-第2节地统计分析方法《计量地理学》华东师大-徐建华省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第2节地统计分析方法一、地统计方法基本原理

（一）区域化变量

（二）协方差函数

（三）变异函数

（四）克立格插值方法

二、应用实例

1/51地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上现有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性自然现象科学。

协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为基础建立起来地统计学两个最基本函数。地统计学主要方法之一，克立格法就是建立在变异函数理论和结构分析基础之上。

2/51当一个变量展现为空间分布时，就称之为区域化变量（RegionalizedVariable）。这种变量经常反应某种空间现象特征，用区域化变量来描述现象称之为区域化现象。区域化变量，亦称区域化随机变量，G.Matheron（1963）将它定义为以空间点x三个直角坐标为自变量随机场＝。区域化变量含有两个最显著，而且也是最主要特征，即随机性和结构性

一、地统计方法基本原理

（一）区域化变量

3/51（二）协方差函数

1.协方差函数概念

区域化随机变量之间差异，能够用空间协方差来表示。区域化变量在空间点x和x+h处两个随机变量和二阶混合中心矩定义为Z(x)自协方差函数，即4/51协方差函数计算公式为：式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，为在空间位置处实测值，是在处距离偏离实测值[i=1，2，…，]，是分隔距离为h时样本点对（Paris）总数，和分别为和样本平均数。2.协方差函数计算公式

5/51若==m（常数），则上式能够改写为：式中：m为样本平均数，可由普通算术平均数公式求得，即：6/51（三）变异函数

1.变异函数概念

变异函数（Variograms），又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有基本工具。在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上改变时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处值Z(x)与Z(x+h)差方差二分之一为区域化变量Z(x)在x轴方向上变异函数，记为γ(h)，即

7/51在二阶平稳假设条件下，对任意h有所以，公式能够改写为

从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和h，当变异函数仅仅依赖于距离h而与位置x无关时，可改写成，即：

8/512.变异函数性质设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设条件下，变异函数式含有以下性质：(1)=0，即在h=0处，变异函数为0；(2)=，即关于直线h=0是对称，它是一个偶函数；(3)≥0，即只能大于或等于0；(4)|h|→∞时，→c(0)，或=c(0)，即当空间距离增大时，变异函数靠近先验方差；(5)[-]必须是一个条件非负定函数，由[-]组成变异函数矩阵在条件时，为非负定。9/513.变异函数计算公式设是系统某属性Z在空间位置x处值，为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，和分别是区域化变量在空间位置和处实测值[i=1,2,…,N(h)]，那么，变异函数离散计算公式为10/51这么对不一样空间分隔距离h，计算出对应和值。假如分别以h为横坐标，或为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就能够直接展示区域化变量Z(x)空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和空间结构分析有效工具。11/51比如，假设某地域降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观察值空间正方形网格数据如图4.2.1所表示（点与点之间距离为h=1km）。试计算其南北方向及西北和东南方向变异函数。12/51图4.2.1空间正方形网格数据（点间距h=1km）

从图4.2.1能够看出，空间上有些点，因为某种原因没有采集到。假如没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值情况下，也能够计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（见图4.2.2）。13/51首先计算南北方向上变异函数值，由变异函数计算公式可得：

=385/72=5.35图4.2.2缺失值情况下样本数正确组成和计算过程，☉为缺失值14/51一样计算出最终，得到南北方向和西北—东南上变异函数计算结果见下表。一样能够计算东西方向上变异函数。

方向

南北

方向

西北—东南

h12345h1.412.824.245.657.07N(h)362721135N(h)322113825.359.2617.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.0015/514.变异函数参数变异函数有四个非常主要参数，即基台值（Sill）、变程（Range）或称空间依赖范围（RangeofSpatialDependence）、块金值（Nugget）或称区域不连续性值（LocalizedDiscontinuity）和分维数（FractalDimension）。

