2020-2021学年杭州市七县市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年杭州市七县市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）

1,若直线的参数方程为父二:初参数则直线的斜率为（）

2,“a=2”是“直线ax+2y—1=0与x+（a—l）y+2=0互相平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.圆/+必—4刀+6y+3=0的圆心坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

4.”a=±l""是函数丫=cos2ax—sin2ax的最小正周期为兀”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分条件也不必要条件

5.已知命题p：Vx>0,3、>/.则”为（）

A.Vx>0,3X<x3B,Vx<0,3X<x3

X3X3

C.3x0>0,3<xD.3x0<0,3<x

6.如图，在侧棱垂直底面的三棱柱ABC—中，ABAC=90°,AB=

AC=^-AAr,D,E分别是棱AB,B】Ci的中点，F是棱CQ上的一动点，

记二面角。—EF—B的大小为a,则在F从G运动到C的过程中，a的变

化情况为（）

A.增大

B.减小

C.先增大再减小

D.先减小再增大

7.底面半径为1的圆柱表面积为6兀，则此圆柱的母线长为（）

A.2B.3C.V5D.V17

8.已知椭圆G；二+艺=1与双曲线C2：应—"=1共焦点,则椭圆Q的离心率e的取值范围为

m+2nmn

()

A.(y,l)B.(0号C.(0,1)D.呜

9.已知瓦?与而不共线，若点C满足^AOA+（2-A'）OB,点C的轨迹是（）

A.直线B.圆C.抛物线D.以上都不对

10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的

是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3on,高为6on的圆

柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A.10

27

B.17

27

C.2

3

D.4

9

11.已知点P为函数/（%）=靖的图象上任意一点，点Q为圆（％-I）2+y2=1上任意一点，则线段PQ

长度的最小值为（）

A.V2-1B.1C.V2D.V3-1

12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上,SA1平面ABC,S4=2百,AB=1,AC=2,

/.BAC=60°,则球。的体积为（）

A.4兀B.—TtC.—7TD.12兀

33

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13.抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为到直线3久-4y+9=0的距离为d2,则刈+

的最小值为.

14.在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点，焦点右、&在x轴上，离心率为当过&的直线交

椭圆C于4B两点，且AABF2的周长为16,那么C的方程为.

15.在正方体4BCD-4/停1。1中，M,N分别为棱与4。的中点，则异面直线MN与所成角的

余弦值是.

16.已知Fi、尸2是双曲线提一3=1缶>0/>°）与椭圆9+1=1的共同焦点，若点P是两曲线的

一个交点，且APF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为.

17.过点(1,—1)且与直线x+3y-3=0垂直的直线为Z,贝”被圆"+y2=4截得的长度为.

18.设Z,机表示直线，山是平面任内的任意一条直线.则“][阴”是“11廿”成立的条

件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个)

三、解答题(本大题共4小题，共54.0分)

19.己知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线I与抛物线C相交于4、8

--------3

两点，且湖足OA*OB-.

4

(I)求抛物线C的标准方程；

(口)若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[-1,1],且拓i.丽=9,点N是以

线段4B为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围.

20.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABCD为矩形,PD_L平面4BCD,

PD=AB,E,F分另lj在棱PC,PD上.

(1)求证：BC1PC；

(2)若a,B,E,F四点共面，求证：EF//CD.

21.已知M,N是平面4BC两侧的点，三棱锥M-ABC所有棱长是2,AN=V3,NB=NC=V5,如

图.

(1)求证：4M//平面NBC；

(2)求平面MAC与平面N8C所成锐二面角的余弦.

22.已知椭圆C：g+g=l（a>h>0）经过点（1,小离心率为争点4为椭圆C的右顶点，直线I与

椭圆相交于不同于点4的两个点P（久1，%），Q（x2,y2）.

（I）求椭圆c的标准方程；

（口）当说・而=0时，求AOPQ面积的最大值；

（川）若%1%—％2%22,求证：|OP『+|OQ『为定值.

参考答案及解析

L答案：D

解析：试题分析：根据题意，由于直线的参数方程为初参数j:,那么可知该直线过定

点(1,2),化为普通方程为”2=2斜率为-芝，那么可知选D

考点：直线的参数方程

点评：主要是考查了直线的参数方程于普通方程的互化，属于基础题。

2.答案：A

解析：

本题以充要条件为载体，考查直线的平行条件，属于基础题.

根据直线平行的充要条件，求出直线ax+2y—1=0与久+(a-l)y+2=0互相平行时的a值，进

而根据充要条件的定义，可得答案.

解：若“直线ax+2y-1=0与x+(a-l)y+2=0互相平行”，

则a(a-1)-2=0,

解得：。=-1或。=2,经检验a=-1或a=2都可以使两直线平行；

故“a=2”是“直线ax+2y—1=0与x+(a-l)y+2=。互相平行”的充分不必要条件.

