专题08 二次函数（讲义）（解析版）

专题08二次函数核心知识点精讲1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】考点一：二次函数的定义一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．要点诠释：二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．考点二：二次函数的图像及性质1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．将向上移动k个单位得：．将向左移动h个单位得：．将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三：二次函数的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2.交点式（双根式）：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．要点诠释：当x＝1时，函数y＝a+b+c；当x＝-1时，函数y＝a-b+c；当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，．2.当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，．要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．【题型1：二次函数的概念】【典例1】已知函数是二次函数，则等于（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令且，即可求出m的取值范围．【详解】解：∵是二次函数，∴且，且，．故选：B．1．若函数是二次函数，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】B【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．根据二次函数的定义列出关于的方程，求出的值即可．【详解】∵函数是二次函数，∴，解得，故选：B．2．下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数；B、当时，不是二次函数；C、整理后不含项，是一次函数，不是二次函数；D、是二次函数；故选：D．3．关于x的函数是二次函数，则m的值为（

）A．1 B． C．1或 D．0【答案】B【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵函数是二次函数，∴且，解得：．故选B．【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数．【题型2：二次函数的图象及性质的应用】【典例2】已知，则二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练运用a的正负性及对称轴的正负性对图像进行判定是解本题关键．通过，可排除选项A和选项B；再讨论和时，对称轴与y轴的位置关系，进而确定正确的选项．【详解】解：二次函数的对称轴，，，，选项A和选项B中图像的对称轴都是y轴，即，故不符合题意；当时，，抛物线开口向上，且对称轴在y轴右侧，选项C中抛物线开口向上，且对称轴在y轴右侧，故符合题意；当时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴左侧，选项D中抛物线开口向下，但对称轴在y轴右侧，故不符合题意；故答案选：C．1．二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据题意得出该抛物线与y轴相交于，即与y轴交于正半轴，再求出该二次函数的对称轴，得出对称轴在y轴右侧，即可得出结论．【详解】解：当时，，∴该抛物线与y轴相交于，即与y轴交于正半轴，∵，∴该二次函数对称轴为直线，即对称轴在y轴右侧，综上：A、C、D不符合题意；B符合题意；故选：B．2．当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（

）A．0或1 B．或0 C．2或 D．或3【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．由二次函数解析式可知其开口方向、对称轴，分在对称轴左侧和右侧两种情况分别求其最值，可得到关于m的方程，可求得答案．【详解】解：∵，∴二次函数开口向下，对称轴为，当时，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最大值，∴，解得（舍去）或，当时，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当时，y有最大值，∴，解得（舍去）或，综上可知m的值为2或，故选：C．3．二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，求出二次函数的对称轴是解题的关键．找出二次函数的对称轴，根据在的范围内有最小值得出答案．【详解】解：函数对称轴，开口向下，由于在的范围内有最小值，故当时有最小值，故，解得．故选A．4．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标．【详解】解：∵，当时，，∴，∴，过点作于点，∵等腰直角三角形，∴，∴点坐标为，∵点在抛物线上，∴，∴，∴；故选C．【题型3：求二次函数的解析式】【典例3】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：，故选：B．1．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的平移．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．故选：D．2．已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据已知条件得出对称轴为直线，求得，即可求解．【详解】解：∵抛物线经过，两点，∴抛物线的对称轴为直线，又∴,∴解析式为，故选：B．3．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为，∴，，设抛物线的表达式为，把代入得：，把代入得：，解得：，∴抛物线表达式为，故选：D．4．如图1是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，如图所示，则抛物线的二次函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．【详解】解：由题意得：二次函数经过点，设二次函数的解析式为，把代入得，解得：，∴二次函数的解析式为，故选：．【题型4：二次函数图象的位置与a、b、c的关系】【典例4】二次函数的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的性质，由图可知，二次函数开口向下，，与轴两个交点，对称轴，进而逐项分析判断，即可求解．【详解】解：由图可知，二次函数开口向下，，对称轴，∴，则，则①错误；与轴两个交点，，即，②正确；函数对称轴，当或时，，即，③错误；当时，，，④正确；故选B．1．如图，函数的图象过点和，下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④．正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到，由对称轴在y轴右侧，得到，即可判断①；根据二次函数与x轴有两个不同的交点，即可判断②；根据时，，即可判断③；根据函数的图象过点和，得到，进而推出，则，即可判断④．【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴，∴，∴，故①正确；∵二次函数与x轴有两个不同的交点，∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故②正确；∵时，，∴，即，故③正确；∵函数的图象过点和，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，故④正确；故选：D．2．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论：①②；③当时，或；

