专题09 解答压轴题：二次函数（解析版）

专题09解答压轴题：二次函数1．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合．（1）求点，的坐标；（2）求，的值；（3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式．【答案】（1），（2），；（3）或【详解】（1）在中，令得：，，令得：，；（2）设，设抛物线的解析式为：，抛物线经过点，将代入得：，，，即，将代入，整理得：，，；（3）如图：轴，点在轴上，设，，点，分别平移至点，，点，点向下平移的距离相同，，解得：，由（2）知，，抛物线的函数解析式为：，将代入可得：，抛物线的函数解析式为：或．2．（2022•上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为，．ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围；ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标．【答案】（1）；（2）ⅰ；ⅱ，【详解】（1）将，代入，得：，解得：，抛物线的解析式为．（2）．，抛物线的顶点坐标为，即点是原抛物线的顶点，平移后的抛物线顶点为，抛物线平移了个单位，，，，即平移后的抛物线的对称轴为直线，在的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为轴，开口向上，；．把代入，，，由题意得，新抛物线的解析式为，，，，，，，如图，过点作轴于，则，，，，，，或（舍，，点的坐标为，．3．（2021•上海）已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形．①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；②若在抛物线上，求的坐标．【答案】（1）；（2）（3）①；②【详解】（1）、代入得：，解得，抛物线的解析式为：；（2）①过作于，交轴于，如图：当与重合时，，，是等腰直角三角形，和也是等腰直角三角形，，，而抛物线的对称轴是轴，到抛物线对称轴的距离是；②过作于，如图：设直线解析式为，将、代入得：，解得，直线为，设，则，，当，时，，将代入得：，解得或（与重合，舍去），，，，当，时，，，由可知，此时、、重合，舍去，4．（2020•上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点．（1）求线段的长；（2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）针对于直线，令，，，令，则，，，；（2）设点，，，，，，点在线段上，，，将点，代入抛物线中，得，，抛物线；（3）点在抛物线中，得，，抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，将代入中，得，顶点位于内，，；5．（2019•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线的“不动点”的坐标；②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．【答案】（1）开口向上，顶点的坐标为，当，随的增大而增大，当，随增大而减小；（2）①“不动点”坐标为或；②【详解】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为，当，随的增大而增大，当，随增大而减小；（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，解得：或3，故“不动点”坐标为或；②当时，新抛物线顶点为“不动点”，则设点，新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，直线在轴左侧，与不平行，，又点，点，，故新抛物线是由抛物线向左平移2个单位得到的；当时，同理可得：抛物线的表达式为：，当四边形是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：．6．（2023•徐汇区二模）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点、．（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；（3）点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）抛物线经过点，点，，解得：，，抛物线的顶点的坐标为；（2）设，且，如图，连接，设抛物线的对称轴交轴于，则，点、关于直线对称，，，，，由翻折得：，，点在抛物线的对称轴上，，，是等边三角形，，，，，，；（3）取（2）中的点，连接，，设直线交轴于点，，为等边三角形，，，，点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，为等边三角形，，，，即，，，在中，，，，，，，设直线的函数表达式为，把、代入，得：，解得：，直线的表达式为．7．（2023•杨浦区二模）已知抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点、分别平移到点、处，且都在直线上，设点在抛物线上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，设点为线段上的一点，，交直线于点，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）2【详解】（1）抛物线经过点和，，解得，抛物线的解析式为；（2）如图1，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，是以为底的等腰直角三角形，，由平移得，，设，则，，解得（舍或，；（3）如图2，抛物线的解析式为，令，则，解得或，，点和，，，，，，，四边形是矩形，作，交于，，，，，，，，，，，，，，．