2018二次函数真题汇编以及答案

2018年二次函数解答题中考真题汇编含解析

—.解答题(共40小题)

L(2018•济南)如图1,抛物线y=ax?+bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点，交y

轴于点C,过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D,连接

AC、BC.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(m>4).

(1)求该抛物线的表达式和NACB的正切值；

(2)如图2,若NACP=45°,求m的值；

(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PM_LCD,垂足为M,

直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由.

2.(2018•巴彦淖尔)如图，抛物线y=ax?+bx+2与x轴相交于A(-1,0),B(4,

0)两点，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)WAABC绕AB中点M旋转180°,得到4BAD.

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使^BMP与4BAD相似？若存在，请

求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2018•甘孜州)如图，已知二次函数y=ax?+bx+3的图象与x轴分别交于A(1,

0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

备用图

(1)求此二次函数解析式；

(2)点D为抛物线的顶点，试判断4BCD的形状，并说明理由；

(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M,N

两点(点M在y轴的右侧)，当AAMN为直角三角形时，求t的值.

4.(2018•德阳)如图，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。，点A在x轴上,

点B在y轴上，点C(3,1),二次函数y=L<2+bx-3的图象经过点C.

32

(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a(x-h)2+k的形式；

(2)把aABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求aABC扫过区域

的面积；

(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P,使4ABP是以AB为直角边的等腰直

角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请

说明理由.

5.（2018•锦州）在平面直角坐标系中，直线y=，-2与x轴交于点B,与y轴

2

交于点C,二次函数y=L<2+bx+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴交

2

于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1,连接DC,DB,设4BCD的面积为S,求S的最大值；

（3）如图2,过点D作DM_LBC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个

角恰好等于NABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请

说明理由.

6.（2018•绥化）已知直线y=L<+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=lj<2+mx

22

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求4ABD面积的最大值;

（3）如图2,经过点M（-4,1）的直线交抛物线于点P、Q,连接CP、CQ分

别交y轴于点E、F,求OE・OF的值.

2

备注：抛物线顶点坐标公式（一旦，在上）

2a4a

7.(2018•兰州)如图，抛物线y=ax?+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，

与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分NCAO；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得AABM是以AB为直角边的直角三

角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

8.(2018・益阳)如图，已知抛物线y=L?一旦x-门(n>0)与x轴交于A,B两

22

(1)如图1,若^ABC为直角三角形，求n的值；

(2)如图1,在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，

若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐

标；

(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,

若AE：ED=1：4,求n的值.

9.(2018•巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx-2与x轴交于点

A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,-2),OB=4OA,tanZBCO=2.

(1)求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒返个单位

2

的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,

当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动.过点M作MP_Lx轴于

点E,交抛物线于点P.设点M、点N的运动时间为t（s）,当t为多少时，

△PNE是等腰三角形？

10.（2018•曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线I：y=L<-且与x轴交于点

33

A,经过点A的抛物线y=ax2-3x+c的对称轴是x=W.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线I经过原点0,得到直线m,点P是直线m上任意一点，PB±x

轴于点B,PCly轴于点C,若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上,

连接PE,PF,且PF=3PE.求证：PE1PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6,2）,点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，

当PE_LPF时，抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形？如果存在，

请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由.

11.（2018•抚顺）如图，抛物线y=-x?+bx+c和直线y=x+l交于A,B两点，点A

在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.

(2)点P从点A出发，以每秒&个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点

Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P,Q

同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间

为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.

12.(2018•镇江)如图，二次函数y=x?-3x的图象经过0(0,0),A(4,4),

B(3,0)三点，以点0为位似中心，在y轴的右侧将^OAB按相似比2：1

放大，得到△0AB,二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象经过0,A\B三点.

(1)画出△OAB,试求二次函数y=ax?+bx+c(ar0)的表达式；

(2)点P(m,n)在二次函数y=x2-3x的图象上，mWO,直线OP与二次函数

y=ax2+bx+c(a^O)的图象交于点Q(异于点。).

