新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册习题：单元形成性评价第7、8章三角函数函数应用

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单元形成性评价（四）（第7、8章）

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.下列说法正确的是（）

A.三角形的内角一定是第一、二象限角

B.钝角不一定是第二象限角

C.终边相同的角之间相差180。的整数倍

D.钟表的时针旋转而成的角是负角

选D.A错,如90。既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝

角在90。到180。之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差

360。的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角.

2.已知某机械采用齿轮转动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图

所示）,设主动轮M的直径为150mm,从动轮N的直径为300mm,

若主动轮M顺时针旋鳄,则从动轮N逆时针旋转（）

71_7171_

A.gB.WC.2D.7r

选B.设从动轮N逆时针旋转9,由题意，知主动轮M与从动轮N转

动的弧长相等，

JT

X。,解得。=4.

3.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，

那么图象所对应的函数模型是（）

2300

2200

2100

2000

~~o\

A.分段函数B.二次函数

C.指数函数D.对数函数

选A.根据函数图象由不同的直线段构成可知，函数是分段函数，在

每一段上函数是一次函数.

4.已知,智，则2sin6+41-2sin（兀-9）cos6

=（）

A.sin0+cos0B.sin0-cos0

C.3sin0-cos0D.3sin0+cos0

选A.因为9e（0，1，则cos9>sin9,由三角函数的诱导公式和三

角函数的基本关系得,

2sin0+,\/1-2sin(K-0)cos0

=2sin0+sin0-cos0)2

=2sin0+cos0-sin0=sin9+cos0.

5.已知tana=2,则cos2a=()

1341

A-4B-4C-5D-5

cos7a

选D.因为cos2a=------,且tana=2,所以cos2a

cos-2a+1si•r2ra1+tarra

11

IT；=5'

6.若xo=cosxo,则()

71717T7T

A.x()£B.x()£

,3^24,3

兀7Txe[o,I

C.x()WD.o

,6z4,

选C.xo=cosxo,方程的根就是函数

f(x)=X-cosX的零点，函数是连续函数,

71717171A/3八

并且6-cos6=6-2<°，

7T4-^2>0,所以嘲•造

<0,

7T生工

所以函数的零点在之间，所以x°£6'4厂

7.已知函数f(x)=2sin(nx+1),若对于任意的xER,都有

f(x/f(X)Sf(X2)成立，则|X1-X2|的最小值为()

1

A2B1c4D-

12

选B.由于函数f(x)=2sin(7tx+1)的周期为7=2,对于任意xGR,

都有f(X/f(X)Sf(X2)成立，可知f(X。是函数的最小值，f(X2)是函数的

2

最大值，|X「X2的最小值就是函数的半周期=1.

8.(2020.天津高考)已知函数f(x)=sin卜+，给出下列结论：

①f(x)的最小正周期为271；

②是f(x)的最大值；

③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移鼻个单位长度，可得到函

数y=f(x)的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

选B.因为f(x)=sin(x+t,

所以最小正周期T=U=2兀，故①正确；

6=sin咚+引=siny=1#1,故②不正确；将函数y=sinx的

图象上所有点向左平移g个单位长度，

得至I」y=sin(x+目的图象，故③正确.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的

得3分，有选错的得0分)

9.（2021•淄博高一检测）已知0e（O,7t）,sin0+cos0=1,则下列结

论正确的是（）

A.。£住，兀）B.cos0=-1

37

C.tan0=-D.sin0-cos。§

选ABD.因为sin0+cos0=，①

所以（sin0+cos0）2=9,

即sin20+2sin0cos0+cos20=表，

一24

所以2sin0cos0=-T7,

乙J

因为0G（O,7t）,所以sin0>O,cos0<O,

所以e*,力,

/、249

所以（sin0-cos0J=1-2sin0cos。=石.

_7

所以sin0-cos0=②

43

①+②得sin0=5，①-②得cos0=-g,

4

MI”„sin054

所以tan0=-----7=-7=-7.

'"八cos033

-5

综上可得，正确的有ABD.

10.对于①sin0>0,②sin0<0,③cos0>0,④cos0<0,⑤tan0>0,

⑥tan9<0,则9为第二象限角的充要条件为()

A.①③B,①④C.④⑥D.②⑤

选BC.若9为第二象限角，

则sin0>0,cos0<0,tan0<0.