8．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴相交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴，垂足为点，直线与直线相交于点．①当时，求点的坐标；②联结，过点作直线的平行线，交轴于点，当时，求点的坐标．【答案】（1）；（2）①；②【详解】（1）抛物线经过点、，，，抛物线的表达式：；（2）①过作于，，，，，，，令，则，，，的坐标是，在抛物线上，，或（舍，的坐标是；②，，，，，，，，，在抛物线上，设，，，，，或（舍，当时，，的坐标是9．（2023•浦东新区二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．（1）求抛物线的表达式；（2）如果抛物线的对称轴与直线交于点，求的值；（3）平移这条抛物线，平移后的抛物线交轴于点，顶点在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式．【答案】（1）；（2）3；（3）【详解】（1）对于，当时，，即点，令，则，即点，将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）设交抛物线对称轴于点，当时，，则点，由抛物线的表达式知，点，点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，当时，，即点，则，由、的坐标得，，，则直线和轴正半轴的夹角为，则，过点作于点，则，则，则；（3）设点，点，是平行四边形的边，当点向右平移3个单位向上平移个单位得到，同样点（E）向右平移3个单位向上平移个单位得到，即且，解得：或，即点、的坐标分别为：、或、；当点、的坐标为、时，则抛物线的表达式为：，当时，，即当点是抛物线顶点时，该抛物线与轴的交点为，符合题设条件；当点、的坐标为、时，则抛物线的表达式为：，当时，，即当点是抛物线顶点时，该抛物线与轴的交点不为，不符合题设条件，综上，平移后抛物线的表达式为：．10．（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点．如果，求点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结，试问点关于直线对称的点是否恰好落在直线上？请说明理由．【答案】（1）；（2），；（3）见解析【详解】（1）把，代入得：，解得，；（2）如图：由，可得直线解析式为，，设，则，，，，，，，即，，，，解得或（与重合，舍去），，；（3）点关于直线对称的点恰好落在直线上，理由如下：作关于直线的对称点，过作轴于，设交于，如图：由得抛物线对称轴为直线，，，，，，，，关于直线对称，，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，由，，得直线解析式为，在中，令得，在直线直线上，即关于直线对称的点恰好落在直线上．11．（2023•黄浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与轴的另一个交点为，点是的外接圆的圆心，求点坐标；（3）点坐标是，点、在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长．【答案】（1）；（2），；（3）【详解】（1）在中，时，，时，，，，把，代入得：，解得，抛物线的表达式为；（2）在中令得，，，点是的外接圆的圆心，点在的垂直平分线上，，，，的垂直平分线过点，直线的解析式为，设，点是的外接圆的圆心，，，，点坐标为，；（3）如图，设，，点坐标是，，四边形是平行四边形，，解得或，点、的坐标为，，．12．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点．（1）如果点的坐标为，点在抛物线上，联结．①求顶点和点的坐标；②过抛物线上点作轴，垂足为，交线段于点，如果，求点的坐标；（2）联结，如果与轴负半轴的夹角等于与的和，求的值．【答案】（1）①，；②；（2）【详解】（1）①将点的坐标为代入得，，，，顶点的坐标为，将代入得，，点的坐标为；②，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，如图1，设点，则，，，，，，解得，点的坐标为；（2）如图2，过点作轴于点，作轴于点，，顶点的坐标为，，，，，，，，，轴，轴，，，，，或，，的值为．13．（2023•嘉定区二模）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过、、三点．（1）求点、的坐标；（2）联结、、，当时，①求抛物线表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）、；（2）①；②存在，或【详解】（1）抛物线的对称轴为：，对于，令，则，即点，根据抛物线的对称性，则点，即点、的坐标分别为：、；（2）①由点的坐标得，，则，，则，即点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：①；②存在，理由：过点作直线交轴于点，在点的上方取点，使，则，过点作直线，则直线的表达式为：，当时，，即点，则，则，即点，则直线的表达式为：②，当时，，即点；故点坐标为：或．14．（2023•普陀区一模）在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为．（1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标；（3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离．