广西来宾市2021年中考数学真题（解析版）

2021年广西来宾市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1.下列各数是有理数的是（）

A.乃B.V2C.%D.0

【答案】D

【解析】

【分析】利用有理数和无理数的定义判断即可.

【详解】解：四个选项的数中：乃，逝，孙是无理数，0是有理数，

故选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了实数，熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键.

2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

【答案】C

【解析】

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到图形.依题意，由几何体

的主视图即可判断该几何体的形状.

【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项C中的图形.

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空

间想象能力.

3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B,C,O三个出口走出，他恰好从C出口走出的

概率是（）

【答案】B

【解析】

［分析］此题根据事件的三种可能性即可确定答案

【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B,C,D；恰好从C口走出的可能性占总的,，故概率为

3

3：

故答案选：B；

【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可.

4.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离

400000000千米，其中400000000用科学记数法表示为（）

A.4x109B.40xl07C.4xl08D.0.4xlO9

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“XI"的形式，其中"为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将400000000这个数用科学记数法表示为：4xl08.

故选：C.

【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本要求并正确确定4及〃的值是解题的关键.

5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）

A.这一天最低温度是-4℃B.这一天12时温度最高C.最高温比最低温高8CD.0时至8时气温呈下降

趋势

【答案】A

【解析】

【分析】根据气温变化图逐项进行判断即可求解.

【详解】解：A.这一天最低温度是一TC,原选项判断正确，符合题意；

B.这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；

C.这一天最高气温8℃,最低气温-4℃,最高温比最低温高12℃,原选项判断错误，不合题意；

D.0时至8时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了根据函数图象读取信息，理解气温随时间变化而变化并从中读取信息是解题关键.

6.下列运算正确的是()

A.cT-o'-a5B.a6-^cTC.(/)=a5D.3a2—2a—a1

【答案】A

【解析】

【分析】分别根据同底数'幕的乘法、同底数暴的除法、塞的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解.

【详解】解：A././=a5,原选项计算正确，符合题意；

B.原选项计算错误，不合题意；

C.(/丫=。6,原选项计算错误，不合题意；

D.3a2一2a，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了同底数事的乘法、同底数基的除法、募的乘方、整式的加减等知识，熟知相关运算公

式和法则是解题关键.

7.平面直角坐标系内与点尸(3,4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得

到答案.

【详解】解：：P（3,4）,

关于原点对称点的坐标是（-3,-4）,

故选B.

【点睛】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时,

它们的坐标符号相反.

8.如图，。。的半径为4，OC_L4B于点。，NB4C=30°，则。。的长是（）

A.V2B.6C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆周角定理求出NCOB的度数，再求出NOBO的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于

斜边的一半”求出0。的长度.

【详解】：ZBAC=30°,

NCOB=60。,

,：N008=90。，

：.ZOBD=30°,

；OB=4,

OD=—OB=—x4=2.

22

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.

9.一次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2>0,b=l>0可知，一次函数y=2x+l

的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.

【详解】：k=2>0,b=l>0,

根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

故选D.

【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.

10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车,

九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问:

人与车各多少？设有x辆车，人数为根据题意可列方程组为（）

y=3x—2B[I—y=3x-2D.i-2)

A.<

y-2x+9y=2x+9y=2x-9y-2x—9

【答案】B

【解析】

【分析】设有x辆车，人数为根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那

么有9人需要步行”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【详解】解：设有X辆车，人数为y人，依题意得：

y=3（x-2）

y=2x+9'

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

11.如图，矩形纸片ABC。，AD:AB=^:1，点、E，尸分别在AO,8C上，把纸片如图沿EF折叠,

EF

点A,B的对应点分别为A',B',连接A4'并延长交线段8于点G,则「的值为（）

AG

【答案】A

【解析】

【分析】根据折叠性质则可得出"是AA'的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得

ZAEO=ZAGDfNFHE=/D=90：根据相似三角形判定推出△E/77s/\GA。，再利用矩形判定及性质

证得777=43,即可求得结果.

【详解】解：如图，过点尸作/7/L4Q于点H,

AEA=EA,FB=FR，

・・・所是A4'的垂直平分线.

AZAOE=90°.