M—[sin0>O_^[sin0>O_^fcos0<O

所以。为第二象限角oA”或+A”或+A”•

Icos0<OItan0<OItan0<O

11.将函数y=3tan(x+目的图象上所有点的横坐标缩短到原来的;

倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向右平移三个单位长度，得到函数

y=g(x)的图象，下列结论正确的是()

A.函数y=g(x)的图象关于点形，0)对称

B.函数y=g(x)的图象最小正周期为71

C.函数y=g(x)的图象在[。，总上单调递增

.5兀

D.函数y=g(x)的图象关于直线x=正对称

选AC.函数y=3tan(x+f)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移鼻个单位长度，

得到函数y=g(x)=3tan12x-2的图象，

当x=*时，=0,故选项A正确.

函数的最小正周期为方，故B错误.

由于函数在一个周期为单调递增，故C正确.

对于正切型函数不存在对称轴，故D错误.

12.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、

燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等.它是未来汽

车的发展方向.一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装

配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x（辆）与创造的价值

y（万元）之间满足二次函数关系.已知产量为0时，创造的价值也为0；

当产量为40000辆时，创造的价值达到最大6000万元.若这家工厂

希望利用这条流水线创收达到5625万元，则它可能生产的新能源汽

车数量是_____辆.（）

A.30000B.40000

C.50000D.60000

选AC.设y=ax2+bx(a*0),

因为当产量为40000辆时,

创造的价值达到最大6000万元,

=40000,

所以4

=6000,

所以y=-8000Q0x2+J5X,

令y=5625得_800000x2+j^x=5625,

解得：X=30000或50000.

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.函数f(x)=cos(3x+^在[0,兀]的零点个数为.

因为f(x)=cos(3x+袭)=0,

所以3x+看+k7t,kGZ,

、711

所以x=g+gk7t,kGZ,

JT4

当k=0时，x=6，当k=l时，x=djr,

7in

当k=2时，x=§it,当k=3时，x=Y兀，

TT47

因为xG[0,K],所以x=g，或x=g兀，或x=g兀，故零点的个数

为3.

答案：3

4_

14.已知sin(540°+a)=-，若a为第二象限角，则

[sin(180°-a)+cos(a-360°)]2

tan(180°+a)

因为sin(5400+a)=sin(360°+180°+a)=sin(180°+a)=-sina=-

4

5，

4

所以sina=5,又因为a为第二象限角，

34

所以cosa=-sin2a-5,tana=-,

[sin(180°-a)+cos(a-360°)]2

所以

tan(180°+a)

(sina+cosa)23

tana100•

3

答案：-

100

15.若函数f(x)=tan®x+(p)((o>0且|(p|局的一^^^单调区间为

©用，且f(o)邛,则出=---------

函数f(x)=tan(cox+(p)fco>。且|<p|<习

的一个单调区间为「W，(I，

则T=W，解得(o=2,

由于f(0)二坐，贝！Jcpq,

故f(x)=tan(2x+，则=tan=事.

答案：小

f-x+k,x<0,

16.已知函数f(x)=1其中k>0.

[x2-1,x>0,

⑴若k=2,则f(x)的最小值为；

⑵关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是

-x+2,x<0,

⑴若k=2,则f(x)=

x2-1,x>0,

作函数f(x)的图象如图所示,

显然，当x=0时，函数f(x)取得最小值，

且最小值为f(0)=-1.

⑵令m=f(x),显然f(m)=0有唯一解m=1,

由题意，f(x)=1有两个不同的零点，

由图观察可知，k<l,

又k>0,则实数k的取值范围为0<k<l.

答案：(1)-1(2)[0,1)

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知sin0-2cos0=0.

⑴若，求sin。，cos。及tan0的值；

(2)求一...--------的值.

cos20+2sin0cos0

⑴因为sin0-2cos0=0,所以tan0=2,

又因为sin20+cos20=1,

所以5cos2。=1,因为9G[O,舒,

所以cos0=坐,sin0=.

1sin20+cos20tan20+14+1

(2)—;------------------=—;------------------=------------=------=1.

cos20+2sin0cos0cos_0+2sin0cos01+2tan01+4

18.(12分)已知函数f(x)=2小sin(3cox+?，其中co>0.

⑴若f(x+0)是最小正周期为2n的偶函数，求3和。的值；

(2)若f(x)在[。，f]上是增函数，求0)的最大值.