【答案】（1），；（2）；（3）或【详解】（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为，则点；（2）设抛物线的对称轴交轴于点，过点作于点，设点，则，在中，，则，解得：，即点的坐标为：；（3）直线恰好经过的重心，则为边上的中线，由点、的坐标得的中点坐标为，则直线的表达式为：，联立和并解得：或，即点的坐标为，或，，故点到轴的距离为：或．15．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于轴上方的部分沿轴翻折，得到的新图象记为“图象”，“图象”与轴交于点．（1）写出“图象”对应的函数解析式及定义域；（2）求的正切值；（3）点在轴正半轴上，过点作轴的平行线，交直线于点，交“图象”于点，如果与相似，求点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3），或，或，或，【详解】（1）由题意得：，则翻折后的函数表达式为：，即；（2）过点作于点，则，即，解得：，则，则；（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点，在点，点或，则，或，如图，故当与相似时，或，①当时，即，在中，过点作于点，设：，则，则且或，解得：或（不合题意的值已舍去）；②当时，则，同理可得：且或，解得：或（不合题意的值已舍去）；综上，点的坐标为：，或，或，或，．16．（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，联结，点在线段上，设点的横坐标为．（1）求直线的表达式；（2）如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为；①求新抛物线的表达式（用含的式子表示），并写出的取值范围；②过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．【答案】（1）；（2）①，；②【详解】（1）设抛物线的表达式为：，则，则，故抛物线的表达式为：，则点，设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，即直线的表达式为：；（2）①设点，，则设新抛物线的表达式为：，将点的坐标为代入上式得：，解得：，则新抛物线的表达式为：，；②当点在轴左侧时，此时，点不可能在上，故点只能在轴右侧，由新抛物线的表达式知，其对称轴为，则点，当垂直平分时，则，此方程无解，即此种情况不存在；当垂直平分时，则，即，解得：（舍去）或2，故新抛物线的表达式为：．17．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面中，直线分别与轴、轴交于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移个单位，使点落在内，求的取值范围；（3）对称轴与直线交于点，是线段上的一个动点不与重合），过作轴的平行线交原抛物线于点，当时，求点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为或【详解】（1）直线，当时，；当时，则，解得，，，抛物线经过、两点，，解得，抛物线的解析式为；，抛物线的顶点的坐标是．（2）抛物线的顶点的坐标是，抛物线的对称轴为直线，在抛物线对称轴左侧的图象上，，将代入，得，解得，（不符合题意，舍去），，，如图1，过点作轴于点，交于点，则，，直线，当时，，，，点与点关于直线对称，，抛物线向上平移个单位，点落在内，，解得，的取值范围是得．（3）作于点，于点，直线，当时，，，，设，则，，当点在直线的左侧，如图2，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，解得，（不符合题意，舍去），；当点在直线的右侧，如图3，，，，，，，，，，，，，，解得，（不符合题意，舍去），，综上所述，点的坐标为或．18．（2023•长宁区一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，的坐标为或【详解】（1），，，把，，代入得：，解得：，；（2）由，可得直线解析式为，设，则，，，要使四边形恰好是平行四边形，只需，，解得，；（3）在直线上存在点，使得与相似，理由如下：是的中点，点，点，由（2）知，直线的表达式为，，在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，如图：，故，，，直线和直线关于直线对称，，，，由点，可得直线的表达式为，联立，解得或，点的坐标为，，，，，，，，，，即，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，则，当时，有，，解得或（在右侧，舍去），；当时，，，解得（舍去）或，，综上所述，的坐标为或．19．（2023•杨浦区三模）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点．（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，如果，求点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点在轴上，且点到直线、的距离相等，求线段的长．【答案】（1），；（2），；（3）【详解】（1）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，，解得，抛物线的表达式为，由，顶点的坐标为；（2）如图，设，则，，，解得，（舍去），点的坐标为，；（3）如图1，设直线与轴交于，点的坐标为，，，，顶点的坐标为，设直线的表达式为，，解得，直线的表达式为，，，，，，点到直线、的距离相等，点在的角平分线上，轴，．20．