离散数学课后习题合集

第一章命题演算基础

1.1判断下列语句是否为命题，若是请翻译为符号公式；若不是说明由。

(1)请给我一支笔！

(2)火星上有生物。

(3)X+Y=8

(4)只有努力工作，方能把事情做好。

(5)如果嫦娥是虚构的，而圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了。

解

(1)不为命题，因为它不是陈述句。

(2)是命题，用命题变元P表示该命题。

(3)不为命题，虽为陈述句，但不能判断其真假性。

(4)是命题。设P表示努力工作，。表示把事情做好，则原句翻译为命题公式Q-P。

(5)是命题。设P表示嫦娥是虚构的，。表示圣诞老人也是虚构的，R表示许多孩子

受骗了，则原句翻译为(PAQ)-R。

1.2试判定下列公式的永真性和可满足性。

(1)(Pg。)—(「PA](Q->[/?))

解

(1)当P=T时，

原式=(T-f(「TA」(Q—Y))

=Qf(FATQ-「H))

=QfF

当。=7时，上式=F；当。=尸时，上式=7,因此公式存在成真解释

(P,Q,&=(T,£x),存在成假解释(P,Q,R)=(T,T,x),故公式可满足，但非永真。

(2)」(PfQ)A((。—

解

当P=T时

原式=TTfQ）入（（Q-」R）V[T）

=—'Q△((Q-'—>R)vF)

=—)QA((Q——17?)

当。=T时

上式=「TA(T—T?)

=F八—iR

=F

当。=/时

上式=—\FA(F<->-i7?)

=TA―।~~17?

=-1-iR

二R

当R=T时，上式=7,因此公式存在成真解释(P,Q,R)=(T,F,T),存在成假解释

(P,Q,R)=(T,T,x),故公式可满足，但非永真。

(3)八。)-((Q->T?)—P)

解

当P=T时

原式=(—।—TAQ)—>((Q->-R)7")

=(TAQ)->(QfT?)

=(。—(。-

当Q=T时

上式=(Tf(T->T?)

=—iR

当R=T时，上式=F,当R=F时，上式=T,因此，公式存在成真解释

(P,Q,R)=(T,T,F),存在成假解释(P,Q,R)=(T,T,T),故公式可满足,但非永真。

(4)(「「Pf。)一((QAH)-[P)

解

当P=T时

原式=(-1-17->Q)->((QAR)―i7)

2

=(T-Q)f((QAR)一尸)

=QfTQAR)

=Q—>(—><2v—iR)

当。=T时

上式=T—>(-1Tv-J?)

-Fv—iR

=「R

当R=T时，上式=F,当R=F时，上式=T,因此，公式存在成真解释

(P,Q,R)=(T,T,F),存在成假解释(P,Q,R)=(T,T,T),故公式可满足,但非永真。

1.3试求下列公式的成真解释和成假解释

(1)T(P-Q)-(QvR)

解

(1)当。=T时

原式=T(PTT)TR)C(TVR)

=TJtR)cT

=iR

当R=T时，上式=F,当R=F时，上式=7。

当。=E时

原式=」((PfF)TR)c(FvR)

=*PTR)cR

当R=T时

上式T)—T

〜T—T

=F

当R=F时

上式=T「P一尸)2尸

=「PcF

=P

当尸=T时，上式=T,当「=/时，上式=尸，

3

因此，公式的成真解释为（d©/?）=（7,£尸）,区7；尸）；成假解释为

(P,Q,R)=(F,F,F),(x,T,T),(x,F,T)。

(2)TP-Q)A((Q—R)vP)

解

当尸=T时

原式=TT-Q)△((Q—R)vT)

=TTfQ)八T

=-}Q/\T

=~'Q

当Q=T时，上式=F；当Q=F时，上式=T。

当P=F时

原式=TFT。)A((QcR)7F)

=「T八(QcR)

=FA(QCR)

=F

因此，公式的成真解释为(P,Q,R)=(T,F,x)；成假解释为

(P,Q,R)=(T,T,x),(fx,x)。

(3)(「「PAQ)一((QfR)—[P)

解

当尸=T时

原式=(「-1T八Q)一((QfR)—[T)

