2021-2022学年新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 12 空间向量在立体几何中的应用

1.2.4二面角

新课程标准学业水平要求

1.「解二面角的有关概念，理解二面向及二面角的平面角的定义.（数学抽

1.能用向量语言表述二面角.

象）

?•能川向量方法解决二面角问题.体会向量

2.掌握求二面角大小的基本方法及步骤.（直观想象、逻辑推理）

方法在研究几何问题中的作用.

3.能结合图形,灵活选择方法解决与二面角有关的问题.（逻辑推理）

,必备知识-自主学习.

1.什么是二面角？

导思

2.怎样求二面角的大小？

1.二面角的定义及相关概念

二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角

棱这条直线称为二面角的棱

面这两个半平面称为二面角的面

范围0°W0^180°

在二面角a713的棱/上任取一点0,以点。为垂足，分别在半

平面a和B内作垂直于棱/的射线0A和0B,则射线0A和0B

所成的角/A0B称为二面角的平面角

二面角的平面角

vv\

直二面角平面角是直角的二面角称为直二面角

两个相交平面所成两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0。且不大于90°

的角的角

田考,

，心勺拿

二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相同的

吗？

提示：不相同.二面角的大小和二面角的平面角的大小的范围是，两个相交平面所成

角的大小的范围是.

2.射影面积公式

已知平面B内一个多边形的面积为s,它在平面a内的射影图形的面积为S',平面a和

平面B所成的二面角的大小为e，则cose=.

田老,

如图，若aABC在平面a上的射影为△A'BC,二面角ABCA'的大小为6，则cos9,

SAABC/SAA-BC的关系是怎样的？

提示:cos0二.

3.用向量的夹角度量二面角

设平面a与B所成角的大小为。,ni,也为两个非零向量.

⑴当nilla,n2llp,ni±/,n2±/,且rii,血的方向分别与半平面a,0的延伸方向

相同,则。=<ni,n2).

(2)当ni_La,ri2_LB,贝1|6=,m〉或9=TT-(ni,n2).

田老.

二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？

提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补.

>基础小测3

1.辨析记忆(对的打"V",错的打"x").

(1)二面角是指两个平面相交的图形.()

(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直.()

(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等.()

提示：(l)x.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

(2)4.根据二面角的平面角的定义可得.

(3)x.相等或互补.

2.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个

二面角的关系是()

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不能确定

【解析】选C.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补.

3.(教材例题改编)如图所示,三棱推PABC中，PA,平面ABC,/BAC=90°,则二

面角BPAC的大小等于.

p

【解析】因为PA，平面ABC,所以PA±AB,PA±AC,所以NBAC为二面角B-

PAC的平面角，

又NBAC=90。.所以所求二面角的大小为90°.

答案：90°

关键能力•合作学习

类型一二面角的概念及利用定义法求二面角（数学抽象、直观想象）

题组训练,

1.如图，正方体ABCDAiBiJDi的棱长为1,E,F分别为棱AD,BC的中点，则

平面CiDiEF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（）

2.已知二面角a0的大小是，m,n是异面直线,且m±a,n_Lp,则m,n所成的

角为（）

A.B.C.D.

3.在边长为a的正△ABC中，ADJ_BC于D,沿AD折成二面角BADC后，BC=

a,这时二面角BADC的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】1.选B.根据题意，EFL平面ADDiAi,所以ED」EF,ED1EF,

所以/DiED是平面CiDiEF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在RtADiED

中，ED=,EDi==,

所以cosZDiED==.

2.选C.如图，过二面角a/p内一点P,分别作PA〃m,PB//n,则PA±a,PB±p,

且/_L平面PAB.

设平面PAB交/于O,则/_LOA,/_LOB,ZAOB为二面角a/0的平面角,即/

AOB=,故NAPB=,

则异面直线m,n所成的角为.

3.选C.在边长为a的正△ABC中，ADLBC于D,沿AD折成二面角BADC,由定

义知，ZBDC为所求二面角的平面角，又BC=BD=DC=a,所以4BDC为等边三

角形，所以/BDC=60。.

"ft

用定义求二面角的步骤

(1)作(找)出二面角的平面角；

(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；

(3)解三角形求角.

类型二利用三垂线定理或射影面积公式求二面角(直观想象、数学运算)

【典例】已知在三棱锥PABC中，PC，平面ABC,AB=BC=CA=PC.求二面角B-

APC的余弦值.