（2023•金山区一模）已知抛物线经过点，，顶点为点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式以及顶点的坐标；（2）将抛物线向上平移个单位后，点的对应点为点，若此时，求的值；（3）设点在抛物线上，且点在直线上方，当时，求点的坐标．【答案】（1），；（2）6；（3）点的坐标为，【详解】（1）抛物线经过点，，，解得，抛物线的解析式为．，顶点的坐标为；（2）如图1，，令，则，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，，设的解析式为，，，解得，的解析式为，将抛物线向上平移个单位后，点的对应点为点，，点为，代入的解析式为得，，的值为6；（3）如图2，过点作于，过点作于，点，，，，，，，，，，在中，，，，在中，设，，，，点在抛物线上，，解得（舍去）或，点的坐标为，．21．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点和点．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为．①如果，且新抛物线的顶点在的内部，求的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且，求点的坐标．【答案】（1）（2）①；②，【详解】（1）抛物线经过点和点，，解得，抛物线的表达式为；（2）①，点在的垂直平分线上，点，点的横坐标，设直线为，点和点，，解得，直线为，当时，，的垂直平分线与的交点坐标为，新抛物线的顶点在的内部，的取值范围为，；②如图，设与交于，，，，，，点和点，，，，，，，解得或，，或，（舍去），直线为，，，新抛物线为，新抛物线经过原点，，解得或，点的坐标为，．22．（2023•虹口区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，异于顶点的点在该抛物线上．（1）如图，点的坐标为．①求点的坐标和的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与轴的一个交点为，顶点移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线与轴相交于点，如果且点在线段上，求的值．【答案】（1）①，-7，②；（2）【详解】（1）①点在抛物线上，，解得，抛物线的表达式为，，点是该抛物线的顶点，；点在抛物线上，．②如图1，四边形为平行四边形，，，将抛物线向上平移，轴，轴，，，抛物线向上平移7个单位，，平移后新抛物线的表达式为．（2）如图2，抛物线，当时，；当时，，，；，，设直线的表达式为，则，，，当时，，；设直线的表达式为，则，；直线的表达式为，则，，，，，解得，，当时，则，在线段上；当时，则，不在线段上，不符合题意，舍去，的值为．23．（2023•松江区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）若抛物线经过点，求抛物线解析式；（2）将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线交于点，点位于轴上方，如果，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）（负值已舍去）【详解】（1）对于，当时，，即点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：（不合题意的值已舍去），故抛物线的表达式为：；（2）如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，则，，，，，，，，，，则点的坐标为：，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则点的坐标为：；（3）设点，则直线的表达式为：，过点作交于点，过点作轴的平行线交抛物线对称轴于点，交轴于点，设点，，即为等腰直角三角形，则，，由（2）知，，则且，整理得：，解得：（负值已舍去）．24．（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点与点都是抛物线上的点．①求的值；②如果，求点的坐标．【答案】（1）；；（2）①；②，【详解】（1）将、代入得，，解得，该抛物线的表达式为．当时，，点的坐标为；（2）①连接，过点作，垂足为点．在上，，，，，，，，，．，；②由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点．，，．，设，则，．，将代入，得，解得或0（舍去），点的坐标为，．25．（2023•长宁区二模）已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点的坐标；（3）如图2，点坐标为，在抛物线上存在点，满足，请直接写出直线的表达式．【答案】（1）；（2），；（3）或【详解】（1）由题意可知，，，，解得，；（2）由（1）知抛物线的表达式为，故令得：，解得：，，点的坐标为．即，记直线交于点，由直线恰好平分的面积，那么点为的中点，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，在中，，故由三角形中位线定理可得：，，故在中，，设，故，，在中，，，，解得：，（舍，，；（3）①当点在轴上方时，在轴上取点，连接，则，过点作直线交抛物线于点，交轴于点，使，则，过点作，，，设，则，在中，，，解得：，故，，点，将点、的坐标代入一次函数表达式，，解得：，直线的表达式为：；②当点在轴下方时，作点关于轴的对称点，求得直线的解析式为，综上所述，直线的表达式为或．26．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）求二次函数的解析式和顶点的坐标；（2）联结，试判断与是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，联结，如果四边形的面积为3，求新抛物线的表达式．