•・•四边形ABC。是矩形,

：・NBAD=NB=ND=90°.

JZOAE+ZAEO=ZOAE+NAGO,

・•・ZAEO=ZAGD.

9

：FH±ADf

：.ZFHE=Z£>=90°.

：./\EFH^/\GAD,

.EF_FH

"~AG~~AD'

VZAHF=ZBAD=ZB=90°,

四边形AB/汨是矩形.

：.FH=AB.

.EFFHAB_\

,,AG-A£>—A£>一&12：

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

a,a>b

12.定义一种运算：a*b=\t,,则不等式(2x+l)*(2-x)>3的解集是()

b,a<b

A.x>l或x<—B,-1<x<—C.尤>1或x<—1D.或x<—l

333

【答案】C

【解析】

【分析】根据新定义运算规则，分别从2%+122—x和2x+l<2—x两种情况列出关于x的不等式，求解

后即可得出结论.

【详解】解：由题意得，当2X+122—X时，

即xN—时，(2x+l)*(2-x)=2x+l,

3

则2x+l>3,

解得x>1,

此时原不等式的解集为X>1;

当2x+l<2-x时，

即时，(2x+l)*(2-x)=2-x,

3

则2-x>3,

解得x<-l,

此时原不等式的解集为x<-l；

综上所述，不等式(2x+1)*(2-x)〉3的解集是X>1或X<-1.

故选：C.

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式.

二、填空题(本大题共6小题，共18分)

13.要使分式一二有意义，则x的取值范围是

【答案】#2

【解析】

【分析】分式有意义，则分母x-2和，由此易求x的取值范围.

【详解】解：当分母x-2加，即/2时，分式」一有意义.

x-2

故答案为：/2.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义=分母为

零；（2）分式有意义o分母不为零：（3）分式值为零0分子为零且分母不为零.

14.分解因式：a2-4b2=.

【答案】（。+如（a-勖）

【解析】

【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：/-4/=/_（2与2=（“+4）（。一2与.

故答案为（a+3）（a-»）.

【点睛】本题考查了因式分解.熟练掌握平方差公式是解题的关键.

15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°,看楼下荷塘。处的俯角为60。，已知楼高A8为30

米，则荷塘的宽CO为米.（结果保留根号）

【答案】30-10百

【解析】

【分析】由三角函数分别求出8C、BD,即可得出C。的长.

【详解】解：由题意知：/54。=90。-45。=45。，△ABC是直角三角形,

Be

在心ZkABC中，tanZBAC=——,48二30米，

AB

BC=AB・tan45°=30米，

BD

；NBAD=90°-60°=30°,tanZBAD——，

AB

.*.BO=AB・tan30°=30x—=l（）G（米），

3

：.CD=BC-BD=3O-iOy/3（米）；

故答案为：30-106.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出BC和BO是解决问题的关键解题的关键.

16.为了庆祝中国共产党成立1（）（）周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力,

演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%,演讲能力占40%,演

讲效果占10%,计算选手的综合成绩（百分制）.小婷的三项成绩依次是84,95,90,她的综合成绩是

【答案】89

【解析】

［分析］根据加权平均数的定义列式计算可得.

【详解】解：选手甲的综合成绩为84x50%+95x40%+90xl0%=89（分），

故答案为：89分.

【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

17.如图，从一块边长为2，NA=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴

影部分），且圆弧与8C,CO分别相切于点E,F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径

是.

120°

BD

【答案】皇

3

【解析】

【分析】先利用菱形的性质得到含30°角的直角三角形，再利用勾股定理求出力£最后利用弧长公式求出

弧长，弧长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径.

【详解】解：如图，连接力£由切线性质可知:AELBC,即N/£»=90°；

•.•菱形铁片上工84。=120。，

..g180。-120。=60。，

:.zBAE=30°,

:.AB=2BE=2,

-AB2=BE2+AE2

：.AE=B

声也的4t120x6兀2A/3

.,.扇形的弧长为：--------=—^—Tt,

1803

25/3

所以圆锥底面圆半径为：亍兀=6,

2兀一3

故答案为：.