=Qf((QfR)cE)

=Q—TQTR)

当Q=T时

上式=T-TT-R)

4

=TTfR)

=「R

当R=T时，上式=F；当R=尸时，上式=7。

当。=/时

上式=尸分一＜尸-R)

=T

当P=P时

原式=AQ)—((QfR)—「尸)

=(尸AQ)一((Q-R)-T)

=FT(QTR)

=T

因此，公式的成真解释为(P,Q,R)=(T,T,E),(T,F,x),(£x,x)；成假解释为

(P,Q,R)=(T,T,T)。

(4)(「「PfiQMlQvJHAP))

解

当P=7'时

原式=T」Q)A(。v(YAT))

=(T-1Q)A(QV「R)

=—iQA(。v—17?)

当Q=T时

上式=「TA(TV「R)

"AT

=F

当。=尸时

上式=—iFA(Fv—iR)

-TA—i7?

=「R

当R=T时，上式=E；当R=尸时，上式=T。

5

当/^二/时

原式=(「Yf「Q)A(Qv(「RAF))

=(F-「Q)A(QVF)

=TA(Q")

=Q

当。=T时，上式=T；当。=/时，上式=F。

因此，公式的成真解释为(P,Q,R)=(T,F,F),(F,T,x)；成假解释为

(P,。,R)=(T,T,x),(T,F,T),(F,F,x)。

1.4试写出下列公式的对偶式和内否式

(1)(「PAQ)一((QV「R)AP)

(2)(Pf」Q)A((QVR)A'P)

(3)[(P-Q)A((Q—」R)v[P)

(4)(「P-Q)v((Qf

解

(1)内否式为(PA[Q)—((「QVH)A「P)

消去“一”得式子AQ)v((Qv」R)AP)

对偶式=-i(—>PVQ)A((QA―i/?)VP)

(2)内否式为([PfQ)A((「QV「R)AP)

消去“一”得式子v」Q)A((QvR)A「P)

对偶式为A「Q)v((QAR)v

(3)内否式为-

消去“c”得式子vQ)A(((「QvA(Qv/?))v

对偶式为AQ)v(((「Q△T?)v(。人玲)A「P)

（4）内否式为（P->[Q）v（（「Qf/?）vP）

6

消去“一”得式子（PvQ）v（（「Qv-1R）v「P）

对偶式为（产人Q）A（（「QA「R）A「P）

1.5试证明联结词集合｛「,f｝是完备的。

证明

因为，PvQ=「P—Q

PAQ=」（P-「Q）

所以，联结词集合｛],一｝可以表示集合｛=A,v｝。

又因为，联结词集合｛fA,v｝是完备的，即｛-A,v｝可以表示任何一个命题演算公式，

所以｛「,-»｝可以表示任何一个命题演算公式，故联结词集合｛],->｝是完备的。

1.6试证明联结词集合｛△｝,｛9｝不是完备的。

证明

设集合｛人｝是完备的，则由联结词集合的完备性定义知

「P=/（P,Q,R,…）=PAQARA…。当P,0,R,…全取为真时，上式左边=/，右边

=T,矛盾。

因此｛人｝不是完备的。

设集合｛->｝是完备的，则由联结词集合的完备性定义知「尸=/（P,Q,R,…），其中/

表示“一”。当P,Q,R,…全取为真时，上式左边=口，右边=7,矛盾。

因此｛-»｝不是完备的。

1.7试求下列公式的析取范式和合取范式

（1）-「Q）

解

原式=T-1PV0V（（PA「Q）V（-1PA[「Q））

二（PA-1。）V（PA-1Q）V（-1PAQ）

=（PA-10V（-1PAQ）（析取范式）

二（（P△」Q）V[P）A（（尸A」Q）VQ）

7

=(Pv-1P)A(-,PV-.0A(Pv0A(rQVQ)

=(「Pv「Q)/\(PvQ)(合取范式)

⑵(Pf(Qf(R-(QfP))

解

原式=―i(―iPv(—iQv―i/?))v(―iRv(―iQvP))

=(P△Q△R)"(Pv—>Qv—17?)

