2024届贵州省中考数学第一轮专项复习 第五章 第23讲《矩形、菱形、正方形》教学

第五章四边形第23讲矩形、菱形、正方形2024届中考复习专题课标要求1.理解矩形、菱形、正方形、梯形的概念.2.探索并证明矩形、菱形的性质定理.3.探索并证明矩形、菱形的判定定理.4.正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.考点梳理1

矩形、菱形、正方形矩形菱形平行四边与特殊平行四边形之间的关系正方形性质判定面积性质判定面积性质判定面积从边、角的角度看从对角线的角度看中点四边形性质判定面积：S=⑦____（a，b分别表示矩形的长和宽）具有平行四边的所有性质角：四个角都是①________对角线：对角线互相平分且②________对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有③______条对称轴边：有一个角是④_______的平行四边形是矩形（定义）角：有⑤______个角是直角的四边形时矩形对角线：对角线⑥_______的平行四边形是矩形OABCba矩形D直角相等两三直角相等ab性质判定面积：S=⑬_______=ah（m、n分别两条对角线的长，a为菱形的边长，

h为菱形某一边上的高）具有平行四边的所有性质边：四条边都相等边ABCaD对角线对角线互相⑧______且平分每条对角线平分一组对角对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有⑨___条对

称轴【满分技法】已知m，n，a，h中任意三个，可以用等面积法求出另一个.对角线：对角线⑫__________的平行四边形都是菱形有一组邻边⑩________的平行四边形是菱形（定义）四条边都⑪_______的四边形是菱形Omnh菱形垂直两相等相等互相垂直

正方形DCBAmOa性质正方形具有菱形、矩形的所有性质边：四条边都⑭_______角：四个角都是⑮_______

对角线相等且相互垂直平分对角线

每条对角线平分一组对角对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，

有⑯_______条对称轴相等直角四正方形DCBAmOa有一组邻边⑰_______，且有一个角是⑱______的平行四边形是正方形（定义）边：有一组邻边相等的⑲________是正方形角：有一个角是直角的⑳________是正方形

对角线相等的㉑_________是正方形对角线

对角线互相垂直的㉒_______是正方形【拓展延伸】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.判定相等直角菱形矩形菱形矩形面积：S=a²=㉓________（a表示正方形的边长，m表示对角线的长）

平行四边形与特殊平行四边形之间的关系（1）从边、角的角度看：有一个角是㉔________有一组邻边相等，且一个角是直角有一组邻边㉖_________有一个角是㉗_________矩形正方形平行四边形菱形直角相等有一组邻边㉕_________相等直角平行四边形与特殊平行四边形之间的关系【拓展延伸】对角线相等的平行四边形是矩形；对角线垂直的平行四边形是菱形；对角线垂直且相等的平行四边形是正方形（2）从对角线的角度看：矩形正方形平行四边形菱形对角线㉙_________对角线互相垂直对角线相等对角线㉘_________相等相互垂直中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系确定（1）任意四边形

平行四边形（2）对角线相等的四边形

菱形（3）对角线互相垂直的四边形

矩形（4）对角线互相垂直且相等的四边形

正方形

中点四边形概念：顺次连接四边形各边中点所得的四边形判定依据：三角形的中位线定理【温馨提示】（1）特殊四边形的中点四边形：①平行四边形

平行四边形②矩形

菱形③菱形

矩形④正方形

正方形（2）中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和；

中点四边形的面积是原四边形面积的一半中点四边形中点四边形中点四边形中点四边形分层突破2基础能力过关特殊平行四边形的性质与判定重难考点突破特殊平行四边形的性质与判定综合例1如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点E是AC的中点,点F是BC的中点,请填空:(1)四边形BDEF是____________;

(2)若四边形BDEF是菱形,连接BE,则BA____BC,BE与AC的位置关系为_________;

(3)若四边形BDEF是矩形,在△ABC中,AB=3,BC=4,则AC=_____;

(4)若四边形BDEF是正方形,连接BE,且BE=4,则△ABC的面积为_____.

例2例1平行四边形=BE⊥AC516基础能力过关特殊平行四边形的性质与判定例2如图,在四边形ABCD中,AC,BD是它的两条对21角线,且交于点O.(1)若OA=OC,OB=OD,请判断四边形ABCD是什么特殊图形,并说明理由;(2)在(1)的条件下,添加____________________(写出一个即可)条件可使四边形ABCD成为矩形;

(3)在(1)的条件下,添加_____________________(写出一个即可)条件可使四边形ABCD成为菱形;

解:四边形ABCD是平行四边形.理由:在四边形ABCD中,∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).AC=BD（答案不唯一）AC⊥BD（答案不唯一）例2例1(4)在(1)的条件下,添加__________________________(写出一个即可)条件可使四边形ABCD成为正方形;

(5)在(2)的基础上,添加___________________(写出一个即可)条件可使四边形ABCD成为正方形;

(6)在(3)的基础上,添加___________________(写出一个即可)条件可使四边形ABCD成为正方形.

AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）AC⊥BD（答案不唯一）AC=BD（答案不唯一）例2例11例3例3如图,点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点,点F在BE的延长线上,且EF=BE,EF与CD交于点G,连接DF.(1)求证:DF∥AC;重难考点突破特殊平行四边形的性质与判定综合证明:连接BD,交AC于点O,如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO.∵BE=EF,∴OE是△BDF的中位线.∴OE∥DF,即DF∥AC.(2)连接DE,CF,若2AB=BF,点G恰好是CD的中点,求证:四边形CFDE是矩形;

1例3(3)在(2)的条件下,若四边形CFDE是正方形,且BC=10,直接写出AB的长为_______.

