2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-强化练5 圆系方程的运用

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

专题强化练5圆系方程的运用

1.已知圆］:f（x,y）=0,点1（3）在圆］上，点P2（X2,y2）不在圆3上,则方程

f（x,y）-f（xi,yi）-f（x2,y2）=0表示的圆C2与圆G的关系是（）

A.圆C2与圆Ci重合

B.圆C2与圆3是同心圆

C.圆C2过Pi且与圆3的圆心相同

D.圆C2过P2且与圆3的圆心相同

2.（多选）（2022黑龙江哈尔滨月考）设有一组圆Ck：（x-迷2+（y—k）2=4（k£哈，下列

命题正确的是（）

A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上

B.所有圆Ck均经过点⑶0）

C.存在一条定直线始终与圆Ck相切

D.若k金偿，羊）,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1

3.（2022山西太原期中）过点M（2,-l）,且经过圆x2+y^4x-4y+4=0与圆x2+y2-4=0

的交点的圆的方程为（）

A.x2+y2+x+y-6=0B.x2+y2+x-y-8=0

C.x2+y2-x+y-2=0D.x2+y2-x-y-4=0

4.（2022河南中原名校联考）过点P（2,2）作圆C:（x+2）?+（y+2）?=/住〉。）的两条切

线,切点分别为A,B,给出下列四个结论：

①0〈r〈2位；

②若4PAB为直角三角形,则r=4;

③4PAB外接圆的方程为x2+yM;

④直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0.

其中所有正确结论的序号为（）

A.②④B.③④

C.②③D.①②④

22

5.（2022山东师大附中期中）已知圆G：x2+y2+6x-4=0与圆C2:x+y+6y-28=0,则经

过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为.

6.经过两圆x2+y2+3x-y-2=0和3x2+3y2+2x+y+l=0的交点和坐标原点的圆的方程

为.

7.（2021浙江台州之江高级中学期末）已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0与圆

C:x2+y2+2x-4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程

为.

8.圆系x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（keR,k#-l）中，任意两个圆的位置关系如

何？

9.（2022吉林四平一中月考）已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q

两点,0为坐标原点,若OPXOQ,求实数m的值.

答案全解全析

1.D由题意得f(xi,y)=0,f3,丫2)WO,

由f(x,y)-f(xi,yi)-f(x2,y2)=0得f(x,y)=f(x2,y2)WO,它表示过P2且与圆Ci圆心

相同的圆.故选D.

名师指点

1.以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=X2(X>0),与圆

x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+X=0.

2.过直线Ax+By+C=O与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为

x2+y2+Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0(入£R).

22

3.过两圆Ci:x^y^D^+Ejy+F^O,C2:x+y+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为

222222

x+y+Dix+Eiy+Fi+入(x+y+D2x+E2y+F2)=0(入#-1)和x+y+D2x+E2y+F2=0.

为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆3和两圆公共弦

所在直线交点的圆系方程:x2+y2+Dix+E1y+Fi+人[(D[Dz)x+

(E-E2)•y+(F1-F2)]=0.

2.ACD圆心在直线y=x上,A正确；

2

假设点(3,0)在圆Ck上,则(3-k尸+(0-在2=4,化简得2k-6k+5=0,A=36-40=-4<0,

无解,假设不成立,B不正确；

存在定直线y=x±2/始终与圆Ck相切,C正确；

若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,则问题转化为圆x2+y2=l与圆Ck有两个交

点，则2-KV21k1<2+1,解得k£(-誓，-号)U(乎，苧),D正确.故选ACD.

3.A设过圆x2+y2-4x-4y+4=0与圆x2+y2-4=0的交点的圆的方程为

(x2+yJ-4x-4y+4)+入(x2+y2-4)=0(^.#-1),

将M的坐标代入可得(4+1-8+4+4)+入(4+1_4)=0,解得人=-5,

所以所求圆的方程为x2+y2+x+y-6=0,故选A.

4.A由题意可得P在圆外，则(2+2)2+(2+2)2>r2,

又r>0,所以0〈1<4近,故①错误；

若4PAB为直角三角形，则四边形PACB是边长为r的正方形，可得

PC=V2r=J(2+2)2+(2+2)2=4V2,解得r=4,故②正确;

由PA±AC,PB±BC及四点共圆的判定可得P,A,C,B是以PC为直径的圆上四点，

又线段PC的中点为(0,0),PC=4V2,所以所求圆的方程为x2+y2=8,故③错误；

由③可得4PAB的外接圆和圆C相交于点A,B,由x2+y2=8和(x+2)2+(y+2)2=r2,两式

相减可得4x+4y+16-r2=0,即为直线AB的方程,故④正确.

故选A.

5.答案x2+y-x+7y-32=0

解析设所求圆的方程为x?+y2+6x-4+入(x?+y2+6y-28)=0(人力-1),其圆心坐标为

-三)将圆心坐标代入直线x-y-4=0,解得人=-7,

所以所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.

6.答案x2+y2+x+1y=0

解析由题可设所求圆的方程为(x2+y2+3x-y-2)+入(3x2+3y2+2x+

y+1)=0(入#-1).

•.•坐标原点在所求的圆上，2+人=0,解得人=2,

故所求圆的方程为（x+y2+3x-y-2）+2（3x2+3y2+2x+y+l）=0,

即x2+y2+x+1y=0.

先安2.2,261232

7n.答案x+y+—x—y+—n=0

解析设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+入（2x+y+4）=0,即

x2+y2+2（1+入）x+（入-4）y+4入=0,

圆心坐标为(-1-九?),

显然当圆心在直线2x+y+4=0上时,所求圆的半径最小,从而面积最小,

2(一1一入)+当+4=0,解得人=|,

故所求圆的方程为x2+y2+^x-^y+^=0

8.解析圆系方程可化为x2+y2+10y+20+k(2x+4y+10)=0.

2x

,口A(+4y+10=0,f%+2y+5=0,

由题意可知2^2.L-1A-LOAc即2/2

+yZ+10y+20=0,[%2+(y+5)=5r.

易知圆心(0,-5)到直线x+2y+5=0的距离恰等于圆x2+(y+5)2=5的半径，故直线

x+2y+5=0与圆x2+(y+5)2=5相切，即上述方程组有且只有一个解,从而圆系方程所

表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切.

9.解析设过直线x+2y-3=0与圆x2+y2