=(PvPv—iQv—J?)A(0vPv—iQv—iR)△(HvPv—>Qv—Ji)

=Pv「QvT?(合取范式和析取范式)

(3)TP->Q)A((Q->「R)V「P)

解

原式=V0A((「Qv」R)v「尸)

=PA—\QA(—\Pv―\Qv—iR)(合取范式)

=(PA—iQ)A(-nPV—)QV—J?)

=((「A」Q)A「P)V((尸A」Q)A[Q)V((PA「Q)A「R)

=(PA「Q)V(PA「QA「R)(析取范式)

(4)(P—Q)f(「PA」(Q-「火))

解

原式=TP-Q)vAT「QV「R))

=T—Q)v△QA&

=(「PAQ)V(PA「Q)V(「PAQAH)(析取范式)

=((「PAQ)V(PA[Q))V(「PAQA/?)

=((「PAQ)”)A((dAQ)V「Q))V(「PAQAR)

=((「P”)A(PX/QXPV「Q)A(QV[Q))VTAQAR)

=((爪Q)Av[Q))vAQ八R)

8

二((PVQ)V(「PAQAR))/\((-IP\/「Q)\/TAQAR))

=(PV(2v—1P)A(PV(2VQ)A(PV(2V7?)A(—iPV—yQV-iP)A

(—iPv-iQv0)A(—iPv—\QvR)

=(PV0A(PV(2V7?)A(-IPv—i0A(-iPv—iQvR)(合取范式)

1.8试求下列公式的主析取范式和主合取范式

(1)(「尸fR)-»(「P-(「QAR))

解

原式二V/?)V((「尸A(「QA7?))V(PAA7?)))

=(-1PA—17?)V(—1尸A—1。A/?)V(PA((2V—1/?))

=(―I尸A—iR)V(—1尸A—1QAR)V(P△Q)V(PA-1H)

=((—1尸A—i/?)△(Qv-1Q))V(—1PA—1QA7?)V((PA2)A(7?V—i/?))

V((PA「R)A(QV[Q))

—(―\PAQA-iR)V(—\PA-\QA_17?)V(—\PA—\QA7?)V(JPA2A7?)

V(PA2A—iR)V(尸AQA-1R)V(PA—1。A—i/?)

=(—iP△。八一iR)v(—iPA—1(2八一|R)v(->PA—\Q/\R)v(P/\Q/\R)

V(PA2A—1R)V(PA—iQA—1R)

.(0,124,6,7)

=n(3,5)

=(Pv—\Qv—iR)A(-\PvQviR)

(2)(「「PAQ)—((QfR)—[P)

解

原式=~i(-1-\PAQ)v((―\QvR)<—>―P)

—(―iPv—iQ)v((—iQvR)A—iP)v(―i(—iQ\zR)AP)

—(―iPv—)Q)v(―।尸A—iQ)v(―iPAR)v(尸AQ△—iR)

9

=(—iPA((2V—yQ)A(7?V—17?))v(—)QA(PV-iP)A(/?V—i??))V

((「P△[Q)△(RV[R))V((「尸△R)△(QV「Q))v(P△Q△「R)

=(-1PAQA/?)V(—iPA0A—i/?)V(—iPA-iQA7?)V(—iPA-iQA—>R)

V(PA—)(2A/?)V(PA-1QA—1/?)v(—1尸A—yQA??)V(—LPA—IQA—1R)V

(—iPA—iQA7?)v(—iPA—iQA—iR)v(—iP△Q△R)v(—i尸A—IQA/?)V

(PAQAT?)

