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文档简介
江西省九江市星子第二中学高三数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}中,a1=1,公比q=2,则数列{an2}的前4项和为S4=(
)A.85
B.225
C.15
D.7225参考答案:C略2.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为
A.
B.
C.
D.参考答案:C3.已知集合,则A.
B.
C.
D.参考答案:D略4.设是两条不同直线,是两个平面,则的一个充分条件是
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C5.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为(
)A.+2 B.+1 C.+1 D.+1参考答案:D【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出A的坐标,将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a,b,c的关系,则双曲线的渐近线的斜率可求.【解答】解:抛物线的焦点坐标为(,0);双曲线的焦点坐标为(c,0),∴p=2c,∵点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,将x=c代入双曲线方程得到A(c,),将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc,即4a4+4a2b2﹣b4=0.解得,∴,解得:.故选:D.【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率,是中档题.6.若和均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是……………(
).
..
.参考答案:D略7.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()A. B. C. D.参考答案:C【考点】由三视图求面积、体积.【分析】先由三视图还原成原来的几何体,再根据三视图中的长度关系,找到几何体中的长度关系,进而可以求几何体的体积.【解答】解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得:V=××=,故选C.8.在△ABC中,“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】在△ABC中,“A<B<C”?a<b<c,再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出.【解答】解:在△ABC中,“A<B<C”?a<b<c?sinA<sinB<sinC?sin2A<sin2B<sin2C?1﹣2sin2A>1﹣2sin2B>1﹣2sin2C?“cos2A>cos2B>cos2C”.∴在△ABC中,“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件.故选:C.【点评】本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式、不等式的性质、三角形三边大小关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.若实数x,y满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:B由,所以,所以,解得,所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限,故选B.
10.曲线在点(-1,-3)处的切线方程是
(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案:D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程有解,则________参考答案:12.右图是一程序框图,则输出结果为
。参考答案:
13.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|?|PB|的最大值是.参考答案:5考点: 点到直线的距离公式.专题: 直线与圆.分析: 先计算出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值.解答: 解:有题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx﹣y﹣m+3=0即m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3),注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|?|PB|≤=5(当且仅当时取“=”)故答案为:5点评: 本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有|PA|2+|PB|2是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题14.已知数列满足,且,且,则数列中项的最大值为参考答案:1原式等价为,即数列,是以为首项,为公比的等比数列,所以,即,所以数列为递减数列,所以数列中最大的项为。15.观察下列一组不等式:
;
(或);
(或);
……将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例.设推广不等式的左侧为,则此推广不等式可写为
.(为正整数)参考答案:略16.已知A,B∈{﹣3,﹣1,1,2}且A≠B,则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为.参考答案:【考点】几何概型.【分析】求出基本事件的所有情况,利用概率公式可得结论.【解答】解:直线Ax+By+1=0的斜率为﹣,所有情况有﹣1=11种(A=1,B=﹣1与A=﹣1,B=1斜率相等),即﹣3,3,,﹣,1,,,﹣,,2,﹣2,满足直线Ax+By+1=0的斜率小于0的情况有4种,∴所求概率为,故答案为.17.设集合,则=____
_______.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分.已知函数(其中).(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)文:求函数的反函数;参考答案:(1)因为,所以函数的定义域为实数集;…………(1分)又,所以函数是奇函数.…………(4分)(2)由且当时,当时得的值域为实数集。解得,……(8分)(3)在区间上恒成立,即,或在区间上恒成立,…………(11分)令因为,,在递增,所以,解得;所以,.…………(16分)19.(本小题共13分)在中,内角A、B、C所对的边分别为,已知,,且.(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的面积.
参考答案:解:(I)因为,,,………1分
代入得到,.
………3分因为,
………………4分
所以.
……………5分(II)因为,由(I)结论可得:.
……………7分因为,所以.
…………8分所以.
…………9分由得,
………………11分所以的面积为:.
…………13分略20.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC中点.(Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABC;(Ⅱ)求三棱锥C1﹣ABC的体积.参考答案:【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)推导出A1O⊥AC,由此能证明A1O⊥平面ABC.(Ⅱ)推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离,从而,由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积.【解答】(本小题满分12分)证明:(Ⅰ)∵AA1=A1C,且O为AC的中点,∴A1O⊥AC,…又∵平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC…且A1O?平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC…解:(Ⅱ)∵A1C1∥AC,A1C1?平面ABC,AC?平面ABC,∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离…由(Ⅰ)知A1O⊥平面ABC且,…∴三棱锥C1﹣ABC的体积:…21.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别是a、b、c.(1)若sin(A+)=,求A的值;(2)若cosA=,sinB+sinC=2sinA,试判断△ABC的形状,并说明理由.参考答案:【考点】三角形的形状判断;两角和与差的正弦函数.【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式化简已知可得cos(A+)=0,解得范围0<A<π,即可解得A的值.(2)由正弦定理可得:b+c=2a,①由cosA=,A∈(0,π),解得:A=,由正弦定理可得:sinB+sinC=,③由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣bc,②,由①②可解得:sin2A=sinBsinC=,④由③④解得:sinB=sinC=sinA=,即A=B=C=,从而得解.【解答】(本题满分为14分)解:(1)∵sin(A+)=sinA+cosA=,∴解得:cos(A+)=0,∵0<A<π,<A+<,∴解得:A+=,即A=…7分(2)∵sinB+sinC=2sinA,∴由正弦定理可得:b+c=2a,①∵cosA=,A∈(0,π),解得:A=,由①可得sinB+sinC=,③由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc,②∴由①②可解得:a2=bc,由正弦定理可得:sin2A=sinBsinC=,④∴由③④解得:sinB=sinC=sinA=,即A=B=C=,故△ABC为等边三角形…14分【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.22.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换,(1)求M﹣1;(2)求直线4x﹣9y=1在M
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