故选A.

3.答案:C

解析：解：将圆/+V-4%+6y+3=0化成标准方程，得(％-2>+(y+37=10

・•・圆心。的坐标是(2,-3)

故选C

将题中的圆化成标准方程得(x-27+(y+3>=10,由此即可得到圆心的坐标.

本题给出定圆，求圆心C的坐标.着重考查了圆的标准方程和基本概念等知识，属于基础题.

4.答案：B

解析：解：因为y=cos2a%-sin2ax=cos2a%,所以函数的周期T=舒=高=兀，解得a=±1.

所以a=±1是函数y=cos2ax一sin2ax的最小正周期为兀成立的充要条件.

故选"

结合三角函数的周期性公式，利用充分条件和必要条件的定义判断.

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键.

5.答案：C

解析：解：命题“p：Vx>0,3X>x3>>,

X3，>

则”为：**3x0>0,3<X.

故选：C.

根据全称命题的否定是特称命题，写出命题p的否定命题”即可.

本题考查了全称命题的否定是特称命题应用问题，是基础题.

6.答案：D

解析：解：如图，平面固定，

由D向平面BEF作垂线，垂足在BC边的四等分点处，

••・只需考虑清楚垂足到直线EF的变化情况，

如下图所示，当垂直交于正方形外的时候，距离先变大，

再到垂直相交于正方形内的时候，距离变小，

.•.记二面角D-EF-B的大小为a,

则在F从Ci运动到C的过程中，a的变化情况为先减小再增大.

故选：D.

平面BEF固定，由。向平面BEF作垂线，垂足在BC边的四等分点处，只需考虑清楚垂足到直线EF的

变化情况，可以判断在尸从Q运动到C的过程中，a的变化情况.

本题考查二面角的变化情况的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，是中档题.

7.答案：A

解析：

本题考查圆柱的几何特征及表面积计算，关键是利用圆柱的表面积的计算公式列出方程求未知数，

属于基础题.

通过圆柱的表面积=侧面积+两个底面积=底面周长X高+27TX半径2.求出圆柱的母线长.

解：因为底面半径为1的圆柱表面积为6兀，

设圆柱的母线长为x,贝!]2兀x17+兀x2x=6兀,解得：x=2,

故选：A.

8.答案：A

解析：

本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.

2222

根据椭圆'+匕=1与双曲线土—匕=1共焦点，确定n的值与7H的范围，进一步可求椭

圆Cl的离心率e的取值范围.

解：由题意，m+2—n=m+n,n=l,

又TH+2>几，m>0,m+2>2,

7771+2—71y1

•••e乙=------=1---------,

m+2m+2

/.-<62<1,

2

V2y

—<e<1,

2

故选A.

9.答案：A

解析：■■-OC=AOA+(2-A)OB=AOA+(l-A)OB+OB，

■■.BC=AOA+(1-A)OB,

设D点在直线上，则前=4瓦<+(1-4)命，

■■.BC=OD

•・•点。的轨迹是直线，

.••点C的轨迹也是一条直线.

故选A.

根据点C满足炉=AOA+(2-AJOB,转化为沅=4瓦5+(1—4)南+加即可.

本题主要考查点共线，点的轨迹的判断，属于中等题.

10.答案：A

解析：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3cm,高为2sn,一个是底面半径为2cm,

高为4cm,

组合体体积是：327r-2+227T-4—347icm3.

底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：327rx6=54jicm3,

切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：毛%=9.

547T27

故选：A.

由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可.

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.

11.答案：A

解析：解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q(1,O)到函数f(x)=/图象上一点的距离的最小值.

设/'(久)图象上一点(巾,e馆)，

由/'(%)的导数为/''(%)=ex,

即有切线的斜率为kue"1,

即有e2"1+m—1=0,

由g(X)=e2x+x—1,可得g'(x)=2e2x+1>0,g(x)递增.

又g(o)=o,

可得x=0处点(0,1)到点Q的距离最小，且为遮，

则线段PQ的长度的最小值为夜-1,

故选:A.

由圆的对称性可得只需考虑圆心Q(l,0)到函数/(X)=蜡图象上一点的距离的最小值.设f(x)图象上

一点(皿即)，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1,可得02机+zn-1=0,g(%)=

e2x+x-l,求出导数，判断单调性，可得切点，运用两点的距离公式计算即可得到所求值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，

属于中档题.

12.答案：B

解析：解：如图，

三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，

•••SA1平面ABC,SA=2V3,AB=1,AC=2,4BAC=60°,

DC=>/l+4-2xlx2xco.sMP=,

•••AABC=90°.