④；⑤（m为实数），其中正确的结论有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴，∵对称轴为，∴，∵抛物线与轴交于正半轴，∴，∴，故①正确；∵对称轴为，∴与的函数值相等，即：，故②正确；∵点关于的对称点为，∴当时，或；故③正确；∵图象过点，，∴，∴；故④错误；∵抛物线的开口向下，∴当时，函数值最大，即：，∴；故⑤正确；综上，正确的有4个；故选：C．3．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；其中正确的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】B【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线对称轴，经过点得到，再由开口向下，得到，则，据此可判断①；根据时，，即可判断②；根据时，，得到，进而得到，即可判断③；根据函数图象可知二次函数与x轴有两个不同的交点即可判断④．【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点，∴，，∵开口向下，∴，，∴，故①正确，∵抛物线对称轴，∴和关于对称轴对称，时，，∴，故②正确，∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴，抛物线与x轴的另外一个交点为，时，，，，，即，故③错误，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根，，故④正确；故选：B．【题型5：二次函数综合题】【典例5】如图，在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，则抛物线的表达式为；抛物线的对称轴与分别相交于点M，N，则的面积为．【答案】6【分析】本题考查了图象的平移，二次函数的性质，二次函数与三角形面积，根据图象的平移“上加下减，左加右减”得抛物线的表达式，抛物线的对称轴，点N的坐标为，在抛物线中，令，则，可得，即可得；掌握图象的平移，二次函数的性质，三角形面积公式是解题的关键．【详解】解：根据题意得，抛物线的表达式为：，∴抛物线的对称轴，点N的坐标为，在抛物线中，令，则，∴，∴的高为2，底为，∴的面积为：，故答案为：，6．1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，将抛物线向右平移个单位，点平移到点，点平移到点，连接，，若，则．【答案】【分析】由平移得，平移距离，证明，根据，可得，进而即可求解．【详解】如图：令，解得：，则，令，解得：，则由平移得，平移距离，，，，，，在中，；在中，∴解得：∴即故答案为：．2．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点M的纵坐标为，现将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，则阴影部分的面积是．【答案】6【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，理解并掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据平移的性质及抛物线的性质得出阴影部分的面积即可．【详解】解：∵抛物线的顶点的纵坐标为，∴阴影部分的高为2，又∵抛物线向右平移了3个单位，∴阴影部分的面积．故答案为：6．3．如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移个单位．【答案】【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，求解平移后的抛物线解析式是解题的关键．如图，过作轴于，由抛物线的顶点为，求出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明，从而得到的坐标，再写出向下平移个单位后的抛物线的解析式，代入的坐标即可得到答案．【详解】解：如图，过作轴于，抛物线的顶点为，对称轴为：，，，解得：，抛物线为：，点，，，，，，，，，，设抛物线向下平移个单位后过点，过点，，解得：，故答案为：．3．如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移个单位．1．将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．【详解】解：抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线为，故选C．2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．【详解】解；将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为，即，故选：C．3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到的抛物线解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得．故选：A．4．若是y关于x的二次函数，则．【答案】2【分析】该题主要考查了二次函数的定义；牢固掌握定义是解题的关键．根据（a是不为0的常数）是二次函数，可得答案．【详解】解：∵是y关于x的二次函数，∴且，解得：．故答案为：2．5．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是．【答案】【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：．6．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为．【答案】【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解．【详解】由题意得：，故答案为：．7．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．【详解】解：根据题意，得展开得：整理得：根据题意，得解得：．∴y与x之间的函数关系式为，故答案为：8．用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y，一边长为，用含有x的代数式表示y为，自变量x的取值范围是．【答案】【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为又因为一边长为，所以另一边长为又∵长方形面积长宽，，所以．②∵，∴∴自变量x的取值范围是．故答案为：①；②．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．一、单选题1．如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系【答案】A【分析】分别列出与的关系式，与的关系式判断即可；【详解】解：由题意可得：，∴与成一次函数关系；与成二次函数关系；故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关键．2．二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据时，即可判断②；根据函数对称，与时，的值相等，即，即可判断③；由，即可判断④；根据时，函数的值最大，即可判断⑤．【详解】解：∵开口向下，，∵抛物线和y轴的正半轴相交，，∵对称轴为，，，故①正确；当时，，则，，故②正确；函数的对称轴为，所以与时，的值相等，即，，故③正确；∵，，故④错误；∵当时，二次函数有最大值，当m为任意实数时，有，，故⑤错误；正确的有3个，故选：B．3．关于二次函数的图象的对称轴为轴，则函数的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．－1【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数的图象的对称轴为轴求出值，进而求出函数最小值即可．【详解】解：的对称轴是y轴，，，二次函数解析式为，当时，．故选：D．4．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（）．A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、三角函数、轴对称-最短路径等知识点，根据轴对称可以确定得使得的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线的距离和的长度，即可求得的面积即可解答．明确题意、灵活利用数形结合的思想是解题的关键．【详解】解：联立解析式得：，解得：或，∴点A的坐标为，点B的坐标为，∴，如图：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交于P，则此时的周长最小，点的坐标为，点B的坐标为，设直线的函数解析式为,，解得：，∴直线的函数解析式为，当时，，即点P的坐标为，将代入直线中，得，∵直线与y轴的夹角是，∴点P到直线的距离是：，∴的面积是：．故选C．5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了抛物线中三角形的面积，二次函数最值，过点作轴于点，设点，则面积，利用最值即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】如图，过点作轴于点，设点，∴的面积，，，，，∵长度不变，∴当时，的面积最大，此时，故选：．6．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是，即．故选：D7．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得．本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键．【详解】∵抛物线关于y轴对称，∴设解析式为，由题知，，得，解得，∴．故选：A．二、填空题8．如图，在直线上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是．【答案】3【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将三角形面积用代数式形式表达出来是解本题的关键．设，则，将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可．【详解】解：设，则，线段，，，二次函数开口向下，有最大值，当时，有最大值，最大值是3．故答案为：3．9．如图，矩形的顶点在抛物线上，将矩形绕点O顺时针旋转，得到四边形，边与抛物线交于点P，则点P的坐标为．【答案】/【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，先根据矩形的性质得到，再利用待定系数法求出抛物线解析式为，由旋转的性质得到，，进而推出点P的纵坐标为1，再求出当时x的值即可得到答案．【详解】解：∵矩形的顶点的坐标为，∴，∵抛物线经过，∴，∴抛物线解析式为，由旋转的性质可得，，∴点F在y轴上，∴轴，∴点P的纵坐标为1，在中，当时，或（舍去），∴，故答案为：．10．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为．【答案】或【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，过点M作于E，