【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）把、代入得：，解得，二次函数的解析式为；，顶点的坐标为；（2），理由如下：在中，令得，，、，，，，，，，，，，，，，；（3）如图：由新抛物线的顶点落在线段，设新抛物线表达式为，则顶点，原抛物线对称轴为直线，，，，四边形的面积为3，，解得，新抛物线解析式为．27．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结．①如果，求四边形的面积；②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．【答案】（1）；（2）①15；②或，【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，经过点，，解得：，抛物线的表达式为；（2）①，．设抛物线的对称轴交轴于点，．令，则，，．令，则，解得：或，．如果，需将抛物线向左平移，设交轴于点，平移后的抛物线对称轴交轴于点，如图，点的坐标为，．由题意：，，．，，由题意：，，．轴，，四边形为平行四边形，，．，四边形的面积；②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，，如图，当点在轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交轴于，由题意：．，，，，．，，．，，，；当点在轴的上方时，此时为点，，，，，．综上，当时，点的坐标为或，．28．（2023•金山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标；（3）点在直线上，若，求点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或【详解】（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为；（2）由题意得，新抛物线的表达式为：，则顶点坐标为：，将该点坐标代入得：，解得：（舍去）或，即的坐标为：；（3）由、的坐标得，直线的表达式为：，当点在上方时，过点作于点，设交抛物线对称轴于点，当时，，即点，由点、的坐标得，，由直线的表达式知，其与轴坐标轴的夹角为，即，在中，，，，设，则，则，则，则，则点的坐标为：；当点在下方时，同理可得：，则点的坐标为：；综上，点的坐标为：或．29．（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标；（2）联结、、，求的面积；（3）过作轴的垂线与交于点，是直线上点，当与相似时，求点的坐标．【答案】（1），，；（2）3；（3）的坐标为或【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，①，抛物线经过点，②，由①②可得，，，在中，令得：，抛物线顶点的坐标为，；（2）过作轴交于，如图：在中，令得，，，直线解析式为，在中，令得，，在中，令得，，，；（3）过作于，如图：由（2）知，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，要使与相似，只需或，设，则，当时，，解得，，当时，，解得，，综上所述，的坐标为或．30．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点．抛物线的顶点为点．（1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标；（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于．①求点的坐标；②二次函数的图象始终有一．部分落在的内部，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）①；②【详解】（1）把，代入得：，解得：，抛物线的表达式为；，抛物线顶点坐标为；（2）①如图：，，在中，令得，，，，，，，，，，，，，，点的坐标为；②，二次函数图象的顶点为，二次函数图象的顶点在直线上左右移动，如图：当对称轴右侧的抛物线过时，，解得：（舍去）或；当对称轴左侧的抛物线过时，，解得：或（舍去），由图象可得，当时，二次函数的图象始终有一部分落在的内部．31．（2023•青浦区二模）如图，已知抛物线经过点和，与轴的另一个交点为点．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）将该抛物线向右平移个单位，点移到点，点移到点，若，求的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为，新抛物线在对称轴右侧的部分与轴交于点，求点到直线的距离．【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）将、代入得：，解得：，抛物线的解析式为；令得，解得：或，点的坐标为；（2）如图：由平移得，平移距离，，，，，，在中，；在中，，，解得，，；（3）过点作，垂足为点，过点作轴，垂足为点，设直线与轴交于点，如图：，将抛物线向右平移得到新抛物线，，，，，，在中，令得或，，，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，点到直线的距离是．32．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且＝时，求点E的坐标．【答案】（1），x＝﹣1；（2）D（﹣2，3）；（3）（﹣1，）【详解】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，则抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1；（2）∵D为x轴上方抛物线上一