-协方差与相关系数课件

12五月2024协方差与相关系数西南财经大学天府学院2一随机变量的相关系数和相关性对于二维随机变量，除了关心它的各个分量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量之间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期望和方差来说明，这就需要引进描述这两个分量之间相互关系的数字特征——协方差及相关系数，但如何来刻画这种关系呢？1问题的提出

西南财经大学天府学院3协方差西南财经大学天府学院4设两个随机变量X,Y的期望和方差都存在，则称为X和Y协方差。性质1.如果随机变量X与Y独立，且协方差存在，则2.协方差定义1(Covariance)西南财经大学天府学院5证明西南财经大学天府学院6设随机变量X,Y的方差存在，并且均不为零，3.相关系数定义2(CorrelationCoefficient)称为X与Y的相关系数.并且ρXY≠0,X,Y为线性相关ρXY=0,X,Y不线性相关ρXY>0,X,Y线性正相关ρXY<0,X,Y线性负相关西南财经大学天府学院7性质(b)X,Y独立西南财经大学天府学院8a>0时,ρXY=1a<0时,ρXY=-1证明(c):cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)[(aX+b)-E(aX+b)]=E(X-EX)(aX-aEX)=aDXDY=D(aX+b)=a2DX故西南财经大学天府学院9西南财经大学天府学院10

分析:欲求ρXY,需求出EX,EY,EXY,应用可得.本题已知随机变量Z的概率密度,X,Y分别是Z的随机变量函数,故应用定理设是服从上的均匀分布，又，试求相关系数【例2】西南财经大学天府学院11因而

相关系数=0，随机变量与不相关，

但是有，从而与不独立．解

西南财经大学天府学院12

【例3】随机向量(X,Y)~f(x,y)=求X,Y的相关系数ρXY.解:应用定理3.2:=7/6=5/3同理由对称性:=7/6EY2=5/3所以,DX=11/36,DY=11/36=4/3西南财经大学天府学院13

【例4】(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求X,Y的相关系数ρXY.解:故=0同理=3/4EY=EX=0EY2=EX2=3/4另一方面=1/8-1/8-1/8+1/8=0所以cov(X,Y)=EXY-EXEY=0亦即ρXY=0西南财经大学天府学院14解【例5】西南财经大学天府学院15西南财经大学天府学院16西南财经大学天府学院17结论西南财经大学天府学院18解练习西南财经大学天府学院19西南财经大学天府学院20西南财经大学天府学院21二.*随机向量的协方差矩阵与相关矩阵定义设(X1,X2,…,Xn)的各分量方差存在,称n阶方阵V为协差矩阵,其中Vij=cov(Xi,Yj),i,j=1,2,…,事实上,Vii=cov(Xi,Xi)=E(Xi-EXi)(Xi-EXi)=DX

Vij=cov(Xi,Xj)=Vji=cov(Xj,Xi)西南财经大学天府学院22以二维为例即西南财经大学天府学院23定义2.

设(X1,X2,…,Xn)的任两个分量Xi和Xj的相关系数ρij存在,(i,j=1,2,…,n),称n阶方阵R为n维随机向量的相关矩阵,记为其中ρij为分量Xi和Xj的相关系数.显然,西南财经大学天府学院24性质

(1)相关矩阵R主对角线元素均为1,且R为对称的非负定矩阵;(2)对二维随机向量(X,Y)有:西南财经大学天府学院25【例6】设X~N(0,1),Y~N(0,1),D(X-Y)=0,求(X,Y)的协差阵V.解:由题意得:DX=DY=1,

D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)=2-2cov(X,Y)=0故cov(X,Y)=1所以西南财经大学天府学院26【例7】设X,Y的协差阵为求相关阵R.解:由题意得:DX=9,DY=16,cov(X,Y)=4,所以,西南财经大学天府学院27三.小结X与Y独立2.协方差1.期望与方差的计算随机变量X与Y独立E(XY)=EXEYD(X+Y)=DX+DY=D(X-Y)西南财经大学天府学院28

(b)D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)=DX+DY±2(c)X,Y独立a>0时,ρXY=1a<0时,ρXY=-14.反之不成立。但是正态分布时独立与不相关是等价的。