∵抛物线过点，∴，∴，∴点，抛物线解析式为，当时，则，∴，∴点，∵点，点，点，∴，∵，∴，设点，∴，当时，，∴，∴，∴，∴点，当时，∴，∴，∴，∴点，综上所述：点M坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．11．如图所示，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数与正方形的综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．先将点代入求出抛物线解析式，由正方形的性质可知点的纵坐标是3，即可求出点的横坐标，结合正方形的性质可得答案．【详解】解：将点代入抛物线，可得，解得，∴抛物线的解析式为，∵四边形是正方形，∴，∴点的纵坐标是3，当时，可有，解得或（不合题意，舍去），∴点的横坐标是，∵四边形是正方形，∴，∴点的坐标是．故答案为：．12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是．【答案】【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案．【详解】解：把代入得，解得或，则点，，抛物线：，，由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线，则抛物线解析式为，，令，即，解得或，则点，如图，当与抛物线：相切时，令，即，根据相切可知方程有两个相等的解，即，解得，当过点时，即：，解得：，结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，．故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．三、解答题13．已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段上是否存在这样的点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点，，【分析】（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到的长度，根据勾股定理列式求出的长度，然后根据锐角三角函数求出的正弦值与余弦值，再分三种情况求解：①时，②时，③时．【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为，∴设抛物线解析式为，∵抛物线过点，∴，解得，所以，抛物线解析式为，即；（2）存在点，，．理由如下：∵抛物线顶点坐标为，∴点D的坐标为，令，则，令，则，整理得，，解得，，∴点，，∴，，，在中，根据勾股定理，，∴，，①时，过作轴于点，根据等腰三角形三线合一的性质，，，，所以，，所以，点的坐标为；②时，过作轴于点，，，所以，，所以，点的坐标为；③时，过作轴于点，则，所以，，∵轴，，∴，∴，即，解得，所以，点的坐标为，综上所述，在线段上存在点，，，使得为等腰三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，数形结合是解答本题的关键．14．已知抛物线的图像经过点，点，且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1，若点Q为线段上一点，连接，交x轴于点M，连接，当时，求点M的坐标；②如图2，连接，若满足，求此时点P的坐标．【答案】(1)(2)①；②【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．（1）当时，可得，然后解方程即可；（2）①由可得、；再证，再运用相似三角形的性质列比例式求得，进而求得的值，然后根据题意确定M的坐标即可；②如图：过点P作轴，设，先证可得；设，则，运用勾股定理可求得，即；再代入求得m的值，进而确定点P的坐标．【详解】（1）解：由，当时，即，解得：，∴．（2）解：①∵，∴,则,∴，∵∴，∵，∴，∴，即：，∴，∵M在x轴负半轴，∴；②如图：过点P作轴，设，在线段上取点D，使得，则，∵，且，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，a2+12＝（3﹣a）2，解得，即，∴，解得或（舍去），当时，，∴．一、单选题1．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．2．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】抛物线经过点，且，，可以得到，，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③；利用，再根据，所以，从而可得，即可判断④．【详解】解：∵抛物线的图象开口向上，∴，∵抛物线经过点，且，∴，∴，故①正确；∵，，∴∴，故②正确；由图象可知，当时，，即，∴∵，，∴，故③正确；∵，又∵，∴，∵抛物线的图象开口向上，∴，故④错误．∴正确的有①②③共3个，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．3．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．（为实数）【答案】C【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故A中结论错误，不符合题意；∵当时，，抛物线对称轴为直线，∴当时，，∴，故B中结论错误，不符合题意；∵当时，，抛物线对称轴为直线，∴当时，，∴，又∵，∴，故C中结论正确，符合题意；∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为，∴，∴，故D中结论错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．4．（2023·广东广州·统考中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解法二：利用二次函数图象的对称性可知：和对应的函数值相等，从而得解．【详解】解