①求点Q的坐标(横、纵坐标均用含m的代数式表示)

②连接AP,若2Ap>OQ,求m的取值范围；

③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ'平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c(a

W0)的图象交于另一点Q',与二次函数y=x2-3x的图象交于点M,N(M在

N的左侧),直线OCT与二次函数y=x2-3x的图象交于点P'.△QPMS^QB'N,

则线段NQ的长度等于

VA

13.（2018・重庆）抛物线y=-返<2_3巨x+注与x轴交于点A,B（点A在点B

63

的左边），与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

（1）如图1,连接CD,求线段CD的长；

（2）如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点，PFJ_x轴于点F,PF与线段AC

交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是0正1，当PE+1EC

2

的值最大时，求四边形POiBiC周长的最小值，并求出对应的点。1的坐标；

（3）如图3,点H是线段AB的中点，连接CH,将aOBC沿直线CH翻折至△

O2B2c的位置，再将△O2B2c绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点。2,C的对

应点分别是点。3,C1，直线03cl分别与直线AC,x轴交于点M,N.那么，

在△O2B2c的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AAMN是以MN为

腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段02M的长；若不

存在，请说明理由.

14.（2018•十堰）已知抛物线y=L<2+bx+c经过点A（-2,0）,B（0、-4）与x

2

轴交于另一点C,连接BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且SAPBO=SAPBC，求证：AP〃BC；

(3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使4ABE与以A,B,C,

E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请求出点D的坐标；

15.(2018•梧州)如图，抛物线y=ax?+bx-2与x轴交于A(1,0)、B(6,0)

2

两点，D是y轴上一点，连接DA,延长DA交抛物线于点E.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若E点在第一象限，过点E作EF±x轴于点F,AADO与aAEF的面积比为

2”上，求出点E的坐标；

2AAEF9

(3)若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点,

是否存在点D,使DA2=DM・DN?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请

16.(2018•葫芦岛)如图，抛物线y=ax?+4x+c(aWO)经过点A(-1,0),点E

(4,5),与y轴交于点B,连接AB.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)将△ABO绕点。旋转，点B的对应点为点F.

①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和4ABF的面积；

②当点F到直线AE的距离为加时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，

请直接写出交点的坐标.

17.（2018・大连）如图，点A,B,C都在抛物线y=ax2-2amx+am2+2m-5（其

中-LvaVO）上，AB〃x轴，ZABC=135°,且AB=4.

4

（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；

（2）求aABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为2,当2m-5WxW2m-2时，y的最大值为2,求m的

值.

18.（2018•盘锦）如图，已知A（-2,0）,B（4,0）,抛物线y=ax?+bx-1过A、

B两点，并与过A点的直线y=-Lx-1交于点C.

2

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACP。的周长最小？若存在,

求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N.

问：是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与AAOC相似，若

存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

19.（2018•贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c交x轴于A、

B两点（A在B的左侧），且OA=3,OB=1,与y轴交于C（0,3）,抛物线的

顶点坐标为D（-1,4）.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE〃y轴，交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一

个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当

点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理

20.（2018•荆州）为响应荆州市"创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境,

拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过

18m,另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边

AB=xm,面积为yn?（如图）.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为160m2,求x的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的

单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？

此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.

甲乙丙

单价（元/棵）141628

合理用地（m?/棵）0.410.4

21.（2018•攀枝花）如图，对称轴为直线x=l的抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A

（xi，0）、B（X2，0）（xi<x2）两点，与y轴交于C点，且」一+1_=-Z.

Xjx23

（1）求抛物线的解析式;

（2）抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点；

①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与

抛物线交于点F,求4BDF面积的最大值;

②在线段BD上是否存在点Q,使得NBDC=NQCE?若存在，求出点Q的坐标;

-1,0),B(4,0),C(0,

3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE_LBC于E.

（2）如图1,求线段DE长度的最大值;

（3）如图2,设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得4CDE中有

一个角与NCF。相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

23.（2018•柳州）如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于A（b，0）,B两点（点

B在点A的左侧），与y轴交于点C,且OB=3OA=«OC,NOAC的平分线AD

交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线I交y轴于点E,点P是x轴下方

抛物线上的一个动点，过点P作PF，x轴，垂足为F,交直线AD于点H.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m,当FH=HP时，求m的值；

（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，LHC为半径作。H,点Q

2

为。H上的一个动点，求&Q+EQ的最小值.

24.（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax-3a（a<0）

与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交

于点E.

