平面向量知识点总结

平面向量知识点总结2平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意,不能说向量就是有向线段,为什么,提示,向量可以平移.举例1已知,,则把向量按向量平移后得到的向量是_____.结果,ABA(1,2)B(4,2)a,,(1,3)(3,0)02.零向量:长度为0的向量叫零向量，记作:，规定:零向量的方向是任意的;ABAB3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);,||AB.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;4b5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作:aab?，规定:零向量和任何向量平行.注,?相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等,?两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念,两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合,?平行向量无传递性，,因为有),0?三点共线共线.,ABAC、ABC、、6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.a,a举例2如下列命题,,1,若,则.||||ab,ab,,2,两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.,3,若,则是平行四边形.ABDC,ABCD,4,若是平行四边形,则.ABDC,ABCD,5,若,,则.bc,ab,ac,,6,若,则.其中正确的是.结果,,4,,5,ab//bc//ac//二、向量的表示方法AB1.几何表示:用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后;b2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示，如，，等;acij,3.坐标表示:在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为yxaxiyjxy,，,(,)(,)xyaxy,(,)基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫aa做向量的坐标表示.a结论:如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理ee,定理设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对a12(,),,aee,，,,，使.121122(1)定理核心:;(2)从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一;反之，是对向量的合成.a,，λeλeaa1122(3)向量的正交分解:当时，就说为对向量的正交分解(ee,a,，λeλea12112213ab,举例3,1,若,b,,(1,1),,则.结果,.a,(1,1)c,,(1,2)c,22,2,下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是B13,,e,,,A.,B.,C.,D.,e,(0,0)e,,(1,2)e,,(1,2)e,(5,7)e,(3,5)e,(6,10)e,,(2,3)2,,121212124,,ADBE,,3,已知分别是的边,上的中线,且,,则可用向量ab,表示为.结果,BEb,ADa,BCAC?ABCBC24ab，.33Drs，,,4,已知中,点在边上,且,,则的值是.结果,0.CDDB,2CDrABsAC,，?ABCBC1平面向量基础知识复习四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下:a,a,||||||,,aa,,(1)模:;(2)方向:当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相,aa,aa,,0,,0,a,0反，当时，，,,0注意,.,a,0五、平面向量的数量积，,,,AOB,,,(0)bOAa,OBb,1.两个向量的夹角:对于非零向量，，作，，则把称ab为向量，的夹角.a,bbb当时，，同向;当时，，反向;当,时，，垂直.aaa,,0,,,,2b2.平面向量的数量积:如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量a,||||cosab,bab,叫做与的数量积(或内积或点积)，记作:，即.aabab,,,||||cos,规定:零向量与任一向量的数量积是0.注,数量积是一个实数,不再是一个向量.举例4,1,中,,,,则_________.结果,.||3AB,||4AC,||5BC,ABBC,,?ABC,9,11,,,,a,1,b,,0,,2,已知,,,,与的夹角为,则____.结果,1.dcakb,，dab,,ck,,,,,224,,,,,3,已知,,,则____.结果,.||5b,||ab，,ab,,,323||2a,,4,已知是两个非零向量,且,则与的夹角为____.结果,.ab,||||||abab,,,ab，30ab3.向量在向量上的投影:，它是一个实数，但不一定大于0.a||cosb,12举例5已知,,且,则向量在向量上的投影为______.结果,.||5b,bab,,12||3a,a5||aab,ab,b4.的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积.aab5.向量数量积的性质:设两个非零向量，，其夹角为，则:a,abab,,,,0(1);222b(2)当、同向时，，特别地，;aaaaaa,,,,,||||aabab,,,||||b是、同向的充要分条件;aabab,,,||||bb当、反向时，，是、反向的充要分条件;aaabab,,,,||||abab,,,,||||ab,,0bab,,0当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件;a,,ab,,0bab,,0当为钝角时，，且、不反向;是为钝角的必要不充分条件.a,,ab,b(3)非零向量，夹角的计算公式:cos,;?.a,,abab,,||||||||ab六、向量的运算1.