动能定理基础知识点

动能定理（1）动能是物体运动的状态量，而动能的变化ΔEK是与物理过程有关的过程量。(2)动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔEK.动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。例题分析：例1：质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F的作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为()A． B． C． D．动能地定理推导过程第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式。

如图5—5所示：物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过A处时的即时速度为v0，通过B处时的即时速度为vt，由A处到B处的位移为S。通过提问引导学生根据vt2－v02=2as写出：

①

第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体的受力情况。

图5─6是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也可补画在上图的A、B之间），物体受到了重力mg、斜面支持力N、动力F、阻力f。由于重力mg既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力F1和垂直于斜面正压力F2。然后说明：物体在垂直斜面方向的力N=F2；物体平行斜面方向的力F＞f+F1(否则物体不可能加速上行)，其合力为：

②

第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。

若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。

则根据牛顿第二定律可以写出：

③

将①、②两式代入③式：

导出：

④

若以W表示外力对物体所做的总功

⑤

若以Eko表示物体通过A处时的动能，以Ekt表示物体通过B处时的动能

则：

⑥

⑦

将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：

W=Ekt－Eko

若以△Ek表示动能的变化Ekt－Eko

则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：

W=△Ek

它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。

第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。

在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：

④

为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。

我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：

（前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧

上式中sinθ如何表达呢？请看图5—7：物体在A处时的高度为h0，在B处时的高度为ht，则根据中学数学中所学过的三角函数知识可以写出下式：

⑨

将⑨式代入⑧式后进行推导：

⑩

将⑩式代入④式后进行推导：

若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：

Fs－fs=△EK+△EP它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。

若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：

⑿

若以代入⑿式，就可以写为：

Fs－fs=Et－E0

再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：

WF=△E

它的物理意义是：外力对物体对所做的总功WF（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量△E。（当WF＞0时，△E＞0，机械能增加；当WF＜0时，△E＜0，机械能减少。例题：如图5—12所示：一辆车通过一根跨过滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体。绳的P端拴在车后的挂钩、Q端拴在的物体上。设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计。开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C，设A到B的距离也是H，车过B点时的速度为vB。求：在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。解答：设：汽车开到B处时，物体上升的即时速度为v、上升的高度为h，可以写下列二式：则：根据：“功能原理”

(动能定理再做一遍)

应用动能定理简解多过程题型。物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使题型简化。例2、如图所示，物体置于倾角为37度的斜面的底端，在恒定的沿斜面向上的拉力的作用下，由静止开始沿斜面向上运动。F大小为2倍物重，斜面与物体的动摩擦因数为0.5，求物体运动5m时速度的大小。（g=10m/s2）

