山东省烟台市栖霞一中2023-2024学年高三下第一次测试数学试题含解析

山东省烟台市栖霞一中2023-2024学年高三下第一次测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.52．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为()A． B． C． D．3．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）A．12 B．16 C．20 D．84．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（）A． B． C． D．5．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．26．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（）A． B．C． D．7．抛物线的准线方程是，则实数（）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为A． B． C． D．11．复数的虚部为（）A． B． C．2 D．12．已知向量满足,且与的夹角为,则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.14．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.15．的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______.16．某校名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以人一组或者人一组.如果人一组，则必须角色相同；如果人一组，则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，现在新加入名学生，将这名学生分成组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，曲线：（为参数）以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.18．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，边上的中线，求的面积.19．（12分）已知函数，设为的导数，．（1）求，；（2）猜想的表达式，并证明你的结论．20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.21．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面，（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值.22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.2、D【解析】

设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，所以圆锥的体积.故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.3、A【解析】

先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【详解】先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.故选：A【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.4、C【解析】

利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.【详解】由，得，可得（）.相减得，则（），又由，，得，所以，所以为常数列，所以，故.故选：C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.5、B【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.6、A【解析】因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数为奇函数，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，（3）函数周期为T,则7、C【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选：C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.8、A【解析】

根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意，，都有，所以函数在上为减函数，则，解得：.即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.9、C【解析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，由，得，函数在区间上单调递增，则，得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.10、C【解析】

由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值．【详解】解：初始值，，程序运行过程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循环，输出的值为其中①②①—②得．故选：．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到，的值是解题的关键，属于基础题．11、D【解析】

根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.12、A【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解.【详解】因为即又等比数列各项均为正数，故故答案为：【点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.14、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．【详解】解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，故概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题15、3-260【解析】

(1)令求得所有项的系数和；(2)先求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项.【详解】将代入，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含的项为，的展开式中含常数项，所以的展开式中的常数项为.故答案为：3；-260【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.16、【解析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.【详解】依题意，名学生分成组，则一定是个人组和个人组.①若新加入的学生是士兵，则可以将这个人分组如下；名士兵；士兵、排长、连长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；②若新加入的学生是排长，则可以将这个人分组如下：名士兵；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；③若新加入的学生是连长，则可以将这个人分组如下：名士兵；士兵、排长、连长各名；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；④若新加入的学生是营长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；⑤若新加入的学生是团长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所述，新加入学生可以扮演种角色.故答案为：.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）点在直线上；见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）直线：，即，所以直线的直角坐标方程为，因为，所以点在直线上；（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.【详解】（Ⅰ）直线：，即，所以直线的直角坐标方程为，因为，所以点在直线上；（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，设两根为，，所以，，故与异号，所以，，所以.【点睛】本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.18、(1)(2)答案不唯一，见解析【解析】

（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得，再根据同角三角函数基本关系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分别由三角形面积公式可得答案．【详解】解：（1）在中，因为，又已知，所以，因为，所以，于是.所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，当时，的面积，当时，的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题．19、,；，证明见解析【解析】

对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，成立，②假设时，猜想成立即当时，当时，猜想成立由①②对成立【点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.20、（1）（2）存在；实数的取值范围是【解析】

（1）根据椭圆定义计算，再根据，，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围．【详解】（1）由题意可知，，．又，，，椭圆的方程为：．（2）若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，则为线段的中垂线与轴的交点．设直线的方程为：，，，，，联立方程组，消元得：，△，又，故．由根与系数的关系可得，设的中点为，，则，，线段的中垂线方程为：，令可得，即．，故，当且仅当即时取等号，，且．的取值范围是，．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【详解】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC