专题05 圆的证明与计算（解析版）

2/2专题05圆的证明与计算目录热点题型归纳 1题型01隐圆模型 1题型02圆与相似 11题型03圆与全等 20题型04圆的计算 27中考练场 38题型01隐圆模型【解题策略】定点定长的隐圆定弦定角的隐圆对角互补的隐圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆。若四边形ABCD对角互补则A、B、C、D四点共圆。【典例分析】例1．（2023·浙江·中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，，，，，，，点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，

由圆周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键．例2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，∴，∴，∴，∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；在中，，∴，∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．【变式演练】1．（23-24九年级上·湖北武汉·模拟训练）如图，已知等边的边长为10，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．当时，在直线l变化过程中，则面积的最大值为．【答案】/【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征、圆与三角形综合问题，过点作，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，利用等边三角形的性质得，进而可得，可得，进而可得，再利用三角形的面积公式即可求解，找准当的延长线交圆于点时面积最大是解题的关键．【详解】解：过点作，如图：由题意得，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，当的延长线交圆于点时面积最大，在中，，，，是等边三角形，，，，，，的最大值为：，故答案为：．2．（2022·湖北武汉·三模）在中，，，点为上一动点，，则的最小值是．

【答案】【分析】作的外接圆，连接，，，作，根据圆周角定理求出，过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一求出，再根据相似三角形的性质求得，设，则，，根据勾股定理求出，根据三角形边长关系即可得出结果．【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，作，

，，过点作，垂足为，

，，，，，，，，设，则，，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形最值得求解，三角形函数求值，勾股定理，三角形边长关系，圆周角定理，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理性质是解答本题的关键．3．（2023·陕西咸阳·一模）如图，在中，，点P在内运动，连接，若，则的最大值为．

【答案】【分析】连接，作的外接圆，证明四边形是菱形，由及证得是等边三角形，则，，在上取，连接，证明是等边三角形，则，再证明，则，得到，则当为的直径时，的值最大，即的值最大，解直角三角形求出的值即可得到的最大值．【详解】解：连接，作的外接圆，

在中，，∴四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，在上取，连接，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，当为的直径时，的值最大，即的值最大，此时，，∴，即的最大值为，故答案为：【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的外接圆、圆周角定理等知识，作的外接圆是解题的关键．4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为．

【答案】/【分析】连接，根据矩形的性质可得，，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．【详解】解：如图1，连接，

四边形是矩形，∴，，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：

当，，三点共线时，的值最小，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题．题型02圆与相似【解题策略】对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形【典例分析】例．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；（2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论；（3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．【详解】（1）证明：如图1，连接，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；（2）证明：∵为的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如图2，过P作于点E，由（2）可知，，∵，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．【变式演练】1．（2023·湖南湘西·二模）如图，是的直径，点，在上，平分，交于点，连接．

(1)求证：．(2)当，且时，求线段的长．(3)点为线段上一点，且平分，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据角平分线的定义，与圆周角定理得，进而结合公共角便可证明；（2）由，得出与的数量关系，再由勾股定理求得、，过作于，在中由勾股定理求得、、，进而求得，再证，由相似比求得结果；（3）由平分，平分，得，进而求得、的长度，由求得，再由便可求得结果．【详解】（1）证明：平分，，，，，；（2）解：为直径，，，，设，则，，，解得，，，过点作于点，如图所示：