3

//120°

【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等内容，解决本题的

关键是牢记相关性质与公式，本题需要学生理解扇形与圆锥的关系，蕴含了一定的空间想象思维，涉及到

了数形结合等思想方法.

18.如图，已知点A(3,0),8(1,0),两点C(—3,9),0(2,4)在抛物线y=/上，向左或向右平移抛物线

后，C，。的对应点分别为C',以，当四边形ABC'。'的周长最小时，抛物线的解析式为.

【答案】

I13J

【解析】

【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、。三点共线时，BC'+BE的值最小，再通过设直线BC'的解

析式并将三点坐标代入，当时，求出。的值，最后将四边形周长与。=4时的周长进行比较，确定a

的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式.

【详解】解：：A(3,0),8(1,0),C(—3,9),D(2,4),

AB=3-1=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性质可知：C'D'=CD=5叵,

四边形ABC'。'的周长为A8+8C'+C'O'+£＞'A=2+BC'+5&+Q'A；

要使其周长最小，则应使8C'+。'A的值最小；

设抛物线平移了。个单位，当。＞0时，抛物线向右平移，当。＜0时，抛物线向左平移；

C(-3+a⑼，D'(2+a,4),

将。响左平移2个单位得到。"(a,4),则由平移的性质可知：BD"=AD'，

将。"(a,4)关于x轴的对称点记为点E,则七(a,~4),由轴对称性质可知，BD"=BE,

/.BC'+D'A=BC'+BE,

当8、E、。三点共线时，BC'+BE的值最小,

设直线BC'的解析式为：y=kx+h(k^Q),

.（-3+a）A+。=9

..k+b=O

当时，

.<a-4

b-

4-Q

,99

..y=----x-\------,

。一44一。

99

将E点坐标代入解析式可得：-4=——a+--,

a-44-a

25

解得：a=—>

13

此时BC'+BE=C'E=J（-3+a-a『+（9+4）2=V178，

此时四边形ABC'。'的周长为A8+5。'+。。'+O'A=2+5夜+J或；

当a=4时，C'（l,9）,。'（6,4）,A（3,0）,8（1,0）,

此时四边形ABCD'的周长为：

AB+BC'+C'£>'+D'Z4=2+（9-0）+5V2+^（6-3）2+（4-0）2=16+572：

V2+572+V178<16+5V2,

，当Q=——时,其周长最小，

13

25

所以抛物线向右平移了一个单位，

13

所以其解析式为：得）；

（25V

故答案为：y=%--.

•I13j

【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题

的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计

算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.计算：23xf-1+lL(l-3).

【答案】-2

【解析】

【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果.

【详解】解：23x[-[+1)+(1—3)

=8xg+(-2)

=4+(—2)

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解答此题

的关键.

xX

20.解分式方程：——=----+1.

x+13x+3

【答案】x=—3

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

XX

【详解】解：——=-----+1

x+13x+3

去分母，得3x=x+3(x+l),

解此方程，得x=—3,

经检验，x=—3是原分式方程的根.

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验.

21.如图，四边形ABCO中，AB//CD,N8=N£）,连接AC.

（1）求证：△ABC也△CD4；

（2）尺规作图：过点。作A8的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20,48=5,求CE的长.

【答案】（1）证明见详解；（2）作图见详解；（3）CE=4.

【解析】

【分析】（1）根据AB〃C。，得到结合NB=ND，AC^CA,利用“A4S”即可证明；

（2）如图，延长AB,任意取一点”，使，和点C在AB两侧，以C为圆心，C”为半径画弧，交AB于尸、

G,分别以F、G为圆心，以大于gFG长为半径画弧，两弧交于1,作直线C/,交AB延长线于E,则CDA.AB

与民

（3）证明四边形4BCD为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解.

【详解】解：（I）AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

又,：ZB=AD，AC=CA,

：.AABC^ACDA；

（2）如图，延长A8,任意取一点H,使”和点C在AB两侧，以C为圆心，C”为半径画弧，交AB于尸、

G,分别以RG为圆心，以大于3■尸G长为半径画弧，两弧交于/,作直线C/,交AB延长线于E,则CD±AB

与E；

(3)-.,△ABC^ACZM,

：.AB=CD,

•/AB//CD,

四边形ABC。为平行四边形，

AB*CE=20,

即5CE=20,

：.CE=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，过直线外一点作已知直线的垂线等知

识，综合性较强，熟知相关知识点，并根据题意灵活应用是解题关键.

