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文档简介
2023-2024学年湖南省株洲市醴陵四中高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.2.复数满足,则复数在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图,平面四边形中,,,,,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.4.已知等比数列的前项和为,若,且公比为2,则与的关系正确的是()A. B.C. D.5.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()A. B. C. D.6.过点的直线与曲线交于两点,若,则直线的斜率为()A. B.C.或 D.或7.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.38.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.9.近年来,随着网络的普及和智能手机的更新换代,各种方便的相继出世,其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途,随机抽取了名大学生进行调查,各主要用途与对应人数的结果统计如图所示,现有如下说法:①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数;②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏;③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.其中正确的个数为()A. B. C. D.10.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.复数满足为虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.12.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平行四边形中,,为边上一点(不与重合),将平行四边形沿折起,使五点均在一个球面上,当四棱锥体积最大时,球的表面积为________.14.函数的极大值为________.15.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.16.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,平面四边形为直角梯形,,,,将绕着翻折到.(1)为上一点,且,当平面时,求实数的值;(2)当平面与平面所成的锐二面角大小为时,求与平面所成角的正弦.18.(12分)已知矩阵,.求矩阵;求矩阵的特征值.19.(12分)如图,是正方形,点在以为直径的半圆弧上(不与,重合),为线段的中点,现将正方形沿折起,使得平面平面.(1)证明:平面.(2)三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函数.(1)若曲线的切线方程为,求实数的值;(2)若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.21.(12分)设数列的前列项和为,已知.(1)求数列的通项公式;(2)求证:.22.(10分)如图,内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,平面ABC,,.(1)求证:平面ACD;(2)设,表示三棱锥B-ACE的体积,求函数的解析式及最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.2、B【解析】
设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.3、C【解析】
由题意可得面,可知,因为,则面,于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点,进而算出,外接球半径为1,得出结果.【详解】解:由,翻折后得到,又,则面,可知.又因为,则面,于是,因此三棱锥外接球球心是的中点.计算可知,则外接球半径为1,从而外接球表面积为.故选:C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,属于中档题.4、C【解析】
在等比数列中,由即可表示之间的关系.【详解】由题可知,等比数列中,且公比为2,故故选:C【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用,属于基础题.5、D【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【详解】因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有共37个,满足的整数点有7个,则所求概率为.故选:.【点睛】本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.6、A【解析】
利用切割线定理求得,利用勾股定理求得圆心到弦的距离,从而求得,结合,求得直线的倾斜角为,进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分,圆心为,半径为.设与曲线相切于点,则所以到弦的距离为,,所以,由于,所以直线的倾斜角为,斜率为.故选:A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.7、B【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.8、B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.9、C【解析】
根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较,可判断①的正误;计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例,可判断②的正误;计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例,可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用主要听音乐的人数为,使用主要看社区、新闻、资讯的人数为,所以①正确;使用主要玩游戏的人数为,而调查的总人数为,,故超过的大学生使用主要玩游戏,所以②错误;使用主要找人聊天的大学生人数为,因为,所以③正确.故选:C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断,计算出相应的频数与频率是关键,考查数据处理能力,属于基础题.10、C【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.11、C【解析】
,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,故的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.12、C【解析】
模拟程序的运行即可求出答案.【详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【点睛】本题主要考查程序框图,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
依题意可得、、、四点共圆,即可得到,从而得到三角形为正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱锥体积最大,当且仅当面面时体积取得最大值,利用正弦定理求出的外接圆的半径,再又可证面,则外接球的半径,即可求出球的表面积;【详解】解:依题意可得、、、四点共圆,所以因为,所以,,所以三角形为正三角形,则,,利用余弦定理得即,解得,则所以,当面面时,取得最大,所以的外接圆的半径,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半径所以故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.14、【解析】
对函数求导,根据函数单调性,即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意,得.所以当时,;当时,.所以当时,函数有极大值.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想,属基础题.15、【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.16、(-4,2)【解析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)连接交于点,连接,利用线面平行的性质定理可推导出,然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值;(2)取中点,连接、,过点作,则,作于,连接,推导出,,可得出为平面与平面所成的锐二面角,由此计算出、,并证明出平面,可得出直线与平面所成的角为,进而可求得与平面所成角的正弦值.【详解】(1)连接交于点,连接,平面,平面,平面平面,,在梯形中,,则,,,,所以,;(2)取中点,连接、,过点作,则,作于,连接.为的中点,且,,且,所以,四边形为平行四边形,由于,,,,,,,为的中点,所以,,,同理,,,,平面,,,,为面与面所成的锐二面角,,,,,则,,,平面,平面,,,,面,为与底面所成的角,,,.在中,.因此,与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用线面平行的性质求参数,同时也考查了线面角的计算,涉及利用二面角求线段长度,考查推理能力与计算能力,属于中等题.18、;,.【解析】
由题意,可得,利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为,令,求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵,则,所以,解得,,,,所以矩阵;矩阵的特征多项式为,令,解得,,即矩阵的两个特征值为,.【点睛】本题考查矩阵的知识点,属于常考题.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)利用面面垂直的性质定理证得平面,由此证得,根据圆的几何性质证得,由此证得平面.(2)判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系,通过平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为平面平面是正方形,所以平面.因为平面,所以.因为点在以为直径的半圆弧上,所以.又,所以平面.(2)解:显然,当点位于的中点时,的面积最大,三棱锥的体积也最大.不妨设,记中点为,以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则令,得.设平面的法向量为,则令,得,所以.由图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1);(2)或【解析】
(1)根据解析式求得导函数,设切点坐标为,结合导数的几何意义可得方程,构造函数,并求得,由导函数求得有最小值,进而可知由唯一零点,即可代入求得的值;(2)将解析式代入,结合零点定义化简并分离参数得,构造函数,根据题意可知直线与曲线有两个交点;求得并令求得极值点,列出表格判断的单调性与极值,即可确定与有两个交点时的取值范围.【详解】(1)依题意,,,设切点为,,故,故,则;令,,故当时,,当时,,故当时,函数有最小值,由于,故有唯一实数根0,即,则;(2)由,得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点
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