平分，，，，，，设，则，，，解得，，，，，，，，即，；（3）解：平分，平分，，，，，，，，即，则，，，，，即，．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，关键在于运用相似三角形解决问题．2．（2024·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在直径上（与不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切．(1)求证：；(2)若是的中点，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）本题连接，根据切线的性质得到，由直角三角形性质得到，根据等腰三角形性质得到，推出，再根据等腰三角形性质即可证明；（2）连接，利用圆周角定理，证明，推出，再根据线段中点的性质，以及勾股定理求出、，将、的值代入中求解，即可解题．【详解】（1）解：连接，与相切，，，，，，，，；（2）解：连接，是的直径，，，，，是的中点，，，，，，解得．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质和判定、相似三角形性质和判定、圆周角定理、线段中点的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．题型03圆与全等【解题策略】对于圆与全等相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形【典例分析】例．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论；（2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案．【详解】（1）证明：连接，过点作于点，，是的中点，为的平分线，与相切于点，是的直径，为的半径，，又，，即为的半径，是的切线；（2）解：过点作于点，点为的圆心，，在和中，，，，，，，，是的中点，，又，，，，在和中，，，，在中，，，，，，又，为等边三角形，，，．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．【变式演练】1．（2023·广东汕头·一模）如图，内接于．是直径，过点作直线，且是的切线．(1)求证：．(2)设是弧的中点，连接交于点，过点作于点，交于点．①求证：．②若，，试求的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②1【分析】（1）由直径所对的圆周角等于得出，由切线的性质定理得出，即可得出结论；（2）①由等弧所对的圆周角相等得出，由直角所对的圆周角为90°得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即可得出结论；②连接、，作，交的延长线于点，由角平分线的性质得出，由全等三角形的判定得出和，得出，，代入计算即可求出的值．【详解】（1）证明：是直径，，；是的切线；∴，，∴；（2）解：①是弧的中点，，是直径，，∵，，，，．②连接、，作，交的延长线于点．，，，，在与中，，，，是弧的中点，，在与中，，．．，即，．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．2．（2022·安徽·模拟预测）如图，中两条弦，互相垂直，垂足为，为的中点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)连接，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）本题根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，推出，利用同弧所对的圆周角相等推出，对顶角相等得到，最后进行等量代换，即可解题．（2）本题过点作于点，连接，，，，．利用圆周角定理和等腰三角形性质推出，，利用角的等量代换得到，证明，最后结合全等三角形性质和垂径定理，即可解题．【详解】（1）解：，为的中点，，，，，，．（2）解：过点作于点，连接，，，，．，，．同理得．，．，．又，，，，即．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、等腰三角形性质、同弧所对的圆周角相等、对顶角性质、全等三角形的性质和判定、垂径定理，解题的关键在于作辅助线构造等腰三角形和全等三角形．题型04圆的计算【解题策略】对于圆的计算的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形【典例分析】例．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线；（2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，则，∴，即，∴是的切线；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的切线，∴，则，∴，∴，根据勾股定理可得：，，∴，∴，∴根据勾股定理可得：．【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤．【变式演练】1．（2023·天津河东·一模）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．

(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，由切线的性质证出，由圆周角定理得出答案；（2）连接，，证出是等边三角形，得出，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得出答案．【详解】（1）解：连接，

与相切于点，，，，，，；（2）解：连接，，

，，，，为的切线，为切点，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，半径为5，，是的直径，，，．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理及等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，点D为上一点，过点B作切线交延长线于点C，平分，交于F．(1)求证：；(2)若半径为2，，求的长度．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质得到，则，由角平分线的定义得到，据此可证明，则；（2）过点E作于H，由角平分线的性质得到，解得到，设，由勾股定理得，解得（负值舍去），则，根据，求出，解得到，则．【详解】（1）证明：∵为的直径，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解；如图所示，过点E作于H，∵平分，，∴，∵半径为2，∴，在中，，设，由勾股定理得，∴，解得（负值舍去），∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，角平分线的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．3．（2024·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦与交于点F，过点A的切线交的延长线于点D，点B是的中点．(1)求证：；(2)若的半径为4，，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由切线性质可知，，即，根据点是的中点，可知，进而可知，由可知，即可证得结论；（2）连接，则，由（1）可知，，则，可得，进而可知，，由，，得，同时推导出，利用勾股定理代入数据解答即可．【详解】（1）证明：是的切线，，即，点是的中点，，，，，；（2）解：连接，则，由（1）可知，，则，，，，，，，，，，，，半径的长为4，，，由勾股定理可知：，即：，解得：．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握并运用勾股定理是解答本题的关键．4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点．(1)求证：；(2)若，的半径为10，求的长度．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，一元二次方程的解法．（1）根据切线性质，得到；结合，得到，，得到，继而得到，从而判定，可得结论．（2）过点作于点G，根据垂径定理，得到,判定四边形是矩形，继而得到，结合，得到即，设，利用勾股定理，得到计算即可．【详解】（1）∵过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）如图，过点作于点G，则,∵，，的半径为10，∴四边形是矩形，∴，∵，∴即，设，∵∴，解得（舍去），∴．1．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正确；设，∴,∴，∴，故②正确；当点在的延长线上时，如图所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正确；④如图所示，以为圆心，为半径画圆，

∵，∴当在的下方与相切时，的值最小，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值时，∴故④正确，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．(1)求证：为⊙的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可；（2）解法一：连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值；解法二：过点作于点，按照解法一步骤求出，然后证明四边形是矩形，再证明，求得，进而求出的值．【详解】（1）证明：连接，，，点是的中点，，，，，，，，，是半径，是的切线；（2）解法一：连接交于，，，，，，在中，，或（不符合题意，舍去），点是的中点，是半径，垂直平分，，是的中位线，，是直径，，，，，；解法二：过点作于点，，，，，，，，在中，，，或（不符合题意，舍去），，四边形是矩形，，，，，，，，．【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键．4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的半径为．【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；（2）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．【详解】（1）证明：∵，，∴；（2）证明：连接，

∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（3）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．∴的半径为．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．

(1)求证：是切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线．（2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长．【详解】（1）解：连接，，如图所示，

，为的直径，，，，，，，，，，，是切线．（2）解：连接，如图所示，

由（1）得，，，，．，．设则，在中，，．在中，．，，．．，．．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度．6．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切