1例31.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB,交CB于点E,CD⊥AB于点D,交AE于点G,过点G作GF∥BC,交AB于点F,连接EF.(1)求证:CG=CE;证明:∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE.∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AGD=90°.∴∠CEA=∠AGD.又∵∠CGE=∠AGD,∴∠CGE=∠CEA.∴CG=CE.对应练习1例3(2)判断四边形CGFE的形状,并证明;解:四边形CGFE是菱形.证明:∵GF∥BC,∴∠CEG=∠EGF.由(1)知∠CEA=∠CGE,∴∠CGE=∠EGF.∴∠AGC=∠AGF.又∵AG=AG,∠CAE=∠BAE,即∠CAG=∠FAG,∴△AGC≌△AGF(ASA).∴CG=FG.由(1)知CG=CE,∴CE=FG.∵GF∥BC,即GF∥CE,∴四边形CGFE是平行四边形.又∵CG=CE,∴四边形CGFE是菱形.1例3(3)若AC=3cm,BC=4cm,求线段DG的长度.

1例3（2016~2023）菱形的证明与计算命题点2命题点1矩形的证明与计算命题点3正方形的证明与计算真题试做31.(2023贵州20,10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至点D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：命题点1矩形的证明与计算小星:由题目的已知条件,若连接BE,则可证明BE⊥CD.小红:由题目的已知条件,若连接CE,则可证明CE=DE.32154(1)请你选择一位同学的说法,并进行证明;32154解:选择小星.证明:连接BE,如图1,∵AE∥BD,DE∥BA,∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD.∵BD=BC,∴AE=BC.∵AE∥BC,∴四边形AEBC是平行四边形.∵∠C=90°,∴四边形AEBC是矩形.∴∠EBC=90°,∴BE⊥CD.

选择小红.证明:连接BE,CE,如图2,∵AE∥BD,DE∥BA,∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD,AB=DE.∵BD=BC,∴AE=BC.∵AE∥BC,∴四边形AEBC是平行四边形.∵∠C=90°,∴四边形AEBC是矩形.∴AB=CE.∴DE=CE.(任选一位同学的说法进行证明即可)

32154

2.(2021贵阳19,10分)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.(1)求证:△ABN≌△MAD;

32154(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.

321543.(2020贵阳18,10分)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE.(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=EF.∴AD=EF.又∵AD∥BC,即AD∥EF,∴四边形AEFD是平行四边形.32154(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.32154

4.(2022铜仁)如图,在矩形ABCD中,A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则点D的坐标为(

)A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)D.(-3,-1)D拓展考法321545.(2023贵阳模拟)下面是多媒体上的一道试题:嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路:(1)嘉嘉的思路______,琪琪的思路______;(均选填“正确”或“错误”)

补充考法在菱形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,AF=CE,连接BD,DF.求证:四边形BFDE是矩形.嘉嘉:先证明四边形BFDE是平行四边形,然后利用矩形的定义即可得证;琪琪:先证明△ADF与△CBE全等,然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证.正确正确32154(2)请按照你认为的正确思路进行解答.解:(答案不唯一)我选择嘉嘉的思路.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.∵AF=CE,∴BF=DE.又∵BF∥DE,∴四边形DFBE是平行四边形.∵BE⊥CD,∴∠BED=90°.∴四边形BFDE是矩形.32154命题点2菱形的证明与计算6.(2020贵阳7,3分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是(

)A.5 B.20C.24

D.32B87697.(2018贵阳5,3分)如图,在菱形ABCD中,点E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为(

)A.24B.18C.12D.9A87698.(2017贵阳18,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边BC,AB上的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.(1)证明:AF=CE;证明:∵点D,E分别是边BC,AB上的中点,∴DE∥AC,AC=2DE.∵EF=2DE,点D,E,F在一条直线上,∴EF∥AC,EF=AC.∴四边形ACEF是平行四边形.∴AF=CE.8769(2)当∠B=30°时,试判断四边形ACEF的形状,并说明理由.

8769

补充考法876910.(2022贵阳8,3分)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是(

)A.4B.8C.12D.16命题点3正方形的证明与计算B12111013

11.(2022贵阳21,10分)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;12111013

(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.12111013

D拓展考法1211101313.(2018遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠DAO=45°,∠OBA=45°.∴∠OAM=∠OBN=135°.∵∠EOF=90°,∴∠AOM=∠BON.∴△OAM≌△OBN(ASA).∴OM=ON.拓展考法12111013(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.

12111013综合提升训练1.(2023上海)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 (

)

A.AB∥CD

B.AD=BCC.∠A=∠B

D.∠A=∠DC基础过关练876543219

D876543219

B8765432194.(2023湘潭)如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(

)A.20° B.60°

C.70°

D.80°C8765432195.(2023台州)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为

.

8765432196.(2023齐齐哈尔)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:

,使四边形ABCD成为菱形.

(答案不唯一)AD∥BC(或AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)

8765432197.(2023龙东)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件

,使得矩形ABCD为正方形.

AB=AD(答案不唯一)8765432198.(2023乐山)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.(1)求证:四边形ECFD是矩形;(1)证明:∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形ECFD为平行四边形.又∵∠C=90°,∴四边形ECFD是矩形.876543219(2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.

8765432199.(2023长春)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示的位置摆放,点A,E,B,D依次在同一条直线上,连接AF,CD.(1)求证:四边形AFDC是平行四边形;(1)证明:由题意,得△ACB≌△DFE,∴AC=DF,∠CAB=∠FDE.∴AC∥DF.∴四边形AFDC是平行四边形.87654321918(2)已知BC=6cm,当四边形AFDC是菱形时,AD的长为

cm.

87654321910.(2023宁波)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道(

)A.△ABE的面积

B.△ACD的面积C.△ABC的面积

D.矩形BCDE的面积