几何运算(1)向量加法运算法则:?平行四边形法则;?三角形法则.ABa,BCb,ACabABBCAC，,，,运算形式:若，，则向量叫做与b的和，即;a作图:略.注,平行四边形法则只适用于不共线的向量.(2)向量的减法运算法则:三角形法则.2平面向量基础知识复习ABa,ACb,abABACCA,,,,运算形式:若，，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图:略.注,减向量与被减向量的起点相同.举例7,1,化简,?,?,?.结果,?,()()ABCDACBD,,,,ADABBCCD，，,ABADDC,,,?,?,CB0,2,若正方形的边长为1,,,,则.结果,,||abc，，,ABa,BCb,ACc,22ABCDOBOCOBOCOA,,，,2,3,若是所在平面内一点,且满足,则的形状为.结果,直角三角形,?ABC?ABCO||APDP,4,若为的边的中点,所在平面内有一点,满足,设,则的值为.PABPCP，，,0,,?ABC?ABCBC,||PD结果,2,,5,若点是的外心,且,则的内角为.结果,.OAOBCO，，,0120?ABC?ABCOCaxy,(,)2.坐标运算:设，，则bxy,(,)1122(1)向量的加减法运算:，.abxxyy，,，，(,)abxxyy,,,,(,)12121212P举例8,1,已知点,,,若,则当____时,点在第一、三象限的角平分APABAC,，,,,()RA(2,3)B(5,4)C(7,10),,1线上.结果,,21,,,,xy,(,),,,,2,已知,,且,,则.结果,或,ABxy,(sin,cos)A(2,3)B(1,4)xy，,62222,3,已知作用在点的三个力,,,则合力的终点坐标是.结果,.F,(3,4)F,,(2,5)F,(3,1)FFFF,，，A(1,1)(9,1)123123,,,,axyxy,,(,)(,)(2)实数与向量的积:.1111Axy(,)Bxy(,)(3)若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向ABxxyy,,,(,)11222121量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.111举例9设,,且ACAB,,,则的坐标分别是__________.结果,(1,),(7,9),.A(2,3)B(1,5),ADAB,3CD,33(4)平面向量数量积:.abxxyy,,，1212举例10已知向量,,.bxx,(sin,sin)axx,(sin,cos)c,,(1,0),,x,1,若,求向量、的夹角,ac33,,11,,x[,],2,若,函数的最大值为,求的值.结果,,1,,,2,或.fxab(),,,150,,21,2284222222(5)向量的模:.aaxyaxy,,，,,，||||举例11已知均为单位向量,它们的夹角为,那么,.结果,.ab,|3|ab，,601322Axy(,)Bxy(,)||()()ABxxyy,,，,(6)两点间的距离:若，，则.11222121七、向量的运算律,,,,()()aa,abba，,，abba,,,1.交换律:，，;2.结合律:，，;abcabc，，,，，()abcabc,,,,，()()()(),,,ababab,,,,(),,,,，,，aaa3.分配律:，，.,,,()abab，,，()abcacbc，,,,，,222举例13给出下列命题,?,?,?,abcabac,,,,,,()abcabc,,,,,()()()||2||||||abaabb,,,，abb,22222222,?若,则或,?若则,?||aa,,?,?()abab,,,,?()2abaabb,,,,，.ab,,0a,0b,0abcb,,,ac,2aa其中正确的是.结果,???.说明,,1,向量运算和实数运算有类似的地方也有区别,对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约),abcabc,,,,,()(),2,向量的“乘法”不满足结合律,即,为什么,八、向量平行(共线)的条件3平面向量基础知识复习22..ababababxyyx//()(||||)0,,,,,,,,1212九、向量垂直的充要条件.ababababxxyy,,,,,，,,,，,0||||012123m,(1)已知,,若,则.结果,,m,OA,,(1,2)OBm,(3,)OAOB,2B,2,以原点和为两个顶点作等腰直角三角形,,则点的坐标是.结果,(1,3)或,3,,1,,,A(4,2)OOAB，,:B903,已知向量,且,则的坐标是.结果,或.,nab,(,)||||nm,(,)ba,(,),banm,m,十、线段的定比分点PPPP1.定义:设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，P,PPPP,,121212则实数叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分PP,,,PPPP1212点.2.的符号与分点的位置之间的关系P,PP(1)内分线段，即点在线段上;PPPP,,,01212PPPP(2)外分线段时，?点在线段的延长线上，?点在线段的反PPP,,,,1PP121212向延长线上.,,,,10,1PP注:若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.PPPP,1221,37PA,举例16若点分所成的比为,则分所成的比为.结果,.ABBP433.线段的定比分点坐标公式:Pxy(,)Pxy(,)Pxy(,)设，，点分有向线段所成的比为，则定比分点坐标公式为,PP11122212xx，,xx，,,1212x,,x,,,,,,1，2,PP(1),,.特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式,,1,,,12yy，yy，,1212,,y.,y,.,,1，,,2,说明,,1,在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.(,)xy(,)xy(,)xy1122,2,在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比.,17P举例17,1,若,,且,则点的坐标为.结果,(6,),,,MPMN,,M(3,2),