⑴由f(x)=2y/3sin(3cox+,

其中①>0,

所以f(x+0)=2y/3sinfscox+3o)0+»,

因为f(x+。)是最小正周期为2TI的偶函数，

所以2兀言=2兀，所以3年1，

1717r7T

因为3(0。+§=0+j=k7r+2,kGZ,

TT

即0=k7t+%,kGZ.

_]JI

综上可得，CO=Q,0=k7T+^,kez.

⑵f(x)=2y/3sin(3sx+§在(0,1上是增函数，在(04上，3cox

71(Tl71

+]£自，3兀+^，

所以(0<1,即0)的最大值为九

19.(12分)已知函数f(x)=asin,+m+a+b,当时，

函数f(x)的值域是[-啦,2].

⑴求常数a,b的值；

⑵当a<0时，设g(x)=f]x+皆判断函数g(x)在0,上的单调性.

/八71dL71715兀

⑴当x£[o,时，2x+a£自，TJ，

所以sin(2x+5£-乎，1.

①当a>0时，由题意可得

ax[-+a+b=-y[2,

axl+a+b=2,

a+a+b=-也，

解得a=2,b=-2.

2a+b=2,

②当a<0时，由题意可得

axl+a+b=-正，

-a+a+b=2,

即j2

2a+b=-正，

解得a=-2,b=4-72.

⑵当a<0时，

f(x)=-2sin12x+A1+2-也,

所以g(x)={x+]

.「J始I九]r

=-2sm2[x+/+a+2-y]2

(兀)r

=2sin[2x+aJ+2-AJ2；

,71717T

ffi-2+2k;r<2x+<2+2k7t,kGZ,

3兀JI

解彳导-9+k7i<x<g+k兀，kGZ.

当k=0时，由-y,|n0,=0,1

所以函数g(x)中，上单调递增.

同理，函数g(x)在|j上单调递减.

鬣【加固训练】

已知函数f(x)=sin(2x+^|,

⑴填表并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象:

―兀三37t

2x+70712兀

02~2

X

f(x)

⑵求f(x)的对解由与对称中心；

⑶求f(x)在区间［-1岩1IT，-17T上的最大值和最小值以及对应X的值.

(1)

C兀Tt3九

0712n

2x4-6T2T

Tt三5兀2兀IE

X

-12612T12

f(X)010-10

兀71

(2)令2x+4=2+k7t,

即对称轴为：x+y(kGZ).

兀

令2x+4=kjr,

即对称中心为：［峨+程，。］（kGZ）.

、[-1171717157r1__检Ji11I,|

⑶当x£[-瓦，-方时，2x+不q-9，-可5TI|,由函数图象性

质可有，

4C,兀37r

当2x+d=-y,

即X=-y时,f(X)max=d-及=1.

出c,九5瓦

当2x+j=-T，

即X=-时，f（x）min=（-'=~2-

20.（12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产

量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S（单位：万

3x+—^-+5（0<x<6）,

元）与日产量x的函数关系式S=j-8

14（x>6）,

已知每日的利润L=S-C,且当x=2时，L=3.

⑴求k的值；

⑵当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.

⑴由题意得

—k

L=|2x+x-8+2,0<x<6,

11-x,x>6,

k

因为x=2时，L=3,所以3=2x2+——+2,

2-8

所以k=18.

⑵当0<x<6时，

1818

L=2x+------+2=2(x-8)+------+18

x-8x-8

18

=-2(8-x)+--+18<

8-x一

-2(8-x)+18=6,

1Q

当且仅当2(8-x)=q，即X=5时取等号.

8-x

当x>6时，L=11-XS5,所以当x=5时，L取得最大值6,所以当

日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.

21.(12分)某玩具所需成本费用为p元，且p关于玩具数量x(套)的

关系为：p=1000+5x+Lx2,而每套售出的价格为q元，其中q(x)

x

=a+^(a,b£R).

⑴问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？

⑵若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此

时每套价格为30元，求a,b的值.(利润=销售收入-成本).

2

1000+5x+-ATX]NNN

⑴由题意，每套玩具所需成本费用为9=---------------------二野

AAA.

+W+5N

+5=25,

当且仅当名二野时，

即当X=100时，每套玩具所需成本费用最少，为25元；

（2）利润y=xq（x）-p=x（a+篙-

（1000+5x+=