第七章立体几何复习教案

立体几何

〈第一节空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

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1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中

简单物体的结构.

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识

别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图

形的不同表示形式.

4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有

严格要求).

主Ia可扣、忆教材夯基提能

•>>如识清单

一、必备知识

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体结构特征

棱柱有两个个平行,其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥有•个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

(2)旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形矩形一边所在的直线

圆锥直角三角形一直角边所在的直线

圆台直角梯形或直角腰所在的直线或等腰

等腰梯形梯形上下底中点连线

球半圆或圆直径所在的直线

2.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图.

(2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几

何体的正投影图.

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，X，轴，y轴的夹角为

45°或135°,z，轴与X，轴和V轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴;平行于x轴和z轴的

线段在直观图中保持原长度丕变；平行于Y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.

二、必记结论

1.常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆.

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”

(坐标轴的夹角改变，

，，三变，，(与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，

〔图形改变.

'平行性不改变，

“三不变”与x,z轴平行的线段的长度不改变，

.相对位置不改变.

3.直观图与原图形面积的关系

=1als

Sam45忒或S城留柩=2媳SH现图).

••＞对点演练

一、思考辨析

判断下列结论的正误.(正确的打y“，错误的打“X”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()

(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()

(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.()

(6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.()

提示：

(1)错误.如图所示，该几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱.

(2)错误.根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形.

(3)正确.根据棱台的定义可知正确.

(4)错误.两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱.

(5)错误.圆台的母线延长后交于一点.

(6)正确.根据球的结构特征可知正确.

答案：(l)x(2)x(3)4(4/(5)x(6)4

二、牛刀小试

1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()

A.棱柱的侧棱长都相等

B.棱锥的侧棱长都相等

C.三棱台的上、下底面是相似三角形

D.有的棱台的侧棱长都相等

解析：选B根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.

2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()

A.圆柱B.圆锥

C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满

足任意截面都是圆面.

3.下面三视图如图所示，则该几何体是()

A.三棱锥B.四棱锥

C.四棱台D.三棱台

解析：选B由三视图知该几何体为四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为直角梯

形.

4.如图△ABC，是aABC的直观图，那么△人8（2是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

解析：选B由于△ABC，的边A，C，〃y，轴，所以AC-Lx轴，故AABC为直角三角形.

O热点题型•分类突破。析考点强化认知

考点一空间几何体的结构特征

［例1］给出下列四个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底而可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

［听前试做］

①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误.当以斜边所在直

线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同

底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延

长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

答案：B

空间几何体结构特征有关问题的解答技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，

在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判

定.

⑵通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即

可.

口变式训练

给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.

其中错误命题的序号是.

解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故

①③都不正确；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确；④平行六面体的

两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确.

答案：①②③④

高频考点，发散思维

空间几何体的三视图

考点二

空间几何体的三视图是每年高考的热点内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属

中低档题.归纳起来，且主要有以下几个命题角度:

角度一：由空间几何体的三视图还原出几何体的形状

［例2］（2015•郑州模拟）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

）

［听前试做］A,B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.

答案：D

角度二：由空间几何体的直观图判断三视图

［例3］（2014•江西高考）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是

左依）视

［听前试做］由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下

看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.

答案：B

角度三：由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图

［例4］（2015・吉林模拟）己知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB=AC,

四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是（把你认为正确的图的序号都填

上）.

［听前试做］直观图如图1的几何体（上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱）的俯视

图为①；直观图如图2的几何体（上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱）的俯视图为②；直

观图如图3的几何体（上部是一个圆锥，下部是一个圆柱）的俯视图为③；直观图如图4的几

何体（上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱）的俯视图为④.

图1图2图3图4

答案：①②③④

方法•规律

三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的

部分用实线，不能看到的部分用虚线表示.

（2）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测

直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项

逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.

（3）由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图

的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.

口变式训练

（2013•四川高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（

vqzyzz

正视图侧视图

©

俯视图

AB

CD

解析：选D由于俯视图是两个圆，所以排除A,B,C,故选D.