四步内容

理解条件：①三棱锥PABC中，PC,平面ABC,

题意②AB=BC=CA=PC.

结论：求二面角BAPC的余弦值.

思路可利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可用射影面积公式

探求求解.

方法一：如图，过点B作BELAC于点E,则E为AC的中点，过点E作

EF_LPA于点F,连接BF.因为PC_L平面ABC,PCu平面PAC,

书写

表达

B

四步内容

所以平面PAC_L平面ABC.

又因为BE_LAC,BEu平面ABC,平面ABCC平面PAC=AC,所以8£，平

面PAC.由三垂线定理有BFXPA,所以NBFE是二面角BPAC的平面

书写

角.设PC=L由E是AC中点，

表达

得BE=,EF=Xsin45°=,

所以BF=,所以cosNBFE==.

方法二：（利用射影面积公式）如图，过点B作BELAC于点E,连接PE.

B

四步内容

因为PC，平面ABC,ACu平面PAC,

所以平面PACJ_平面ABC.

所以4PAE是4PAB在平面PAC上的射影.

设PC=1,则PA=PB=,AB=1,

所以4PAB中AB边上的高h=.

书写

所以SAPAB_9又SAPAE=SAPAC=.

表达

设二面角BPAC的大小为9,

由射影面积公式有cos0==.

注意书写的规范性：

①利用三垂线定理作二面角的平面角的步骤；

②利用射影面积公式求相应图形的面积.

题后三垂线定理或其逆定理的作用在于作二面角的平面角，而射影面积公式

反思不需要作.

I解题策略

1.用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法：

(1)在其中一个面内找一特殊点A,过A作另一个平面的垂线,垂足为B;

(2)过A作棱的垂线，垂足为C(或过B作棱的垂线,垂足为C),连接BC(或连接

AC);

(3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得平面角ZACB.

2.对射影面积公式的理解：

(1)来源：三垂线定理.

(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的

射影的面积已知或者已求出.

(3)优势：不需要作出二面角的平面角.

跟踪训练'

如图,在直三棱柱ABCAiBiCi中，AB=1,AC=AAi=,zABC=60°.

B

(1)证明：ABXAiC;

⑵求二面角AAiCB的正切值.

【解析】（1）因为三棱柱ABCAiBiCi为直三棱柱，

所以AB_LAAi,在4ABC中，AB=1,AC=,ZABC=60°,

所以NBAC=90。,即ABXAC.

又ACClAAi=A,所以AB_L平面ACCiAi，

又AiCu平面ACCiAi,所以AB±AiC.

（2）如图，作AD±AiC于D点，连接BD.由三垂线定理知BD1A1C,所以/ADB为

二面角AAiCB的平面角.在RtAAAiC中，AD===.

在RtABAD中，tanNADB==,

所以二面角AAiCB的正切值为.

类型三利用向量法求二面角（逻辑推理、数学运算）

利用棱的垂线的方向向量求二面角

【典例】如图,在一个二面角的棱上有两个点A,B，线段AC,BD分别在这个二面

角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则这个二

面角的度数为（）

c

AB

D

A.30°B.45°C.60°D.120°

【思路导引】利用空间向量的数量积及其性质求解.

【解析】选C.设所求二面角的大小为。，则〈，〉=0.

因为=++,所以2=(++y=2+2+2+2.+2.+2.,

即(2)2=82+42+62-2x8x6cos0,

所以cos0=.

因为0。戌勺80。，所以0=60°.

♦变式探究

若本例改为：如图,在大小为45°的二面角AEFD中,四边形ABFE与CDEF都是边

长为1的正方形，则点B与点D两点间的距离是()

A____________R

DC

A.B.C.1D.

【解析】选D.因为四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形,所以=-=0,

又大小为45。的二面角AEFD中，

所以•=ixlxcos(180°-45°)=-.

因为=++,

所以2=2+2+2+2.+2,+2.=3-,所以|=.

利用半平面的法向量求二面角

【典例】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1_L平面ABC,AAi=AC=BC,zACB

=90°,M为AB的中点.

(1)求证：AQII平面BiCM;

(2)求二面角ACiMBi的正弦值.