22.某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg,在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔

枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：

4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.7

4.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0

整理数据：分析数据：

质量(kg)4.54.64.74.84.95.0平均数众数中位数

数量(箱)217a314.75bC

(1)直接写出上述表格中。，b,c的值；

(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其

中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？

(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？(结果保留一位小数)

【答案】(1)a=6,b=4.7,c=4.75；(2)500kg；(3)10.5元.

【解析】

【分析】(1)用20减去各数据的频数即可求出“，根据众数、中位数的意义即可求出仇c；

(2)选用平均数进行估算，用每箱损坏数量乘以2000即可求解；

(3)用购买总费用除以没有损坏的总数量即可求出解.

【详解】解：(1)0=20-2-1-7-3-1=6；

在这20个数据中，4.7频数最大，所以众数6=4.7；

47+48

将这20个数据排序，第10、11个数据分别为4.7、4.8,所以中位数c=———-=4.75；

2

(2)选用平均数进行估算,(5-4.75)X2000=500kg,

答：选用平均数进行估算，这2000箱荔枝共损坏了500千克；

(3)(10X2000X5)4-(4.75X2000)^10.5元

答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本.

【点睛】本题考查用众数、中位数、用样本估计总体等知识，熟知相关概念并理解题意是解题关键.

23.【阅读理解】如图1,〃/4，AA6c的面积与△O8C的面积相等吗？为什么？

解：相等，在AA6c和△03C中，分别作DFLl2,垂足分别为E，F.

：.ZAEF=ZDFC=90°,

AE//DF.

Q/.//4，

四边形AEFZ）是平行四边形，

:.AE=DF.

又SyABC='BCAE,S^DBC=—BC•DF,

,,S^ABC=S^DBC•

【类比探究】问题①，如图2,在正方形ABCO的右侧作等腰△CD£,CE=DE,4)=4,连接AE,

求AAZJE的面积.

AD

解：过点E作跖_L8于点F，连接A尸.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】问题②，如图3,在正方形ABCD的右侧作正方形CEPG,点8,C,E在同一直线上，AD=4,

连接BD，BF,DF，直接写出ABZ）厂的面积.

【答案】①SAAOE=4；②S.BDF=8.

【解析】

【分析】①过点E作麻，C£）于点尸，连接A尸，可得呼'//">,根据材料可知S,DE=S.ADF,再由

等腰三角形性质可知DF=^CD,即可求出S^ADF.

②连接CE,证明8D//CE,即可得S,B/»=S）Dc，由此即可求解.

【详解】解：①过点E作MJ_CD于点/，连接AE，

•.•在正方形ABC。中，ZADC=90°,

：.EF//AD,

•・•^q^ADE_一乙q4。尸，

VCE=DE,EFLCD,

：.DF=-CD,

2

•••在正方形ABCD中，AD=CD=4,

SMDE=SAADFH]AOXDF=/X4X2=4；

②SABDF=8>

过程如下:如解图3,连接CE,

;在正方形ABC。、正方形CEFG中，

ZBDC=NFCE=45。,

：.CF//BD,

,••°qdBDF-_aq^BDC，

•.•在正方形ABC。中，AD=BC=CD=4,/BCD=90。,

••S/DF=S-BDC=8-

【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根

据平行线找到等底等高的三角形.

24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示

意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为>轴，建立平面直角坐标系.图中的

抛物线C1:>=--x2+-X+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点。正上方4米处的A点

'-126

1,

滑出，滑出后沿一段抛物线G：>=——%+法+。.运动.

y/米

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式(不

要求写出自变量x的取值范围)；

(2)在(1)的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求人的取值范围.

1335

【答案】(1)y—x~H—x+4；(2)12米；(3)bN—.

8224

【解析】

1,

【分析】(1)根据题意可知：点A(0,4)点B(4,8),利用待定系数法代入抛物线。2：丁=一一%+版+c

8

即可求解；

(2)高度差为1米可得G-C1=l可得方程，由此即可求解；

(3)由抛物线C|：y=--!-x2+工x+l可知坡顶坐标为(7,如)，此时即当x=7时，运动员运动到坡顶

12612

正上方，若与坡顶距离超过3米，即y=-，X72+70+CN旦+3,由此即可求出b的取值范围.