2.（2015•济宁一模）点M,N分别是正方体ABCD-A|B|C|D|的棱A|B|,AQ1的中点，

用过A,M,N和D,N,G的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该儿

何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的（）

图1图2

A.①②③B.②③④

C.①③④D.②④③

解析：选B由正视图的定义可知：点A,B,B1在后面的投影点分别是点D,C,G,

线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CG平行且相等的线段，另外线段

AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段D3要画成虚线，正视图为②；同理可得侧

视图为③，俯视图为④.

3.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧，按照画三视图的要求画

出的该几何体的侧视图是（）

解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD,且EC

投影在面PAD上，故B正确.

题根迁移，多维探究

几何体的直观图

考点三

［例5］如图所示，△ABC是AABC的直观图，且△ABC，是边长为a的正三角形,

求4ABC的面积.

［听前试做］

建立如图所示的坐标系xOy-AABC的顶点C在y，轴上，边AB，在x轴上，把了轴绕

原点逆时针旋转45。得y轴，在y轴上取点C使0C=20C,A、B点即为N、B，点，长度不

变.

已知AB=AC=a,

在中，

OCA'C'

由正弦定理得•

sin/OAC-sin45。，

cc,sin120°A/6

所以℃=高而^=$2,

所以原三角形ABC的高OC=,a,

2

所以SAABC=|xax^/6a=坐a.

［探究1］若本例改为“已知4ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A，B，C的面积”,

应如何求？

解：由斜二测画法规则可知，直观图AABC」底边上的高为Wax聂烂=^a,

ZZZo

故其面积SAABC=|ax^a=乎a?.

ZoIO

［探究2］

本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，ZABC=45°,AB=AD=1,DC1BC,

则原图形的面积为.

解析：如图①，在直观图中，过点A作AE±BC,垂足为E,

贝IJ在RtAABE中，AB=1,/ABE=45°,/.BE=当

而四边形AECD为矩形，AD=1,

.-.EC=AD=l..-.BC=BE+EC=^+1.

由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.

z

在原图形中，A'D，=1,A'Bz=2,BzCz乎+1,且A'D'IIBC',A'B'1

BzC,

.•.原图形的面积为S=g(A'D'+B'C')・A'B'=gx(l+1+乎)X2=2+*.

答案：2+坐

方法规律

平面图形直观图与原图形面积间的关系

对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S'之间

的关系S'=坐，能更快捷地进行相关问题的计算.

口变式训练

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°,腰和上底均为1的等

腰梯形，那么原平面图形的面积是)

A.2+y［2B.上称回

C.苧D.1+^

解析：选A由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°,腰和

上底长均为1,得下底长为1+啦，所以原图是上、下底分别为1,1+m,高为2的直角梯

形.所以面积S=；X(1+啦+l)X2=2+*.

--------［课堂归纳一通法领悟］---------------------------

2点注意——画三视图和直观图时应注意的两个问题

(1)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.

(2)画直观图注意平行性、长度两个要素.

3条规则——画三视图时应遵循的三条规则

(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.

(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.

(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.

［全盘巩固］

一、选择题

1.充满气的车轮内胎(厚度忽略不计)可山下面某个图形绕旋转轴旋转而成，这个图形是

()

解析：选C选项A得到的是空心球；D得到的是球面；B得到的是空心的环状几何体；

选项C得到的是车轮内胎.

2.(2015•长春模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正

三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()

11

正视图

2

解析：选B由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面，侧视图为直角三角形，直角边

长为2,另一直角边为底边三角形的高小.故侧视图可能为B.

3.给出下列四个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长

方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的

命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

解析：选A①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱，故①错；②底面是

等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体，故②错；③④显然错误，故选A.

4.（2015•烟台模拟）一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：

①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.

正视图侧视图

其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.®

解析：选C当该几何体的俯视图为圆时，由三视图知，该几何体为圆柱，此时正视图

和侧视图应相同，所以该几何体的俯视图不可能是圆，其余都有可能.故选C.

5.（2015•江西，、校联考）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其正视图有最

大面积时，其侧视图的面积为（）

A.273B,3

C.小D.4

解析：选A当正视图的面积最大时，可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图

所示放置，此时S他=24.