=(-1PA2A/?)V(—iPAQA—17?)V(—1尸A-1。A7?)V(—iPA—A—iR)

V(PA—1(2A7?)V(PA-1QA—17?)v(PA(2A~nR)

.(0,123,4,5,6)

=口⑺

=一iPv―\Qv―iR

(3)(尸一「Q)vR

解

原式=」Pv「QvR

二口⑹

.(0,123,4,5,7)

—(―\PA—\QA—iR)v(—\PA—\QvR)v(—iPvQ\z—iR)v(—iPvQvR)

V(PA—1。A—iR)V(PA-1QAR)V(P/\QAR)

(4)P-(PA(。-P))

解

原式=「Pv(P/\(「QvP))

=(—iPVP)A(—1PV—)QVP)

=TrT

=T

10

=n(①)

=E(0,L2,3)

=(-1PA-.0V(-nPA0V(PA->Q)V(PAQ)

1.9用把公式化为主范式的方法判断下列各题中两式是否等价

(1)(PfQ)-(P/\Q),TAQ)A(Q->P)

解

(1)(P-Q)—(PAQ)

=T[PVQ)V(PAQ)

=(PA「Q)V(尸人Q)

=Z(2,3)

(「P八Q)八(QfP)

=(「P/XQ)A(「QVP)

=(->P/\QAF2)VJPAQAP)

=FvF

=F

，(①)

由此可见两公式的主析取范式不相等，因此，两公式不等价。

(2)(PTR)八(QfR),gQ)-R

解

(PTR)A(QTR)

-(-1Pv/?)A(―iQvR)

=((「pV/?)V(2A[Q))A((「QVR)V(PA」P))

=(—IPVQvR)A(—iPv—1(2vR)A(Pv—iQvR)A(—iPv—iQvR)

=(PV—1(2V7?)A(—1尸v2v1?)A(—iPv—1。vR)

=n(2,4,6)

II

(PvQ)fR

=—|(PV0)7R

=(-1PA-iQ)vR

=(—iPv/?)A(—)(2vR)

=((「pVR)V(QA[Q))△((「QV/?)A(PA[尸))

=(—iPvQv7?)A(—iPv—1(2v7?)A(Pv—iQv/?)A(—v-iQvR)

=(PV—1QV/?)A(—1Pv2v/?)A(—।尸v—iQvR)

=n(2,4,6)

由此可见两公式的主合取范式相等，因此，两公式等价。

12

第二章命题演算的推理理论

2.1用永真公理系统证明下列公式

（I）P<->（PvP）

证明

(1)PTP公理1

(2)(Pf&f((Q-((Pv。)—/?))公理13

(3)(PfP)f((PfP)f((PvP)fP))。,R用P代入

(4)(P-P)->((PvP)-»P)分(3)(1)

⑸(PvP)->P分⑷(1)

(6)Pf(PvQ)公理11

(7)Pf(PvP)。用P代入

(8)(Pf。)一((Q-P)-»(P—Q))公理7

(9)(Pf(PvP))f(((尸vP)f-(PvP)))。用PvP代入

(10)((PvP)fP)f(P一■(2"))分(9)(7)

(11)Pc(PvP)分(10)(5)

（2）T-Q）->（「QfP）

证明

（l）（Pf（Qf「P）公理14

（2）（「PfuQ）—（「QfP用代入，Q用代入

（3）-riPfP公理15

（4）（Pf。）一（（A-P）f（Hf。））定理

（5）（「ifP）f（（「Qf（「Q—尸））

P用代入，。用P代入，R用「Q代入

13

(6)(」Qf[「P)f(「QfP)分(5)(3)

⑺(PfQ)f((QfR)f(P-R))公理3

(8)((—I尸f-1->Q)f(->Q-—iP))f(((->Q->->P)f(-'Q-P))

f(JPf[[Q)fJQ-P)))

P用「尸一代入，。用f代入，R用「Qf尸代入

(9)((「Q-([Q-P))f((「Pf10f(「QfP))分(8)(2)

(10)(iP--n-iQ)f(「QTP)分(9)(6)

(11)Q-「「Q

(12)(Qf—i—iQ)f((-iPfQ)f(-'Pf-1。))

（4）式中P用。代入，。用代入，R用「p代入

(13)(-iP-Q)—>(一'尸—>—i-'Q)分（⑵（11）

(14)((「尸fQ)―(」Pt[「Q))t(((「Pt」T2)f([QfP))f

(JP—(「Qf尸)))

(7)式中P用「Pf。代入，。用「尸一代入，R用「Q分尸代入

(15)((「PT」「Q)f([QfP))f(JPfQ)—(1QfP))分(14)(13)

(16)(「PfQ)f(「QfP)分(15)(10)