-812

1,

【详解】解：(1)根据题意可知：点A(0,4),点B(4,8)代入抛物线C,：y=——V+bx+c得，

28

c=4

,1O，

一一x4~+4/7+c=8

8

c=4

解得：L3，

b=—

I2

I3

二抛物线G的函数解析式丁=一6炉+彳》+4；

82

（2）•••运动员与小山坡的竖直距离为1米，

,,123八/127

•.（—xH—x+4）—（---xH—x+1）=1,

82126

解得：玉=—4（不合题意，舍去），々=12，

故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

（3）•.,点A（0,4）,

，抛物线Q：丁=一；％2+笈+4,

171）61

:抛物线C］：y=---x9—x+1=----（X—7）H，

11261212

坡顶坐标（7,包），

12

•••当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，

y=--x72+7£>+4>—+3,

812

35

解得：b>—.

24

【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件

和结论，理清数量关系；（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）

求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.

25.如图①，在△ABC中，于点O,BC=14,A£）=8,30=6点后是AO上一动点（不与

点A,。重合），在AADC内作矩形EAG”，点尸在QC上，点G,"在AC上，设OE=x,连接破.

（1）当矩形瓦'GH是正方形时，直接写出EF的长；

S

（2）设AMBE的面积为5,矩形EPG”的面积为邑，令丫=在，求>关于x的函数解析式（不要求写

出自变量X的取值范围）;

(3)如图②，点P(a,勿是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点尸的直线/分别与x轴正半轴，>轴

正半轴交于N两点，求AOMN面积的最小值，并说明理由.

【答案】(1)晅;⑵y=-；(3)6

3x

【解析】

【分析】(1)直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出：EF=\AC,进一步计算即可；

3

(2)先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出5=-x(8-x)x6=3(8-x),

2

Bs

5,=V2x.—(8-x)=x(8—x)，代入>=含化简即可；

2%

(3)设/：y^kx+h(k<0),则M(—2,0),N(0,»,当AOMN面积的最小时，两个函数图像仅有一个

k

交点，列出AOMN面积的表达式求解即可.

【详解】解：(1)根据题意：可知犷

均为等腰直角三角形，则EF=FG^GC^HG^AH=-AC,

3

VBC=14,AD=8,BD=6,

：.DC=S,

:,AC=8叵，

.™_8>/2

,,iLr-♦

3

(2)♦.•四边形EFG”为矩形，

/.EF//AC,EH±AC,

/.NEFD=NC=45。,

DE=x,

DFr-

在Rt/\DEF中，EF=-----=,

sin45°

AE-8-x>

•••F/7=AEsin45°=—(8-x)，

•；S2=EF・EH,

，S2=(8-x)=x(8-尤)，

s,=LAE.BD,

12

；.5=gx(8—x)x6=3(8-x),

S.3(8-x)

•y=--=-----------

…S2x(8-x)'

••.一;

X

3

(3)由(2)得。在y=一上，

x

h

设/：y=kx+b(k<0)9则M(一一,O),N(O,b),

k

当△OWN面积最小时，两个函数图像仅有一个交点，

3八

令一=kx+b,得西2+加-3二0，

x

则A=/+i2Z=o,人2=一122，

S.OMN=；OM・ON,

=；(一”

_1b2

——•,

2-k

1-12k

=—•-----,

2-k

=6.

【点睛】本题主要考查正方形性质，矩形的性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，反比例函数与一次函

数综合问题，能够根据题意列出相应的方程是解决本题的关键.

26.如图，已知AD，族是。。的直径，AD=6人,与匚704BC的边AB，0C分别交于点E,

M，连接CO并延长，与A尸的延长线交于点G,ZAFE^ZOCD.

（1）求证：CO是。。的切线；

（2）若GF=1,求cosN/正产的值；

AD

（3）在（2）的条件下，若NA8C的平分线8H交CO于点"，连接AH交。。于点N,求——的值.

NH

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）叵