二、填空题

6.在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形

且边长为2cm,则在xOy坐标系中，四边形ABCO为,面积为cm2.

解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边

形ABCO是长为4cm,宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.

答案：矩形8

7.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，点P是上底面ABCD内一动点，则三棱锥P-ABC

的正视图与侧视图的面积的比值为一

解析：三棱锥P-ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等,

两者面积的比值为1.

答案：1

8.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为十，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,

则正视图的周长为.

解析：

由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF,其中E,F分别是AD,BC的中点，则BF=1,

在Rt^PBF中，BF=1,PB=[5,于是PF=*,同理PE=*,故其正视图的周长为2+2*.

答案：2+2加

三、解答题

9.已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体

的三视图，试说明该几何体的构成.

俯视图

图①图②

解：图①几何体的三视图为:

图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体.

10.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图，如图所示.

正视图例视图

佣视图

(1)画出该三棱锥的直观图;

(2)求出侧视图的面积.

解：(1)直观图如图所示.

.■•SAVBC=^X2^/5X2^/5=6.

［冲击名校］

（2015•长沙模拟）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的

侧视图为（）

ABCD

解析：选D如图所示，点。的投影为G,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.

第二节空间几何体的表面积与体积鬻

【考纲下载】

了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）.

O匕F知识•练中问扣O忆教材夯基提能

••＞知识清单

一、必备知识

1.多面体的表（侧）面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积

是侧面积与底面面积之和.

侧面积S阀分物=

S网柱恻=2兀rlS।如悔侧=皿

公式兀(—

3.空间几何体的表面积和体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体

S衣面积=S例+2S底V=Sh

(棱柱和圆柱)

锥体V=|sh

S表面积=S侧+S底

(棱锥和圆锥)

台体S表面积=S侧+V=j(Si-,+SF+

(棱台和圆台)S上十S下dss)h

球S=47tR2V=R3

占J---

二、必记结论

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)等底面面积且高相等的两个同类几何体的体积相等.

2.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,

①若球为正方体的外接球，则2R=45a；

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R=，ia.

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=^a2+b2+c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

•>>对点演练

一、思考辨析

判断下列结论的正误.(正确的打“铲，错误的打“x”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()

(2)球的体积之比等于半径之比的平方.()

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()

(4)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是

271s.()

提示：(1)错误.由锥体的体积公式可知错误.

(2)错误.由球的体积公式可知球的体积之比等于半径之比的立方.

(3)正确.根据台体与锥体之间的关系可知正确.

(4)错误.由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r,则有S

irr2,从而圆柱侧面积为47rs.

答案：(l)x(2)x(3)<(4)x

二、牛刀小试

1.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是()

A.87tB.6兀C.4nD.兀

解析：选C设正方体的棱长为a,贝ija?=8,即a=2.

故该正方体的内切球的半径r=l,

所以该正方体的内切球的表面积S=4兀『=4兀

2.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体枳为()

俯视图

A.2兀+4B.2兀+8

C.4兀+4D.4兀+8

解析：选B由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视

图的尺寸知该几何体的体积为V=1x2x4+1x7tx12X4=8+2n.

3.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是.

解析：侧面都是直角三角形，故侧棱长等于半a,

-cz。亚,、1/啦丫3+小2

所以S=+3x5x(苛aI=-a.

答案:

4.表面积为37r的圆锥，它的侧面展开图是•个半圆，则该圆锥的底面直径为

解析：设圆锥的母线为1,圆锥底面半径为r,由题意可知，

Ttrl+兀『=3兀，且兀1=2加.解得r=1,即直径为2.

答案：2

5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-ABGDi中,P是A|B|上一点，且PB|="B，

则多面体P-BCC|Bi的体积为.

解析：由题意知，VP-BCGB1=

■^SBCC|B|-PB|=^x42xl=-y.