(3)Pv-1P

证明

(1)Pf(PvQ)公理11

(2)PT(PV「P)。用「P代入

⑶(PfQ)f(「Qf」P)

(4)(尸-(尸v-1P))t(」(Pv」P)f「尸)。用Pv「尸代入

(5)TPv「P)f分(4)(3)

14

(6)Qf(PvQ)公理12

(7)f(Pv「P)。用「P代入

(8)(PfQ)f((Qf(PfR))公理3

(9)(TPv」P)f「尸)f((「P-(尸v[尸))f(」(尸v」P)f(Pv[P)))

P用」(Pv「P)代入，。用「P代入，及用尸v「P代入

(10)(「P-(Pv「P))f(「(Pv-iP)—(Pv[P))分(9)(5)

(11)」(Pv-1P)f(Pv-iP)分(10)(7)

(12)(「PfP)fP定理

(13)([(Pv「尸)一(Pv」P))一(Pv「尸)P用尸v「P代入

(14)Pv-1P分(13)(11)

(4)((PfQ)f((Pf

证明

(1)FPTP公理1

(2)QP用0代入

(3)(PfQ)f((R—P)f(HfQ))定理

⑷((P1[[Q)->(Pf。))P用「「Q代入，R用P代入

(5)(P->]「。)-(P->。)分(4)(2)

(6)(PfQ)f((QfR)f(P->??))公理3

(7)((Pf[「Q)f(PfQ))->(((P-Q)fY)f((PT」「Q)T[R))

P用代入，。用PfQ,R用代入

(8)((P->Q)->T?)->((P->]「Q)->[R)分(7)(5)

2.2已知公理：A:Pf(。fP)

8:(QfH)->((P->Q)->(P-»&)

C;(PVP)TP

15

D:QT(PYQ)

E:(PvQ)f(QvP)

及分离规则和代入规则。

试证明(1)PfP为定理

(2)(P-P)V(RA「R)为定理。

证明

(D(PvP)->P公理C

(2)QT(PYQ)公理。

(3)PT(PVP)。用P代入

(4)(Q->R)f((PfQ)f(P一2)公理B

(5)((PvP)fP)f((P->(PvP))->(PfP))。用PvP代入，R用P代入

(6)(Pf(PvP))f(P—P)分(5)(1)

(7)P1P分(6)(3)

(8)(P-P)f((RA-J?)V(P-P))

(2)式中。用PfP代入，P用R人「R代入

(9)(RA「R)V(P—P)分(8)(7)

(10)(PvQ)f(QvP)公理E

(11)((RA「R)v(PfP))f((PfP)V(/?A「R))

P用代入，。用P7尸代入

(12)(PfP)V(RA「R)分(11)(9)

2.3用假设推理系统证明下列公式

(1)(P->Q)f((Pf

证明

(1)PfQ假设

(2)P-假设

16

(3)FP后件的否定

(4)FPfP公理15

(5)P分(4)(3)

(6)Q分(1)(5)

⑺分(2)(5)

(6)(7)矛盾

由反证法推理定理知

PTQ，PT「QI

由推理定理知

(P-((P-「Q)一［P)

(2)(Pf(QfR))f((PfQ)f(PfR))

证明

(1)Pf(。fH)假设

(2)PTQ假设

(3)P假设

⑷QfR分⑴（3）

(5)Q分(2)(3)

(6)R分(4)(5)

由假设推理过程的定义知

Pf(QtR),PTQ,P\-R

由推理定理知

(P->(。-R))一((P-Q)->(Pf火))

(3)((PA。)-R))f(Pf(QfR))

证明

⑴(PAQ)-R假设

(2)P假设

(3)Q假设

(4)Pr(Qf(PAQ))公理10

(5)Qf(PAQ)分（4）⑵

17

(6)PAQ分(5)(3)

(7)R分(1)(6)

由假设推理过程的定义知

(P八Q)TR),P,Q\-R

由推理定理知

((P八。)-R))—(P-(0->R))

(4)((PAQ)A((P—H)A(Q->S)))T(SAH)