•••△ABC截球。所得的圆。'的半径r=lAC=1,

球。的半径7?=J1+(苧)2=2,

二球。的体积V=［兀R'=拳兀.

故选:B.

由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上,S4，平面ABC,S4=2®AB=1,AC=2,乙BAC=

60°,知43。=90。.故44匹截球。所得的圆。'的半径「="。=1,由此能求出球。的半

径，从而能求出球。的体积.

本题考查了三棱锥的外接球的体积的求法，余弦定理，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是

解题的关键.

13.答案：g

解析：解：••・抛物线y2=2久上的点P到抛物线的准线的距离为山，

•••点P到抛物线焦点G，0)的距离为支，

又点尸到直线3%-4y+9=0的距离为弓2，

•••询+d2的最小值为点(|,0)到直线3x-4y+9=0的距离，

由点到直线的距离公式可得噫竺”=4

V32+(-4)210

故答案为：

由抛物线的定义可得心+d2的最小值为抛物线的焦点G，0)到直线3x-4y+9=0的距离，由点到直

线的距离公式计算可得.

本题考查点到直线的距离公式，涉及抛物线的定义，转化是解决问题的关键，属基础题.

14.答案：应+”=1

168

解析：

本题考查椭圆的性质，属于基础题.

根据题意，AaBF2的周长为16,结合椭圆的定义，有4a=16,即可得a的值；又由椭圆的离心率,

可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程.

解：根据题意，AaBF2的周长为16,即BF2+人产2+B&+A&=16；

根据椭圆的定义，有4a=16,即a=4；

椭圆的离心率为逛，即£=逛，贝Ua=&c,

2a2

将a=4,代入可得，c=2a,贝1]炉=十一0?=g；

22

则椭圆的方程为土+-=1;

168

22

故答案为：二+匕=1.

168

15.答案:在

3

解析：解：连接BD,•:MN“BD,

••・异面直线MN与BO1所成的角即为直线BD与BA所

成的角：4D[BD

•.•在RtAOiOB中，设心。=1,则DB=71,0/=V3

V6

・••cosZ-D1BD=—

••・异面直线MN与BA所成的角的余弦值为f

故答案为：立

3

求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直

线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角.平移时主要是根据

中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等.

本小题考查空间中的线面关系，异面直线所成的角、解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思

维能力.

16.答案:2

解析：解：不妨设P是两曲线在第一象限的交点，P(x,y)

由题意，椭圆?+?=1的焦点为(±2,0)

••・双曲线线m一］=l(a>0,b>0),与椭圆式+”=1的共同焦点

a2b2K)95

•••a2+b2=4①

•・•点P是两曲线的一个交点，且小P&B为等腰三角形

•••\PFi\=F/2I=4

•••椭圆的左准线方程为：%=

c2

.4_2

••U一与

2

3

2

•••P在椭圆苦+?=1上

.•.y2T

：4

22

•・咛在双曲线5—彳=1上

a2b2

②

由①②得：b2=3,a2=1,

•••c=2,

•••e=-=2.

a

故答案为：2.

2222

先利用双曲线双曲线表—左=l(a>0,b>0)与椭圆篙+言=1的共同焦点，求得a?+炉=4,再利

用点P是两曲线的一个交点，且APFiF?为等腰三角形，求得交点坐标，从而可求双曲线的标准方程，

进而可求双曲线的离心率.

本题以椭圆为载体，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆的定义的运用，属于中档题.

17.答案：

解析：

由条件利用两条直线垂直的性质，求出】的斜率，可得/的方程，求出弦心距d,再利用弦长公式求出

，被圆％2+y2=4截得的长度.

本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用,

属于基础题.

解：由题意可得，直线/的斜率为3,直线［的方程为y+l=3Q—l),BP3x-y-4=0.

圆心(0,0)到直线2的距离为d==息，

故/被圆/+*=4截得的长度为2V7匚加=2卜号=学，

故答案为：

18.答案:充要

解析：本题主要考查了充分条件，必要条件的判定.利用直线与平面垂直的判定与性质进行解答.

解：因为直线m表示平面仪内的任意一条直线，

所以由T_Li»,可得？_La.

若？_La,则由线面垂直性质定理可得：直线？垂直平面内的任意一条直线,

所以.

所以M±m”是“1±a”的充要条件.

故填充要.

19.答案:解：(I)设抛物线方程为:*=2PK@>0),焦点尸的坐标为《,0),直线/的方程为％=+?