前3个参数能够直接从变异函数图中得到。它们决定变异函数形状与结构。因为数据对（Wz，z）经过了标准化，所以界外值可易由2－sigma规则可视化地识别出来。变异函数形状反应自然现象空间分布结构或空间相关类型，同时还能给出这种空间相关范围。16/51当变异函数伴随间隔距离h增大，从非零值到达一个相对稳定常数时，该常数称为基台值C0+C，当间隔距离h=0时，γ(0)=C0，该值称为块金值或块金方差（NuggetVariance）。基台值是系统或系统属性中最大变异，变异函数到达基台值时间隔距离a称为变程。变程表示在h≥a以后，区域化变量Z(x)空间相关性消失。块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异，由区域化变量属性或测量误差决定。

C0C0+C2γ(h)17/51上述三个参数可从变异函数曲线图直接得到，或经过预计曲线回归参数得到。第4个参数，即分维数用于表示变异函数特征，由变异函数和间隔距离h之间关系确定：分维数D为双对数直线回归方程中斜率，它是一个无量纲数。分维数D大小，表示变异函数曲线曲率，能够作为随机变异量度。但该随机分维数D与形状分维数有本质不一样。18/515.变异函数理论模型

地统计学将变异函数理论模型分为三大类：第一类是有基台值模型，包含球状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型；第二类是无基台值模型，包含幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型；第三类是孔穴效应模型。下面有代表性地介绍几个常见变异函数理论模型。19/51（1）纯块金效应模型。其普通公式为：式中：c0>0，为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布，样本点间协方差函数对于全部距离h均等于0，变量空间相关不存在。

20/51（2）球状模型。其普通公式为：

式中：c0为块金（效应）常数，c为拱高，c0+c为基台值，a为变程。当c0=0，c=1时，称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛理论模型，许多区域化变量理论模型都能够用该模型去拟合。

21/51（3）指数模型。其普通公式为：式中：c0和c意义与前相同，但a不是变程。当h=3a时，，即，从而指数模型变程约为。当c0=0，c=1时，称为标准指数模型。22/51（4）高斯模型。其普通公式为：式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当时，，即，所以高斯模型变程约为。当时，称为标准高斯函数模型。23/51（5）幂函数模型。其普通公式为：式中：θ为幂指数。当θ改变时，这种模型能够反应在原点附近各种性状。不过θ必须小于2，若，则函数就不再是一个条件非负定函数了，也就是说它已经不能成为变异函数了。

24/51（6）对数模型。其普通公式为：显然，当，这与变异函数性质不符。所以，对数模型不能描述点支撑上区域化变量结构。25/51（7）线性有基台值模型。其普通公式为：

式中该模型变程为a，基台值为。

（8）线性无基台值模型。其普通公式为

从式中能够看出，该模型没有基台值，也没有变程。

26/51比如，某地域降水量是一个区域化变量，其变异函数实测值及距离h关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。实测值γ(h)距离h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.5实测值γ(h)距离h8.83.812.49.827/51从上面介绍和讨论，我们知道，球状变异函数普通形式为：当时，有：

假如记

，则能够得到线性模型：(4.2.19)依据表中数据，对上式进行最小二乘拟合，得到：(4.2.20)

计算可知，上式显著性检验参数F=114.054，R2=0.962，可见模型拟合效果是很好。28/51比较(4.2.20)式与(4.2.19)式，并做简单计算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球状变异函数模型为：(4.2.21)29/51(四)克立格插值方法

克立格（Kriging）插值法，又称空间局部预计或空间局部插值法，是地统计学主要内容之一。克立格法是建立在变异函数理论及结构分析基础之上，它是在有限区域内对区域化变量取值进行无偏最优预计一个方法

克立格法适用条件是，假如变异函数和相关分析结果表明区域化变量存在空间相关性

其实质是利用区域化变量原始数据和变异函数结构特点，对未采样点区域化变量取值进行线性无偏、最优预计。

30/51克里格插值（KrigingInterpolation），是依据变异函数模型而发展起来一系列地统计空间插值方法，包含：普通克里格法（OrdinaryKriging）、泛克里格法（UniversalKriging）、指示克里格法（IndicatorKriging）析取克里格法（DisjunctiveKriging）、协同克里格法（Cokriging）等。下面仅对普通克立格法作一些简单介绍。