证明

(1)(PAQ)/\((P—R)/\(QfS))假设

(2)(P八Q)TP公理8

(3)(PAQ)FQ公理9

(4)((尸△Q)/\((P-R)A(Q-S)))f(PAQ)

(2)式中P用PAQ代入，。用(P-R)/\(Q—S)代入

(5)((PA0A((P-火)A(QfS)))f((PfR)A(QfS))

(3)式中产用PAQ代入，。用(P-R)A(Q-S)代入

(6)PAQ分(4)(1)

⑺(PfR)A(Q-S)分(5)(1)

(8)P分(2)(6)

(9)Q分(3)(6)

(10)((PfR)八(。->S))f(PfR)(2)式中P用P—R,。用QfS代入

(11)((P->R)A(。7S))f(。-S)(3)式中P用PfR,。用QfS代入

(12)PfR分(10)(7)

(13)QfS分(11)(7)

(14)R分(12)(8)

(15)S分(13)(9)

(16)P-(Qf(PAQ))公理10

18

(17)R―(S―>(7?AS))P用R,。用S代入

(18)S―>(RAS)分(17)(14)

(,19)RAS分(18)(15)

由假设推理过程的定义知

(PAQ)/X((P-R)A(Q-S))\-RAS

由推理定理知

((PAQ)A((P->H)A(Q-S)))f(SAR)

2.4用归结原理证明下列公式

(1)((PAQ)A((PFH)A(Q-S)))f(SAR)

证明

化为合取范式：

((PAQ)A((PfR)A(QfS)))A［(SAR)

=((尸△Q)A((—1PvR)A(~^QvS)))A(—iSv—iR)

=PA2A(―>尸V7?)A(-1QVS)A(—iSV—iR)

建立子句集

(1)p

(2)Q

(3)「PvR

(4)—>QvS

(5)―iSv―、R

(6)R(1)(3)归结

(7)-iS(5)(6)归结

(8)—yQ(4)(7)归结

(9)□(2)(8)归结

(2)(PfQ)f((P->］。)一［P)

证明

化为合取范式：

(P->Q)AT(P-「。)一［P)

=(―\PvQ)A―i(―i(—\Pv―iQ)v―\P)

=(—\PVQ)A(―\PV―iQ)A—।—uP)

19

建立子句集:

(1)「PvQ

(2)

(3)—i—iP

(4)Q(1)(3)归结

(5)「Q(2)(3)归结

(6)□(4)(5)归结

(3)—i(PA—>Q)A(—iQv7?)A—iR—iP

证明

化为合取范式：

—i(PA―iQ)A(—iQVR)A—iRA—i—iP

—(―\PvQ)A(―\QvR)A—、RA—।—J3

建立子句集：

(1)-1PvQ

(2)「QvR

(3)—tR

(4)/P

(5)Q(1)(4)归结

(6)「Q(2)(3)归结

(7)□(5)(6)归结

(4)—iPvP

证明

化为合取范式：

VP)=PA-iP

化为子句集：

(1)P

(2)「P

(3)□(1)(2)归结

20

第三章谓词演算基础

3.1试把下列语句符号化

(1)如果我知道你不在家，我就不去找你了。

解

设A®,02)表示61知道02不在家；

3(6],02)表示61去找02；

。表示我；6表示你；

则原句表示为：

A(a,Z?)—>。

(2)他送给我这只大的红气球。

解

设A(e),e2,e3)表示et送给e2e3；

8(e)表示e为大的；

C(e)表示e为红的；

D(e)表示e为气球；

a表示他，b表示我，c表示这只；

则原句译为：

A(a,h,c)A3(c)AC(c)AZ)(C)(,

(3)苏州位于南京与上海之间。

解

设4(e”J，03)表示e1位于02与63之间；

a表示苏州，匕表示南京，c表示上海；

则原句表示为：

A(a,b,c)o

(4)他既熟悉C++语言，又熟悉PASCAL语言。

解

设A®,e2)表示6]熟悉02；

a表示他，b表示C++语言，c表示PASCAL语言；

则原句译为：

21

A(a,b)AA(a,c)»