（1）当a=-1时，抛物线顶点D的坐标为,OE=；

（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；

（3）设NDEO邛，45-WBW60。，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P（m,n）,

直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.

V

25.（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原

点O,AD_l_y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=-L?+mx+l

2

（x20）的图象记为Gi，函数y=-L?_mx-1（xVO）的图象记为G2,其

2

中m是常数，图象J、G2合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD的周长为

（1）当点A的横坐标为-1时，求m的值；

（2）求L与m之间的函数关系式；

（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；

（4）设G在-4WxW2上最高点的纵坐标为y0,当时，直接写出L的

2

取值范围.

26.（2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=lx2+2x-2与x

22

轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,直线I经过A,C

两点，连接BC.

（1）求直线I的解析式；

（2）若直线x=m（m<0）与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线I交于点D,

连接OD.当ODLAC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0,-1）,连接AG,在第一象限内的抛物线上，是否存在点P,

使NBAP=NBCO-ZBAG?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

27.(2018•深圳)已知顶点为A抛物线y=a(x-^)2_2经过点B(-1，2)，点

C(1.2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交

于点F,在直线AB上有一点P,若NOPM=NMAF,求△POE的面积；

(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN〃y轴，过点E作EN

〃x轴，直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到

△QENi，若点Ni落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.

28.(2018•广安)如图，已知抛物线y=L?+bx+c与直线y=L<+3交于A,B两点，

22

交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴I上找一点M,使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大

值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQLPA交y轴于点

Q，问：是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与aABC相似？若存

在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

29.(2018•邵阳)如图所示，将二次函数y=x2+2x+l的图象沿x轴翻折，然后向

右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax?+bx+c的图象.函

数y=x2+2x+l的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B,和

x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧).

(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；

(2)从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是

等腰三角形的概率；

(3)若点M是线段BC上的动点，点N是4ABC三边上的动点，是否存在以AM

为斜边的RtAAMN,使^AMN的面积为^ABC面积的上？若存在，求tanZ

3

MAN的值；若不存在，请说明理由.

备用图

参考答案与试题解析

解答题(共40小题)

1.(2018•济南)如图1,抛物线y=ax?+bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点，交y

轴于点C,过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D,连接

AC、BC.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(m>4).

(1)求该抛物线的表达式和NACB的正切值；

(2)如图2,若NACP=45。，求m的值；

(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PMLCD,垂足为M,

直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由.

\

\

c

图1图2图3

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=L<2_

2

3x+4,作BG1CA,交CA的延长线于点G,证△GABS^OAC得%=更，据

AG0A

此知BG=2AG.在RtaABG中根据BG?+AG2=AB2,可求得AG1^.继而可得

CG=AC+AG=UYG,根据正切函数定义可得答案；

55

(2)作BH_LCD于点H,交CP于点K,连接AK,易得四边形OBHC是正方形，

应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK,设K(4,h),则BK=h,HK=HB-KB=4-h,

AK=0A+HK=2+(4-h)=6-h.在RtAABK中，由勾股定理求得h=A,据此求

3

得点K(4,1).待定系数法求出直线CK的解析式为y=-L+4.设点P的坐

33

标为(x,y)知x是方程L?-3x+4=-L<+4的一个解.解之求得x的值即可

23

得出答案.

(3)先求出点D坐标为(6,4),设P(m,Jun2-3m+4)知M(m,4),H(m,

2

0).及PH=Lm2-3m+4),OH=m,AH=m-2,MH=4.①当4VmV6时，由

2

△OAN^AHAP知理据此得0N=m-4.再证△ONQS^HMP得

PHAH

型=强.据此求得0Q=m-4.从而得出AQ=DM=6-m.结合AQ〃DM可得

HMHQ

答案.②当m>6时，同理可得.

【解答】解：(1)将点A(2,0)和点B(4,0)分别代入y=ax2+bx+4,得fa+2b+4=0,

ll6a+4b+4=0

，

解得：azT.

b=-3

,该抛物线的解析式为y=Xx2-3x+4.

2

过点B作BG_LCA,交CA的延长线于点G(如图1所示)，贝U/G=90。.

*/ZCOA=ZG=90°,ZCAO=ZBAG,

/.△GAB^AOAC.