31/51首先假设区域化变量满足二阶平稳假设和本征假设，其数学期望为m，协方差函数及变异函数存在。即：假设在待预计点（x）临域内共有n个实测点，即，，…，，其样本值为。那么，普通克里格法插值公式为：

32/51其中为权重系数，表示各空间样本点处观察值对预计值贡献程度。可见，克立格插值关键就就是计算权重系数。显然，权重系数求取必须满足两个条件：一是使预计是无偏，即偏差数学期望为零；二是最优，即使预计值和实际值之差平方和最小。为此，需要满足以下两个条件：33/51（1）无偏性。要使成为无偏预计量，即。当时，也就是当时，则有这时，为无偏预计量。（2）最优性。在满足无偏性条件下，预计方差为：34/51使用协方差函数表示，它能够深入写为：

(4.2.24)

为使预计方差最小，依据拉格朗日乘数原理，令：(4.2.25)

求F对和偏导数，并令其为0，得克立格方程组：

(4.2.26)

35/51整理后得：(4.2.27)

解线性方程组(4.2.27)式，求出权重系数和拉格朗日乘数μ，代入公式(4.2.24)，经过后可得克立格预计方差，即(4.2.28)

36/51在变异函数存在条件下，依据协方差与变异函数关系：

或，也能够用变异函数表示普通克立格方程组和克立格预计方差，即：(4.2.29)

(4.2.30)

37/51上述过程也可用矩阵形式表示，令：

则普通克立格方程组为：(4.2.31)解方程组(4.2.31)式，可得：

(4.2.32)其预计方差为：

(4.2.33)

38/51也能够将克立格方程组和预计方差，用变异函数写成上述矩阵形式。令：

在以上介绍中，区域化变量数学期望能够是已知或未知。假如m是已知常数，称为简单克立格法；假如m是未知常数，称为普通克立格法。不论是那一个方法，均可依据方法计算权重系数和克立格预计量。

39/51以图4.2.1为例，四个观察点x1、x2、x3、x4观察值分别为Z(x1)=37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，假如假设降水量变异函数是向同性（即变异函数在各个方向是改变都相同）二维球状模型，其详细形式为（4.2.21）式。现在，我们用普通克立格法预计观察点x0降水量值Z(x0)。依据普通克立格法基本原理，我们知道，Z(x0)预计基本公式应该是：

40/51依据公式(4.2.32)，可知：

(4.2.37)

依据协方差与变异函数关系以及（4.2.21）式，可得协方差函数：

41/51当时，依据克立格矩阵对称性，当时，，由此计算可得：

42/51将以上计算结果代入克立格方程组（4.2.31），得：

43/51即克立格权重系数分别为：λ1=0.287，λ2=0.210，λ3=0.202，λ4=0.301，μ=-0.473，所以点降水量克立格预计值为：依据普通克立格法基本原理，我们知道，Z(x0)预计基本公式应该是：

37.25（mm）。

克立格预计方差为：

44/51二、应用实例

年降水量和蒸发量，既服从地带性规律，同时又受随机性原因影响，所以它们是经典区域化变量。我们以甘肃省53个气象台站多年平均降水量和蒸发量数据（见教材表3.1.2）为实测值，拟合了年降水量和蒸发量半变异函数理论模型，并采取普通克里格法和双变量协同克里格法，做了空间插值计算，结论以下。

45/51（一）半变异函数半变异函数模型，是克立格空间插值前提条件，同时它也决定着空间插值精度。普通情况下，半变异函数模型是依据半变异函数云图分布，选择适当理论模型，按照预计方差最小标准，利用最小二乘法求得。图4.2.4和图4.2.5分别给出了年降水量和年蒸发量半变异函数云图。图4.2.4年降水量半变异函数云图

46/51一样也能够作出蒸发量半变异函数运图。能够看出，年降水量和年蒸发量块金效应都不显著，这是因为样本点是各个气象站点实测值，空间分辨率能够忽略不计，另外试验误差和人为性误差基本上都很小。我们选择各种不一样半变异函数理论模型，经过屡次拟累计算和对比分析，发觉指数模型比很好地描述了年降水量空间变异规律。其变异函数详细形式以下：47