特殊四边形知识点梳理

特殊四边形知识点梳理一、平行四边形1、定义：（）的四边形叫做平行四边形。2、性质：①平行四边形的对边（）②平行四边形的对边（）③平行四边形的对角（）④平行四边形的邻角（）⑤平行四边形的两条对角线（）⑥平行四边形是（），对称中心是（）3、判定①一组对边（）的四边形是平行四边形②两组对边（）的四边形是平行四边形③两组对边（）的四边形是平行四边形④两条对角线（）的四边形是平行四边形４、常用结论：①平行四边形的两条对角线把它分成了四个（）的小三角形（等底等高），分成了四对（）。②平行线间的（）处处相等③任意两个全等三角形都可以拼成一个（）④()四个内角度数比可以为a:b:a:b二、菱形1、定义：（）的平行四边形叫做菱形2、性质：①具有（）的一切性质②菱形的四条边（）③菱形的两条对角线（）④菱形的每一条对角线（）⑤菱形是（），也是（），对称轴是（）所在的直线⑥菱形面积等于底乘以高，也等于（）3、判定：①（）的平行四边形是菱形②（）的四边形是菱形③（）的平行四边形是菱形４、常用结论：①直角三角形中，（）等于斜边的平方②直角三角形中,30度的角所对的直角边是（）③如果２２＋１２＝（√5）2，那么以2、1、√5为边的三角形是(）三、矩形1、定义：（）的平行四边形叫做矩形2、性质：①具有（）的一切性质②矩形四个角都是（）③矩形的两条对角线（）且相等④矩形是（）,也是轴对称图形,对称轴是（）的垂直平分线3.判定:①（）的平行四边形是矩形②（）的平行四边形是矩形4、常用结论：直角三角形()等于斜边长的一半四、正方形：1、定义：（）的矩形叫做正方形2、性质：正方形具有（）、（）、（）的一切性质边：（）都相等且对边平行角：（）都是直角对角线：对角线互相（）且相等3、判定：①一组邻边相等的（）是正方形②（）的矩形是正方形③（）的菱形是正方形④对角线相等的（）是正方形五、梯形和等腰梯形1、定义：梯形：一组对边（）而另一组对边（）的四边形叫做梯形等腰梯形：（）相等的梯形叫做等腰梯形2、性质:①等腰梯形（）的两个内角相等②等腰梯形（）相等。③等腰梯形是（）图形④()四个内角度数比可以是a:b:b:a3、判定：①两腰相等的梯形是（）。②同一底上的两个内角（）的梯形是等腰梯形4、常见辅助线：（自己画上6种图形）①作高（得平行四边形和两个全等三角形）②平移一条对角线（得平行四边形）③延长两腰（得等腰三角形）④平移一腰（得平行四边形和等腰三角形）⑤延长一条底边（等积变形，得全等三角形）典性习题1.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，AE交CD于点F．那么，∠ACB＝_______°,∠E＝_______°.2.菱形的两条对角线分别为12和16，则菱形的边长是______，面积是_________.3.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则DE=_____,四边形BCED的面积为______.4.等腰梯形的腰长为5㎝，高是4㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为_______㎝，面积是_________cm2．5.如图，△ABC中，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF的形状是_____形；在前面的条件下，若△ABC再满足一个条件___________,则四边形AEDF是正方形.AABCDEF(第1题)（第3题）(第5题)6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC=BD时，它是正方形C.当AC⊥BD时，它是菱形D.当∠ABC=90°时，它是矩形7．把长为8cm，宽为2cm的矩形按虚线对折，按图中的斜线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）第10题图第10题图A．cm B．cmC．22cm D．18cm8、如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.求证：△DEF为等边三角形。9．（本题10分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，(1)求证：AB＝AC＋CD。(2)如果BD＝4，求AC的长。10.（本题13分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．(1)求AD的长。(2)当x为何值时，△APD是等腰三角形？ABCABCDPQEABCD（备用图2）ABCD（备用图1）一元二次方程1、一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。2、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。3、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)二、计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。4、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。典型例题A.+3y-4=0B.2-3x-5=0C.D.+1=02．方程的根的情况是 （）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 （）A.B.C.m≥D.4、方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（）A．x=2B．x=3C．x1=－1，x2=3D．x1=－1，x2=25．方程的根为.6、如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为____．7、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD，点D落在底边BC上点F处，已知DC=8㎝，FC=4㎝，则EC长3㎝8．解方程：（1）..（2）.（3）（4）9．（本题10分）已知：关于的方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是－２，求的值和方程的另一个根．10、x为何值时的值最小？圆知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。例P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10cm，8cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。例如图，在中，直角边，，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的_________，点在圆A的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部练习：在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为．试判断点与圆的位置关系．答案：点在圆O上．知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。例1如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．(1)(2)解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24－30，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD知识点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例1如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．解题思路：连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．例2如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A例3如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案B知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°

∴在中，∠C=45°∴CD=AD

∵BC=6cm

∴∴∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD与⊙O相切理由：①C点在⊙O上（已知）②∵AB是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD是⊙O的切线．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．知识点六、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公共点。设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．外离d>r1+r2外切d=r1+r2相交│r1－r2│<d<r1+r2内切d=│r1－r2│内含0≤d<│r1－r2│（其中d=0，两圆同心）例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．（1）(2)解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？(1)(2)(2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15－7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；_A_y_A_y_x_O（1）AB=5>1+3，外离．（2）设B（x，0）x≠－2，则AB=，⊙B半径为│x+2│，①设⊙B与⊙A外切，则=│x+2│+1，当x>－2时，=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），当x<－2时，=－x－1，化简得x=4>－2（舍），②设⊙B与⊙A内切，则=│x+2│－1，当x>－2时，=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0），当x<－2时，=－x－3，得x=0，知识点七、正多边形和圆重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．正多边形的中心：所有对称轴的交点；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得边心距OM==a∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8（2）∵h=且DN=x∴NF=则S四边形DEFN=x·（4.8－x）=－x2+10x=－（x2－x）=－[（x－）2－]=－（x－2.4）2+12∵－（x－2.4）2