【思路导引】(1)连接BCi,设BCiABiC=O,连接OM,由三角形中位线定理可得

OM/7AC1,再由直线与平面平行的判定可得ACiII平面BiCM;

⑵以C为坐标原点，分别以CA,CB,CQ所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，令BC=1,求出所用点的坐标，分别求出平面AMQ与平面BiCiM的一个法

向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角AQMBi的正弦值.

【解析】⑴连接BCi,设BCiCBiC=。,连接OM,

因为四边形BCGBi为矩形，

所以。为BG的中点，

又因为M为AB的中点，所以OM〃AG,

因为OMu平面BiCM,ACiC平面BiCM,

所以AG〃平面BiCM；

(2)如图，以C为坐标原点，分别以CA,CB,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直

角坐标系.

令BC=1,则A(,0,0),Ci(0,0,),Bi(0,1,),M.

贝！］=,MCi=,MBi=.

设平面AMCi的一^个法向量为m=(xi,yi,zi).

由，

取xi=1,得m=(l,,1)；

设平面BiCiM的一个法向量为n=(X2,y2,Z2).

由，

取X2=1,得n=.

设二面角ACiMB,的平面角为e,

则|cos0|==,

则sin。==.

即二面角ACiMBi的正弦值为.

♦解题策略

利用向量法求二面角的两种方法

方法一：分别在二面角a小的面a邛内，沿a邛延伸的方向作向量n4/,m，/,贝!J

可用(ni,n2)度量这个二面角的大小.

方法二：通过法向量求解

设mi±a,m2±P,

则(mi,m2)与该二面角相等或互补.

。题组训练、

1.如图，二面角。不等于120。，A,B是棱/上两点，BD,AC分别在半平面a,P

内,AC±/,BD±/,且2AB=AC=BD=2,则CD的长等于()

A.2B.C.4D.5

【解析】选B.过点D作0D〃/,OA//BD,ODPOA=O,

因为AC±/,BD±/,0D=AB=1,OA=BD=2,OC==

2.已知平面a的一个法向量为ni=(l,-3,),平面B的一个法向量为n2=(5,

1,),若an[3=/,则二面角a用的余弦值为()

A.B.-

C.或-D.或一

【解析】选C.因为平面a的一个法向量为m=(l,-3,),平面p的一个法向量为

n2=(5,1,),

所以cos(ni,n2)==

所以二面角a/p的余弦值为或

3.如图，在直三棱柱ABCAiBiQ中，AB±AC,AiA=AB=AC,D是AB的中

点.

(1)证明:AC,平面AAiBiB;

(2)求二面角CiBiDAi的正弦值.

【解析】⑴由直三棱柱ABCABCI性质知：AAi，平面ABC,

因为ACu平面ABC,所以AAilAC,

因为AB±AC,ABAAAi=A,ABu平面AAiBiB,AAg平面AABB,所以AC±

平面AAiBiB；

⑵由⑴知AAi,AB,AC两两垂直，以A为原点,分别以AAi,AB,AC为x,y,

z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2.

则D(0,1,0),Bi(2,2,0),Ci(2,0,2),DBi=(2,1,0),

DCi=(2,-1,2),设平面BiCiD的一个法向量m=(x,y,z),

则，

取x=1,得m=(l,-2,-2),

平面AiBiD的一个法向量n=(0,0,1),

所以cos(m,n〉===-,

所以二面角GBiDAi的正弦值为=.

【补偿训练】

如图，在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形，ABllCD,AB±AD,PA,底

面ABCD,E为BP的中点，AB=2,PA=AD=CD=1.

⑴证明:EC〃平面PAD;

(2)求二面角EACP的正弦值.

【解析】⑴如图，取AP的中点F,连接EF,DF,

因为BE=PE,PF=AF,所以EF触AB,

因为直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB=2,

PA=AD=CD=1,

所以CDAB,所以CDEF,

所以四边形EFDC是平行四边形，所以EC〃FD,

因为DFu平面PAD,ECC平面PAD,

所以EC〃平面PAD.

(2)如图，因为PAL平面ABCD,ABXAD,

所以AP,AB,AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系,myA(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(2,0,0),E,

=(0,0,1),=(1,1,0),=,

设平面APC的法向量m=(x,y,z),

则，

取x=1,得m=(1,-1,0),

设平面EAC的法向量n=(a,b,c),

则，取a=l,得n=(l,-1,-