答案:y

o热点题型.分类突破o析考点强化认知

考点一空间几何体的表面积

[例1]（1）（2015・临沂模拟）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图中的圆弧是半圆,

则该几何体的表面积为（）

A.92+1471B.82+1471

C.92+24兀D.82+24)1

（2）（2015・天水模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

俯视图

A.6+7小B.10+V3

C.12+小D.12

(3)(2014・山东高考)一个六棱锥的体积为2s,其底面是边长为2的正六边形，侧棱长

都相等，则该六棱锥的侧面积为.

［听前试做］

E

H

(1)由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2,高为5

的圆柱的一半.在长方体中EH=4,HG=4,GK=5，所以长方体的表面积(去掉一个上底面)

为2(4x4+4x5)+4x5=92.半圆柱的两个底面积为兀><2?=4兀泮圆柱的侧面积为7tx2x5=10兀,

所以整个组合体的表面积为92+4兀+107r=92+14n,选A.

(2)由三视图知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等

边三角形高为2所以该几何体的表面积为S=1x2xA/3+3x2x2-2x|x2xl+32乂2=12+小.

故选C.

(3)由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h,则;x6xWx22xh=2小，解

得h=1,底面正六边形的中心到其边的距离为小,故侧面等腰三角形底边上的高为2,故该

六棱锥的侧面积为$12x2=12.

答案：(1)A(2)C⑶12

方法•规律

空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间

的位置关系及数量.

⑵多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

⑶旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

口变式训练

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.

\■nrii

-i1—2—-I1I——QS-2—«IQ5I-

该几何体的直观图如图所示，该几何体为长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个

底面半径为1,高为1的圆柱.

，S*=2x（4+3+12）+2兀-27t=38.

答案：38

高频考点，发散思维

空间几何体的体积

考点二

空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难

度较小，属容易题.归纳起来，且主要有以下几个命题角度：

角度一：求以三视图为背景的几何体的体积

[例2]（2014•安徽高考）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）

A字47

B6C.6D.7

［听前试做］如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别

截去一个小三棱锥得到的，其体积为V=8-2xgxlxgxlxl=?.

答案:A

角度二：求简单几何体的体积

［例3］（2014•山东高考）三棱锥P-ABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D-ABE

的体积为V1,P-ABC的体积为V2，则称=

［听前试做］

如图，设点C到平面PAB的距离为h,ZXPAB的面积为S，则V2=：Sh,V1=VE.ADB=1

1111

所

X-sX-h以V_I-

22sh4

12V2

1

案

答-

4

角度三：求组合体的体积

［例4］（2014•天津高考）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为

俯视图

［听前试做」由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2m、高为2m的

圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆柱，所以该几何体的体积是:x4兀、2+4兀=半

m3.

口.3

方法•规律

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行

求解.

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等

方法进行求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条

件求解.

口变式训练

1.(2013•山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图

所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()

O

A.4小，8B.4&]

Q

C.4(75+1),3D,8,8

解析：选B由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2,高为2,侧面上的斜高为

•\^22+I2=小，所以S=4xgx2x小)=4小,V=1X22X2=

2.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且AADE,ABCF

解析：选A如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,

容易求得EG=HF=g,AG=GD=BH=HC=^,

1啦I啦

SAAGD=SABHC=XX1==

224:、V-VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC2VE-ADG+VAGD-BHC

1应1c近,也母注入

=3X4x2x2+4x1=拳故选A.

3.（2013・湖北高考）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体

组成，其体枳分别记为V1,v2,v3,v4,上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几

何体均为多面体，则有（)

A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4

C.V2<VJ<V3<V4D.V2<V3<VJ<V4

解析：选C由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体

均为多面体.根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2,下底面圆的

半径为1,高为1的圆台，其体积V产31x(12+22+ix2)*l7=1TV；从上到下的第二个简单几

何体是一个底面圆半径为1,高为2的圆柱，其体积V2=012x2=2兀；从上到下的第三个简

3

单几何体是棱长为2的正方体，其体积V3=2=8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱

台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1,故体积V4

=|x(22+2x4+42)xl=y，比较大小可知答案选C.

