福35选7的中奖规则中奖级别中奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中6个基本号码及特殊号码中6个基本号码中5个基本号码及特殊号码中5个基本号码中4个基本号码及特殊号码中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码(1)试求各等奖的中奖概率(2)试求中奖的概率.解：(1)因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点.要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码；第二类号码：1个特殊号码；第三类号码：27个无用号码。在三类号码中抽取，若记为第等奖的概率可得各等奖的中奖概率如下：(2)若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”则7．甲从中任取一个数，乙从中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.解：设表示甲取得的数大于乙取得的数，表示“甲取的数为”，表示“乙取的数为”，则所求概率为：由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：，且，，..8．从数字中可重复地任取次，每次取一个数，求次所取数的乘积能被整除的概率.解：次取得的数的乘积能被整除，相当于取得的个数中至少有一个是偶数，另一个是.设表示“所取的数是”，表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为：.9．向正方形区域中随机地投一个点，如果是所投点的坐标，试求：（1）有两个实根的概率；（2）方程有两个正实根的概率.解：（1）设表示“有两个实根”，有两个实根的充要条件是，即.故.（2）设表示“方程有两个正实根”，则方程有两个正实根的条件是：，，，即.故.10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设表示“前两个球放在不同的盒子中”，表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为.样本空间含样本点总数为含样本点总数为个，含样本点总数为个,故.11．设件产品中有件不合格品，从中任取两件.（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设表示“取出的两件产品中有件合格品”，则.（1）.或.（2）.12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设表示“第次取得红球”，则所求概率为：13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件分别表示第一、二、三次比赛时取到个新球.（1）由全概率公式，.其中：，.故.（2）由贝叶斯公式，.故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.失业率下降失业率不变失业率上升用字母分别表示顾问的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：，，.假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设表示“失业率上升”，则.由Bayes公式得：，，.即总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：15．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为，击伤的概率为，击不中的概率为，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设表示“施放枚深水炸弹击沉潜水艇”，依题意击不沉一艘潜水艇只有以下两种互斥情形：“4枚深水炸弹全击不中潜水艇”记为事件“4枚深水炸弹中1枚击伤潜水艇而另3枚击不中潜水艇”记为事件由于各枚深水炸弹能袭击潜水艇是独立的，故有又互斥，从而.16．设有五个独立工作的元件它们的可靠性均为.将它们按本题图的方式连接（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性.解：设表示“第个元件可靠”，表示“系统正常工作”则所求概率为：.另解：按元件3处于正常工作与失效两种状态，用全概率公式，故17．（下赌注问题）17世纪未，法国的DeMere爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设“第次抛掷时出现六点”，“第次抛掷时出现双六点”，则.此概率大于，故赢钱的可能性大..此概率小于，故赢钱的可能性小.请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数时，这时的概率大于，且抛掷次数超过次越多越有利，这是因为.18．要验收一批件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取件测试（设件乐器的测试是相互独立的），如果，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为，如果已知这件乐器中恰好有件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设表示“随机取出的三件乐器中有件音色不纯”，表示“这批乐器被接收”，则，，，，，，，.于是，由全概率公式得：19（1）若，试证(2)设试证与独立的充要条件是证明（1）因即展开化简得从而有即（2）证充分性：由可得化简得，所以与独立.证必要性：因为与独立，所以与也独立，从而.第一章随机事件和概率一、选择题1．设A,B,C为任意三个事件，则与A一定互不相容的事件为（A）（B）（C）（D）2.对于任意二事件A和B，与不等价的是（A）（B）（C）（D）3．设、是任意两个事件，，，则下列不等式中成立的是（）4．设，，，则（）事件与互不相容事件与相互独立事件与相互对立事件与互不独立5．设随机事件与互不相容，且，则与中恰有一个发生的概率等于（）6．对于任意两事件与，（）7．若、互斥，且，则下列式子成立的是（）8．设，则下列结论中正确的是（）事件、互不相容事件、互逆事件、相互独立9．设、互不相容，，则下列结论肯定正确的是（）与互不相容10．设、、为三个事件，已知，则（）0.30.240.511．设A，B是两个随机事件，且0<P(A)<1，P(B)>0，，则必有（A）（B）（C）（D）12．随机事件A,B，满足和，则有（A）几何概型！（B）（C）（D）几何概型！13．设随机事件A与B互不相容，,，则下面结论一定成立的是（A）A，B为对立事件（B）,互不相容（C）A,B不独立（D）A,B独立14．对于事件A和B，设，P(B)>0，则下列各式正确的是（A）（B）（C）（D）15．设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（A）（B）（C）（D）16．设A,B,C是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（A）与C（B）与（C）与（D）与17．设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充要条件是（A）A与BC独立（B）AB与A+C独立（C）AB与AC独立（D）A+B与A+C独立18．将一枚均匀的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”，B=“正面最多出现一次”，C=“反面最多出现一次”，则下面结论中不正确的是（A）A与B独立（B）B与C独立（C）A与C独立（D）与A独立19．进行一系列独立重复试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（A）（B）（C）（D）二、填空题1．一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为__________2.设A，B是任意两个随机事件，则3．已知A、B两事件满足条件，且，则4．已知，则都不发生的概率为__________5．随机事件、满足，则6．设两两相互独立的三事件,和满足条件：，，且已知，则P(A)=7.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=8．设事件和中至少有一个发生的概率为，和中有且仅有一个发生的概率为，那么和同时发生的概率为_________9．设随机事件A,B,C满足，，，则A,B,C三个事件中至少出现一个的概率为。10．若在区间(0,1)上随机地取两个数u,v，则关于x的一元二次方程有实根的概率是。11．二阶行列式的元素可能为0或1，而0与1出现的概率均为，则该行列式的值为正数的概率是。12．对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一