•BG_0C_4_?

AG0A2

BG=2AG.

在RtAABG中，VBG2+AG2=AB2,

Z.(2AG)2+AG2=22.解得：AG=V网.

BG=l>/5，CG=AC+AG=2代

555

在RtABCG中，tanNACB一里二L.

CG3

(2)如图2,过点B作BH1.CD于点H,交CP于点K,连接AK.易得四边形OBHC

是正方形.

应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK.

设K(4,h),则BK=h,HK=HB-KB=4-h,AK=0A+HK=2+(4-h)=6-h.

在RgABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2.

.*.22+h2=(6-h)2.解得h=&.

3

.,.点K(4,1).

3

设直线CK的解析式为y=hx+4.

将点K(4,1)代入上式，得”4h+4.解得h=-1.

333

直线CK的解析式为y=-lx+4.

3

设点P的坐标为(x,y),则x是方程L<2-3X+4=-b+4的一个解.

23

将方程整理，得3X2-16X=0.

解得X2=0(不合题意，舍去).

3

将Xi=2■代入y=-_LX+4,得y=&L.

339

.•.点P的坐标为(」0,20).

39

(3)四边形ADMQ是平行四边形.理由如下:

•.•CD〃x轴，

:.yc=VD=4.

将y=4代入y=Xx2-3x+4,得4=ix2-3x+4.

22

解得Xi=O,X2=6.

.".点D(6,4).

根据题意，得P(m,A/n2-3m+4),M(m,4),H(m,0).

2

.*.PH=^m2-3m+4),OH=m,AH=m-2,MH=4.

2

①当4Vm<6时，DM=6-m,

如图3,

.,△OAN^AHAP,

-0N=0A

"PHAH'

..0N=2

-^n)2-3nrl-4m-2

2

・QN=in-61rH~8=(im4)Cm-2)=m-4.

m-2m-2

/△ONQ^AHMP,

・.0此=0Q

,而HQ,

・_0N=OQ

4m-OQ

*n)~4_OQ

4m-OQ

,.OQ=m-4.

\AQ=OA-OQ=2-(m-4)=6-m.

•.AQ=DM=6-m.

又・.・AQ〃DM,

J四边形ADMQ是平行四边形.

②当m>6时，同理可得：四边形ADMQ是平行四边形.

综上，四边形ADMQ是平行四边形.

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函

数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、

三角函数等知识点.

2.（2018•巴彦淖尔）如图，抛物线y=ax?+bx+2与x轴相交于A（-1,0）,B（4,

0）两点，与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将ZXABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P,使aBMP与4BAD相似？若存在，请

求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.①过点D作DE±x

轴于点E,根据旋转的性质可得出。A=EB、OC=ED,结合点A、B、0、C的坐

标，即可找出点D的坐标；②由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长

度，利用勾股定理可求出AC、BC的长，由AC?+BC2=25=AB2可得出NACB=90。，

再利用旋转的性质即可找出四边形ADBC为矩形；

（3）假设存在，设点P的坐标为（W,m）,由点M为AB的中点可得出NBPD=

2

ZADB=90°,分△PMBs^BDA及△BMPs^BDA两种情况考虑，利用相似三

角形的性质可得出关于m的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）将A（-1,0）、B（4,0）代入y=ax?+bx+2,得：

_1_

(a-b+2=0,解得：「=2,

ll6a+4b+2=0

抛物线的解析式为y=-L?+当+2.

22

(2)当x=0时，y=-AJ(2+^X+2=2,

22

.•.点C的坐标为(0,2).

①过点D作DELx轴于点E,如图1所示.

VWAABC绕AB中点M旋转180。，得到ABAD,

AOA=EB,OC=ED.

VA(-1,0),0(0,0),C(0,2),B(4,0),

；.BE=1,DE=2,OE=3,

.•.点D的坐标为(3,-2).

②四边形ADBC为矩形，理由如下：

VA(-1,0),B(4,0),C(0,2),

/.OA=1,OC=2,OB=4,AB=5,

AAC=V0A2+0C2=^>BC30/2+0*2依.

VAC2+BC2=25=AB2,

，ZACB=90°.