3.2试将下列语句符号化为含有量词的谓词演算公式：

(1)没有不犯错误的人。

解

设P(e)表示e为人；

M(e)表示e为错误；

4(6],02)表示61犯e2-

则原句译为：

「玉(P(x)AVy(M(y)fA(x,y)))。

(2)有不是奇数的质数。

解

设0(e)表示e为奇数；

P(e)表示e为质数。

则原句译为：

3x(—>O(x)AP(x))。

(3)尽管有人能干，但未必一切人能干。

解

设P(e)表示e为人；

A(e)表示e能干。

则原句译为：

3x(P(x)AA(x))A-1Vx(P(尤)TA(x))o

(4)鱼我所欲，熊掌亦我所欲。

解

设尸(e)表示e为鱼；

3(e)表示e为熊掌；

W(e”e2)表示0]所欲e?。

。表示我；

则原句表不为：

Vx(F(x)-W(a,x))AVx(B(x)-W(a,x))。

22

(5)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。

解

设P(e)表示e为人；

C(et,e2)表示et犯e2。

。表示我；

则原句译为：

Vx((P(x)A—1C(x,a))f-iC(a,x))AVx((P(x)AC(x,a))-C(a,x))。

(6)有一种液体可熔化任何金属。

解

设〃e)表示e为液体；

M(e)表示e为金属；

C(et,e2)表示e,熔化e2。

则原句可译为：

3X(£(X)AVy(M(y)->C(x,y)))。

(7)并非“人为财死，鸟为食亡”。

解

设P(e)表示e为人；

A(e)表示e为财；

8(e)表示e为鸟；

F(e)表示e为食；

C(e”e2)表示e1为02死；

D(e,,e2)表示e1为e2亡。

则原句译为：

-,(VxVy((P(x)AA(y))fC(x,y))AVxVy((P(x)AF(y))-D(x,y)))

(8)若要人不知，除非己莫为。

解

设P(e)表示e为人；

A(e)表示e为某一事情；

23

8(6],02)表示ej做了e2；

(7(,,02，03)表示知道02做了e30

则原句译为：

VxVy((P(%)AA(y)AB(X,y))f3z(P(z)AC(Z,X,y)))

(9)任何一数均有一数比它大。

解

设A(e)表示e为数；

B(et,e2)表示e1比e2大；

则原句译为：

Vx(A(x)一方(A(y)AB(y,x)))

(10)每个作家均写过作品。

解

设A(e)表示e为作家；

N(e)表示e为作品；

卬(6件2)表示61写了02。

则原句译为：

Vx(A(x)T寺(N(y)AW(x,y)))

(11)有些作家没写过小说。

解

设A(e)表示e为作家；

N(e)表示e为小说；

W®,e?)表示修写了e2。

则原句译为：

Hx(A(x)AVy(N(y)-」W(x,y)))

(12)天下乌鸦一般黑。

解

设A(e)表示e为乌鸦：

8(G，02)表示6]与02一样黑。

24

则原句译为：

VxVy((A(x)AA(y))-B(x,y))

3.3令P(e)表示“e为质数”;

E(e)表示“e为偶数”；

0(e)表示“e为奇数”；

表示“.除尽02”。

试把下列语句翻译为日常语句：

(1)E⑵AP⑵

解

2为偶数且2为质数。

(2)Vx(Z)(2,x)-E(x))

解

任何能被2除尽的数均为偶数。

(3)Vx(「E(x)f「。(2,幻)

解

任何不是偶数的数均不能被2除尽。

(4)Vx(E(x)—>Vy(D(x,y)fE(y)))

解

任何一个数，若能被任何偶数除尽，则该数一定是偶数。

(5)3x(E(x)AP(x))

解

有是偶数的质数。

3.4指出下列公式的约束关系、自由变元和约束变元：

(1)Vx(A(x,y)TVy(B(x,y)TC(z)))

解

A(x,y)中的x和B(x,y)中的x受Vx约束；

B(x,y)中的y受Vy约束：

A(x,y)中的x为约束变元，8(x,y)中的x和y为约束变元;

A(x,y)中的)，和C(z)中的z为自由变元。

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(2)Vx(A(x)TTh(A(y)AB(X,y))

解

A(x)->B(x,