例3：如图所示，AB为四分之一圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的动摩擦因数为。现有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求：物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。V0S0αP图11例4、如图11所示，斜面足够长，其倾角为αV0S0αP图11利用动能定理巧求动摩擦因数ABChS1S2α图12例5、如图12所示，小滑块从斜面顶点ABChS1S2α图12利用动能定理巧求机车脱钩题型S2S1LV0V0图13例S2S1LV0V0图13练习巩固：ABCDDORE图15h1、如图15所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度VABCDDORE图15h2、如图所示，一半径为R的不光滑圆形细管，固定于竖直平面内，放置于管内最低处的小球以初速度v。沿管内运动，已知小球通过最高点处的速率为v0/2，求：（1）小球在最低点处对轨道的压力大小；（2）小球从A运动到B的过程克服阻力所做的功。动能定理揭示了物体外力的总功与其动能变化间的关系。可表示为W总=Ek2—Ek1=△Ek.在所研究的问题中，如果物体受外力作用而运动状态变化时，巧妙运用动能定理，往往能使解决问题的途径简捷明快，事半功倍。动能定理的应用可扩展到全过程当物体运动是由几个物理过程组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个物理过程看作一个整体来研究，从而避免每个运动过程的具体细节，大大简化运算。例1、如图1所示，一物体质量m=2kg,在倾角θ=37o的斜面上的A点以初速度V0=3m/s下滑。A点距弹簧上的档板位置B的距离AB=4m,当物体到达B后，将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC=0.2m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到最高位置D点，D点距A点为AD=3m。求物体跟斜面间的动摩擦因素。（g=10m/s2，弹簧及档板质量不计）解析：在该题中，物体的运动过程分成了几个阶段，若用牛顿运动定律解决，要分几个过程来处理。考虑到全过程始末状态动能都是零，用动能定理解决就方便多了。对A→B→C→D全过程，由动能定律得：W总＝mgAD·sinθ-f(AB+2BC+BD)=0-mvo2F=umgcosθ两式联立得：u＝＝0.52动能定理的应用可扩展到物体系统动能定理常用于研究单个物体，公式中W总是指外力的总功。但动能定理也可扩展应用到物体系统中，只是在物体系统中必须注意内力的功也要改变物体的动能，所以此时动能定理可拓展为：所有外力和内力做功的代数和等于物体系总动能的变化。即W外+W内=△Ek。例2、质量为m的小物体A放在质量为m0的木版B的左端，B在水平拉力的作用下，沿水平地面匀速向右滑动，且A、B相对静止。某时刻撤去水平拉力，经过一段时间。B在地面上滑行的距离为x，A在B上向右滑行的距离为L，最后A和B都停下来。设A和B间的动摩擦因素为μ1，B与地面间的动摩擦因素为μ2，且μ1<μ2，求x的表达式。（如图2）解析：若把A、B两个物体看成一系统，则此系统中内力即为它们间的一对滑动摩擦力W内=fAB×S相=u1mgL；外力为地面对B的滑动摩擦力，则外力对系统所做功W外=fB地×X=u1(m+mo)gx。设A、B共同初速度v，根据动能定理对系统有u2(m+m0)gx+u1mgL=(m+m0)v2同理对A有u1mg（x＋L）＝mv2解得：x＝用动能定理可求变力的功例3、一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬于O点，小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图3所示，则力F所做的功为多少（）。A、mgLcosθB、mgL(1-cosθ)C、FLsinθD、FLθ解析：F使球缓慢移动，各点均可看作平衡状态，绳拉力和F均为变力，绳拉力不做功，F做正功，重力做负功，根据动能定理可知WF－WG＝0①WG＝mgh＝mgL（1－cosθ）②∴WF=mgL（1－cosθ）选B。。例4.如图1所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umgS-WAB=0即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6J点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。1、动能定理应用的基本步骤应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．动能定理应用的基本步骤是：①选取研究对象，明确并分析运动过程．②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．③明确过程始末状态的动能Ek1及EK2④列方程W=EK2一Ek1，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．2、应用动能定理的优越性(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．一、整过程运用动能定理（一）水平面问题1、一物体质量为2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行。从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度方向变为水平向右，大小为4m/s，在这段时间内，水平力做功为（）A.0B.8JC.16JD.32J2、一个物体静止在不光滑的水平面上，已知m=1kg，u=0.1，现用水平外力F=2N，拉其运动5m后立即撤去水平外力F，求其还能滑m（g取）S2S1LS2S1LV0V0竖直面问题（重力、摩擦力和阻力）1、人从地面上，以一定的初速度将一个质量为m的物体竖直向上抛出，上升的最大高度为h，空中受的空气阻力大小恒力为f，则人在此过程中对球所做的功为（）A.B.C.D.2、一小球从高出地面H米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至地面后又深入沙坑h米后停止，求沙坑对球的平均阻力是其重力的多少倍。（三）斜面问题1、如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速度V0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？2、一块木块以初速度沿平行斜面方向冲上一段长L=5m，倾角为的斜面，见图所示木块与斜面间的动摩擦因数，求木块冲出斜面后落地时的速率（空气阻力不计，）。3、如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。ABABChS1S2α（五）圆周运动1、如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始运动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时，转台已开始做匀速运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（）A. B.C. D.2、一个质量为m的小球拴在绳一端，另一端受大小为F1拉力作用，在水平面上作半径为R1的匀速圆周运动，如图所示，今将力的大小变为F2，使小球在半径为R2的轨道上运动，求此过程中拉力对小球所做的功。分过程运用动能定理1、一个物体以初速度v竖直向上抛出，它落回原处时的速度为，设运动过程中阻力大小保持不变，则重力与阻力之比为（）A.B.C.D.2、质量为m的物体以速度v竖直向上抛出，物体落回地面时，速度大小为3/4v，设物体在运动中所受空气阻力大小不变，求：（1）物体运动中所受阻力大小；（2）若碰撞中无机械能损失，求物体运动的总路程。三、动能定理求变力做功问题1.、如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；（）⑵F为恒力；（）⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。（）可供选择的答案有A. B．C． D．假如在足球比赛中，某球员在对方禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角擦着横梁踢进球门．球门的高度为h，足球飞入球门的速度为v，足球的质量为m，不计空气阻力和足球的大小，则该球员将足球踢出时对足球做的功W为。ABCR3.ABCR4、如图4-12所示,质量为m的物体静放在水平光滑的平台上,系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v0向右匀速走动的人拉着,设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处,在此过程中人所做的功为: B.C. D.动能定理求连接体问题1、如图所示,mA=4kg,mB=1kg,A与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B与地面间的距离s=0.8m,A、B间绳子足够长，A、B原来静止，求：（g取10m/s2）（1）B落到地面时的速度为多大；（2）B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。2、如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1＋m2）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。机械能守恒定律及其应用一：知识要点：1：公式推导：2：机械能守恒定律表达式：（1）EK2+EP2=EK1+EP1即：mv22+mgh2=mv12+mgh1（2）ΔEK=ΔEP表示系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能。（3）ΔEA增=ΔEB减表示若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能增加量与B部分物体机械能的减少量相等。3：机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。4：机械能守恒的条件：只有重力做功.（1）物体只受重力,不受其他力.（2）除重力外还受其他的力,但其他力不做功(或其所做总功为零).例题分析：例1、（09年5题）．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的2倍，在下落至离高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h等于（）H/9 （B）2H/9 （C）3H/9 （D）4H/9例2、如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长度分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置，而B在O的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求当A球达到最低点时，A球的速度大小，B球能上升到最大高度。练习：1、在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到Vm，立即关闭发动机而滑行直到停止，v-t图线如图，汽车的牵引力大小为F1,摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做功为W1，