设401/1)，8(久2，为)，

V2=2nx

；=t消去%得到y2_2pty_p2=o,

(一y十2

则yi+光=2pt,yiy2=_p2,•%2=(tyi+0(ty2+0=7'

OA-OB=xrx2+7172=—去=—£解得P=1，

所以抛物线C的方程为必=2x；

（口）抛物线的准线为久=/因为点M在抛物线的准线上，所以设-l<m<1,

由（I）知：%1%2=%y,2=-1，丫1+丫2=23所以％1+%2=2/+1,

因为-MB=+012+0+—血）。2—血）=（t-771）2,

所以（£—771）2=9,,£=m+3或t=771-3,

因为一1〈血41,

所以2<t<4或—4<t<—2,

根据抛物线的定义可知，以为直径的圆与抛物线的准线相切，

所以点N的纵坐标为左产=t,

所以点N的纵坐标的取值范围是[-4,-2]U[2,4].

解析：本题考查抛物线方程和性质，考查直线与抛物线的位置关系，.

（I）设抛物线方程为：y2=2px,焦点为国0）,直线Ax=ty+l，联立直线与抛物线方程，消去

%,运用两根之积，再由向量的数量积的坐标公式，得到方程，解出即可；

（口）设时（一：,爪），-1<m<1,由赢.最=9结合（I）中结论，确定t的范围，根据抛物线的定

义可知，以为直径的圆与抛物线的准线相切，可得点N的纵坐标为左产=如即可求出点N的纵坐

标的取值范围.

20.答案：证明：（1）PD1平面ABCD,BCu平面2BCD,

•••PD1BC,

•.•四边形4BCD为矩形，

CD1BC,

又PDCCD=D,PD,CDu平面PCD.

•••BC，平面PCD,

又PCu平面PC。，

•••BC1PC.

(2)•••四边形4BCD为矩形，

：.AB//CD.

又CDu平面PCD,ABC平面PCD,

MB〃平面PCD.

又由题意，得平面48EFC平面PC。=EF,ABu平面ABEF,

：.AB//EF,

•­•EF//CD.

解析：(1)证明PD_LBC,结合CD_LBC,推出BC1平面PCD,即可证明BC_LPC.

(2)证明4B〃CD.推出4B〃平面PCD得到4B〃EF,然后说明EF〃CD.

本题考查直线与平面垂直，直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，是中档题.

21.答案：(1)证明：记线段BC中点为0,分别连结AD,MD,ND.

由条件得48=AC=MB=MC=2,NB=NC=V5,

•••BC1AD,BC1MD,BC1ND.

•••AD与MD是平面AMD内两相交直线，4D与ND是平面NAD内两相交直线，

•••BCL^^MAD,BCL^^NAD.

平面M4D与平面M4D重合.

记线段ND的中点为。，连结40.

根据条件可得，AN=MD=W，AM=ND=2,

四边形4VDM是平行四边形，即4M〃ND.

"AMC平面NBC,NDu平面NBC,

所以，AM〃平面NBC.

(2)解:由(1)知，平面M4D1平面NBC.

记线段ND的中点为。，连结40.

根据条件得，AD=AN=,，:AOLND,即4。，平面NBC.

以过。平行BC的直线为左轴，分别以直线。。，。4为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.

•••/l(0,0,V2),C(-l,l,0),M(0,2,V2),AC=(-1,1,-V2),AM=(0,2,0).

设平面MAC的一个法向量为元=(x,y,z),

则有_L4C，n1AM>即元•AC=0，n-AM=0>

(—x+y—V2z=0,

12y=0.

不妨取z=-l,得元=(加,0,—1),

TZ-?一、^A-n-V2V3

COS<OA,Yl>=——>=~-p=------.

\0A\-\n\V2xV33

因就是平面NBC的一个法向量，

所以，平面MAC与平面NBC所成锐二面角的余弦为火.

3

解析：本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以

及计算能力，是中档题.

⑴记线段BC中点为。，分别连结AD,MD,ND.证明平面此4。与平面NAD重合.记线段ND的中点

为。，连结40.说明四边形2NDM是平行四边形，推出AM〃ND.然后证明4"〃平面NBC.

(2)记线段ND的中点为。，连结40.说明4。，平面N8C.过。平行BC的直线为x轴，分别以直线。£),。2

为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z.求出平面AL4C的一个法向量，正是平面N8C的一

个法向量，

利用空间向量的数量积求解平面与平面NBC所成锐二面角的余弦即可.

22.答案：(/)解：由题意可得：上+磊=1,"争a?=/+c2,联立解得a=2,b=t,c=相.

•,•椭圆C的标准方程为上+y2=1.

4

(〃)解：4(2,0),由题意可得：直线Z的斜率不为0,设直线/的方程为：x=my+t(t^2),

(x=my+t

联立

(%2+4y2=4f

化为：(血？+4)y2+2mty+t2—4=0,△=47n2t2—曲血？+4)(/—4)>0,

,-2mtt2-4

+丫「丫

•••yi2=y2=m2+4

,・•都•而=0,(%1-2)(%2—2)+7172=0,

22

又(%i-2)3