V^AABC绕AB中点M旋转180°,得到ABAD,

；.NABC=NBAD,BC=AD,

BC〃AD且BC=AD,

•••四边形ADBC为平行四边形.

又•:ZACB=90°,

二四边形ADBC为矩形.

(3)假设存在，设点P的坐标为(旦，m).

2

•.•点M为AB的中点，

/.ZBPD=ZADB=90°,

有两种情况(如图2所示).

①当△PMBSZ^BDA时，有且匕巩工，即，M=上,

MBDA2LX52

解得：m=土且

4

.•.点P的坐标为（W,5）或（W,-A）；

2424

②当△BMPs/\BDA时，有里=岖=2,即，＞=2,

MBDBL*5

解得:m=±5,

.•.点P的坐标为（W,5）或（3,-5）.

22

综上所述：在该抛物线对称轴上存在点P,使aBMP与4BAD相似，点P的坐标

-5）或（3,5）或（W,-5）.

422

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、矩形的判定、

勾股定理、勾股定理逆定理以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）由

点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①利用旋转的性质找

出点D的坐标；②利用旋转的性质结合勾股定理的逆定理证出四边形ADBC

为矩形；（3）分△PMBs/\BDA及△BMPsaBDA两种情况找出点P的坐标.

3.（2018•甘孜州）如图，已知二次函数y=ax?+bx+3的图象与x轴分别交于A（1,

0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

(1)求此二次函数解析式；

(2)点D为抛物线的顶点，试判断4BCD的形状，并说明理由；

(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M,N

两点(点M在y轴的右侧)，当aAMN为直角三角形时，求t的值.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；

(2)利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利

用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由BC2+BD2=CD2可证出aBCD

为直角三角形；

(3)根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找

出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出

点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM?、AN\MN?的值，分别

令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结

论.

【解答】解：(1)将A(1,0)、B(3,0)代入y=ax?+bx+3,得：

[a+b+3=0,解得：卜=1,

l9a+3b+3=0lb=-4

2

,此二次函数解析式为y=x-4x+3.

(2)ZSBCD为直角三角形，理由如下：

Vy=x2-4x+3=(x-2)2-1,

二顶点D的坐标为(2,-1).

当x=0时,y=x2-4x+3=3,

，点C的坐标为(0,3).

•点B的坐标为(3,0),

BC=V(3-0)2+(0-3)2=3V2，BD=V(2-3)2+(-l-0)2=

CD=7(2-0)2+(-1-3)

VBC2+BD2=2O=CD2,

，NCBD=90°,

/.△BCD为直角三角形.

(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(kWO),

将B(3,0),C(0,3)代入y=kx+c,得:

(3k+c=0,解得：产-1,

Ic=3Ic=3

二直线BC的解析式为y=-x+3,

...将直线BC向上平移t个单位得到的直线的解析式为y=-x+3+t.

联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：'

y=x2-4x+3

_3+49+4t-3~V9+4t

xl=―2―x2=—2—

解得：，

3+2t-Vg+4t3+2t+49+4t

yl=5y2=2____

...点M的坐标为(上酗W,丝土叵正)，点N的坐标为(上■£,

____222

3+2t+V9+4t)

2'

•••点A的坐标为(1,0),

2222

/.AM=(3+49+4t-02+(3+2t-V94-4t__0)=t+5t+7-(1+t)V9+47»AN=

22____

3+2t+V^_2^^23-V9H7

(3-V|M7_1)2+(0)2=t+5t+7+(1+t)>MN=(

2

-3+/9+4t)2+(3+2t+4g+4t_3+2tT9+4t)=ig+8t

~222

VAAMN为直角三角形,

•••分三种情况考虑：

①当NMAN=90°时，有AM2+AN2=MM,即t2+5t+7-(1+t)V9+4t+t2+5t+7+(1+t)

V9+4t=18+8t,

整理，得：t2+t-2=0,

解得：邕=1,t2=-2(不合题意，舍去)；

②当NAMN=90°时，WAM2+MN2=AN2,即t?+5t+7-(1+t)V9+4t+18+8t=t2+5t+7+

(1+t)V9+4t，

整理，得:t2-2t-8=0,

解得：匕=4,t2=-2(不合题意，舍去)；

③当NANM=90。时，有AN2+MN2=AN2,即t2+5t+7+(1+t)V9+4t+18+8t=t2+5t+7

-(1+t)V9+4t»

整理，得：V9+4t(l+t+49+4t)=0-

Vt>0,

该方程无解(或解均为增解).