题根迁移，多维探究

与球有关的切、接问题

考点三

［例5］(2015・沈阳模拟)一知直三棱柱ABC-A］B1G的6个顶点都在球O的球面上，若

AB=3,AC=4,AB±AC,AA|=12,则球O的半径为()

B.C.yD.3y［\0

［听前试做］如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

又AM=1BC=|,OM=；AAi=6,

所以球O的半径R=OA=

答案:C

［探究1］本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体

积各是多少？

解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内

切球的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r.

又正方体的棱长为4,故其体对角线长为4小,

从而V外接球='兀1<3二3'（2小）3=32小兀，

“434c332兀

V内切球=§兀「=§兀x2=—.

［探究2］本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积Si与其内切球的

表面积S2的比值为多少?

解：正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4-Y-a2=V3a2,其内切球半径r为正

亚

1亚

-因此内切球表面积为，=而耳,噜=誓=乎.

四面体高的1，即r43a=

12

6

［探究3］本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3^2的正四棱锥”，则其外接

球的半径是多少？

解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3啦x啦=6,

因此底面中心到各顶点的距离均等于3,

所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

方法•规律

与球有关的组合体的类型及解法

（1）球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题.

（2）球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图,

把空间问题化归为平面问题.

一变式训练

（2013・新课标全国卷I）如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高

8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深6cm,

如果不计容器厚度，则球的体枳为（）

A500K3-866兀

A.—cmB.cm3

-1372兀3n2048兀

C.—cmD.cm3

解析：选A设球半径为Rem,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的

半径为4cm,球心到截面的距离为田-2)地，所以由42+供-2)2=1<2,得口=5,所以球的

体积V=1nR3=今*53=cm3.

--------［课堂归纳——通法领悟］--------

1种思想——转化与化归思想

计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，“化曲为宜’来解决，因此要

熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

2种方法——割补法与等积法

(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进

行解决.

(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面

积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，

特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)

的高，而通过直接计算得到高的数值.

2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点

(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.

(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.

6能力素养•综合验收O练技能查漏补缺

［全盘巩固］

一、选择题

1.（2015•许昌模拟）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方

形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）

3n

A.4nB.C.3兀D.2冗

37T

解析：选B由三视图可知，该几何体是一个圆柱,S表=2X冗XTTX1X1=

2.用平面a截球0所得截面圆的半径为3,球心0到平面a的距离为4,则此球的表

面积为（）

100n500元

A.B3C.75JiD.100n

3

解析：选D易求得球的半径为转二了=5,所以球的表面积为S=4兀d=io07T.

3.（2014•辽宁高考）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

nn

A.8-2nB.8-nC.8-—D.8~—

24

解析：选B直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的;圆柱，所以该几何体

的体积为23-2XTTX12X2X1=8-TT.

4.已知圆锥的表面积为a,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是

（）

a、/3几a八2镜-a2^/^

A.-B.------C.-T-------D.-r—

解析：选C设圆锥的底面半径为r,母线长为1,由题意知27ir=rr1,=2r,则圆

锥的表面积5表=nr2+2nr~=a,/.r2=z^-,「・2r=?害"

37T3rr

5.（2014•重庆高考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.12B.18C.24D.30

解析：选C此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面

都是直角三角形，两直角边长分别为3和4,其面积为6,三棱柱的高为5,三棱锥的高为3,

所以该几何体的体积为6X5-；X6X3=24,选C.

二、填空题

6.（2015•南京模拟）已知圆锥的母线长为2,高为小,则该圆锥的侧面积是.

解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为、2?-（镉底=1,所以圆锥的侧面积为S«=

nrl=7TxiX2=2TT.也可以将圆锥侧面展开成扇形来处理.

答案：2n

7.球0与底面边长为3的正三棱柱的各侧面均相切，则球0的表面积为.

解析:设球0的半径为R,底面正三角形内切圆半径就是球0的半径，则R=芈,

因“匕球0的表面积S=47TR-=37T.

答案：3n

8.（2014•江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为3,S2,体积分别为%,V2（若

它们的侧面积相等，且金=*则孩的值是________.

024V2

S,Q

解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是口，母线长分别是L,I2.则由丁=彳可得

024

4='.又两个圆柱的侧面积相等，即27rr/i=2兀01_2,则?=工=.，所以9=14二？xf

r2212rl3V2S2I2