综上所述：当aAMN为直角三角形时，t的值为1或4.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析

式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题

的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)

利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；(3)分N

MAN=90°、NAMN=90°及NANM=90°三种情况考虑.

4.(2018•德阳)如图，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。，点A在x轴上,

点B在y轴上，点C(3,1),二次函数y=L?+bx-S的图象经过点C.

32

(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a(x-h)2+k的形式；

(2)把aABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求aABC扫过区域

的面积；

(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P,使4ABP是以AB为直角边的等腰直

角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请

说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物

线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=a(x-h)2+k的

形式；

(2)作CK，x轴，垂足为K.首先证明△BAOgZXACK,从而可得到OA=CK,OB=AK,

于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D

的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据4ABC扫过区域的面积

=S四边燧ABDE+SADEH求解即可；

(3)当NABP=90。时，过点P作PG，y轴，垂足为G,先证明ABPG之△ABO,

从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当/

PAB=90°,过点P作PF±x轴，垂足为F,同理可得到点P的坐标，然后再判

断点P是否在抛物线的解析式即可.

【解答】解：(1)；点C(3,1)在二次函数的图象上，

/.-l,x2+bx-解得：b=-—,

326

二次函数的解析式为y=Xx2-Xx-2

362

y=-lx2--Lx-3-^1.(x2-ix+工--A_)-奥工(x-工)2--

36232161623448

(2)作CK_Lx轴,垂足为K.

「△ABC为等腰直角三角形,

/.AB=AC.

又YNBAC=90°,

/.ZBAO+ZCAK=90°.

XVZCAK+ZACK=90°,

/.ZBAO=ZACK.

在△BAO和/SACK中，ZBOA=ZAKC,ZBAO=ZACK,AB=AC,

/.△BAO^AACK.

/.OA=CK=1,OB=AK=2.

AA(1,0),B(0,2).

当点B平移到点D时，D(m,2),则2=U2-Ln-3,解得m=-3(舍去)

362

或m=-L.

2

AB=7OB2+AO2=^-

.'.△ABC扫过区域的面积=$叫.ABDE+SADEH=£X2+LXJ^X«=9.5

22

(3)当/ABP=90。时，过点P作PG，y轴，垂足为G.

VAAPB为等腰直角三角形，

；.PB=AB,ZPBA=90°.

/.ZPBG+ZBAO=90°.

XVZPBG+ZBPG=90°,

/.ZBAO=ZBPG.

在ABPG和△ABO中，ZBOA=ZPGB,ZBAO=ZBPG,AB=PB,

.,.△BPG^AABO.

.•.PG=OB=2,AO=BG=1,

：.P(-2,1).

当x=-2时，yWl,

.•.点P(-2,1)不在抛物线上.

当NPAB=90。，过点P作PF，x轴，垂足为F.

同理可知：4PAF/△ABO,

/.FP=OA=1,AF=OB=2,

P(-1,-1).

当x=-1时，y=-1,

...点P(-l,-1)在抛物线上.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数

法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线

构造全等三角形是解答本题的关键.

5.（2018•锦州）在平面直角坐标系中，直线y=，-2与x轴交于点B,与y轴

2

交于点C,二次函数y=L<2+bx+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴交

2

于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1,连接DC,DB,设aBCD的面积为S,求S的最大值；

（3）如图2,过点D作DMLBC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个

角恰好等于NABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请

说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y=L（x-4）

2

（x-m）,将点C的坐标代入求得m的值即可；

（2）过点D作DF」_x轴,交BC与点F,设D（x,lx2--2）,则DF=-1J（2+2X,

222

然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；

（3）根据勾股定理的逆定理得到^ABC是以NACB为直角的直角三角形，取AB

的中点E,EA=EC=EB=A,过D作Y轴的垂线，垂足为R,交AC的延线于G,

2

设D（x,Xx2-lx-2）,则DR=x,CR=-L<2+2最后，分为NDCM=2NBAC

2222

和NMDC=2NBAC两种情况列方程求解即可.

【解答】解：（1）把