2021高考数学考点精讲精练《25几何法解空间角》（练习）（解析版）

考点25几何法解空间角

【题组一线线角】

1.如图，在正四面体4一BCD中，点”，N分别为AD,BC的中点，则异面直线4MCM所成的角的余

弦值是.

【答案】-

3

【解析】如图，连接取其中点P，连接PN,PA,•••N是8C中点，PN//CM,

.•.异面直线AMCM所成的角就是NN4P（或其补角）,

A1G

设正四面体的楼长为I,则AN=CM=Y2NP=-CM=—

224

ih

在MBP中BP=—

24

、、>、A/3、-y/37

AP2=BA2+BP2-2BA-BPcosZABM=12+(—)2-2xlx—cos3Q°=—

4416

AN2+NP2-AP2

在AAPN中，cosZANP=

2AN.NP

异面直线AMCM所成的角的余弦值为|.

BD

N

C

2.已知直三棱柱ABC-A冉G中，底面为等腰直角三角形，N84C=90°,AB=2，44,=3,点/在

CG上，且GF=gcC，则异面直线与G与A尸所成角为.

【答案】60°

【解析】由条件将直三棱柱ABC-A4c补成长方体，如图.

由条件BCHB£，设点E为的中点，连接BE.

则8E//A尸，所以NCBE（或其补角）为异面直线与£与A尸所成角.

在△CBE中，BC=2日BE=CE=飞+DE?=抬+2?=20

所以△€»£为等边三角形，所以NCBE=60°

3.如图，在底面边长为4,侧棱长为6的正四棱锥P—A8CD中，£为侧棱P£＞的中点，则异面直线PB与

CE所成角的余弦值是

3717

【答案】

17

【解析】如图，取Q4的中点E，A3的中点G,8c的中点，，连接FG,FH,GH、EF，

/'

则EF//CH,EF=CH,从而四边形EFHC是平行四边形，贝UEC//EW,

iLEC=FH.

因为尸是Q4的中点，G是AB的中点，

所以FG为△/记?的中位线，所以FG//PB,则NGF"是异面直线与CE所成的角.由题意可得

EG=3,HG=-AC=2y/2.

2

.,...PD~+PC~—CD~36+36—167

在APCD中，由余弦定理可得cosZ.DPC=----------------------=---------------=—,

2PDPC2x6x69

则CE2=PC2+PE2-2PC-PEcosZDPC=17，即CE=JI7.

由余弦定理可得cos©*9+17-83旧

在AGF”中,®；皆工"

2x3x717-17

4.已知尸-ABC为正三棱锥，则如与所成角大小为L

取的中点。，连结AD,PD,PB=PC,D为BC中点、，：.PD上BC.

同理可得ADA.BC,尸。,AD是平面PAD内的相交直线，

.•.8C，平面PAD，24u平面PAD，

71

：.BC±PA，即直线R4与8C所成的角的大小为一.

2

5.如图，S为等边三角形A8C所在平面外一点，且S4=SB=SC=AB,E,尸分别为SC,AB的中点,

则异面直线EF与AC所成的角为.

【答案】45。

取A5的中点G，连接GE,GE,则GE冽CGF/SB

B

：.ZGEF等于异面直线EF与AC所成角.

设AB=2,则GE=1,GF-1.

取AC的中点〃，连接MS,MB.

QS4=SB=SC=A3，：.ASAC,A4BC为等边三角形，

:.SM±AC,BM±AC,SM=M,

二AC_L平面BMS,..AC_LSB,..EG_LGP,..NGM=45°.

所以，异面直线EF与AC所成的角为45°.故答案为：45°

6.如图，在底面为正方形的四棱锥P—ABC。中，B4=P8=PC=PQ=AB=2,点E为棱Q4的中点,

则异面直线BE与P。所成角的余弦值为

【解析】

取PD的中点记为F点，BC的中点记为点，连接FG,GD,因为EF//BC，目.=

2

故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角

形，BF为其高线，长度为石，FG=6,DG=7C/）2+CG2=75-

FD=1,根据余弦定理得到COSNGED=^17=-虫■，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为:

2736

立.故答案为走.

66

7.如图，矩形A8CD中，A3=2,BC=\,E是CD的中点，将八位组沿4E折起，使折起后平面

平面ABCE,则异面直线AE和8所成的角的余弦值为

【解析】由题意，取A6中点尸，连接，则CFAE,可得直线AE和CO所成角的平面角为NDCF,

（如图）

D

AFB

过。作DM垂直AE了〃，平面ZMEJ•平面A8CE，AD=DE

：.DMLAE，

DM，平面ABCE，「.DM_LMF，

且AM=DM=W，结合平面图形可得：FM=—.

22

：.DF=yjDM2+MF2=1.CF=叵,

V.MC2=GM2+GC2=|,：.DC2^DM2+MC2=3,

2

...在ADR7中，DC2=DF?+FC?,

V276

/.ADFC是直角三.角形旦。E_LEC,可得cos/DCF

【题组二线面角】

1.如图，己知A43C是等腰三角形，且NACB=120。，AC=2,点。是A8的中点将AACD沿CD折

起，使得ACLBC,则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为_・一

【答案】旦

3

【解析】如图，作5E_L4),垂足为E，连接CE.

VAD1CZ),BD±CD，ADBD=D,

BEu平面AOB，；.CD_LBE,

又5E_LAT)，AD8=。，，BE1平面ACO,

NBCE为直线BC与平面AC£＞所成的角.

由题意：

可知AO=BZ)=6，AB=YJAC2+BC2=2V2■

设△AD8中，45边上的高为力，

则力=小可-(a『=1.

由AD-3£=AB〃，WBE=—.

3

二sinZBCE=—=—，

BC3

2.如图，在棱长为2的正方体ABCO—AgGA中，E是A0的中点，F是3片的中点，则直线EF与

平面ABCZ)所成的角的正切值为_____,

【答案】也

5

[解析]连接EB,由BB]±平面ABCD，

知ZFEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在RtAFBE中，BF=1，BE＜，

则tanNFEB=—=—

BE5

3.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是菱形，底面A8CD.

（II）若/84。=/3巳4=60°，求直线PC与平面ABCO所成角的余弦值.

【答案】（I）见解析（II）亚

10

【解析】（I）证明：连接AC，

PA_L底面ABCD，3。u底面ABCD；BDLPA

♦.•四边形ABC。是菱形，.•.80,AC.

又•••％AC=A,R4u平面B4C，ACu平面尸AC,

/.3。_L平面PAC，

BD1PC

（II）设直线AC与BD交于点。，PA_]_底面ABCD,

p

直线PC与平面ABCD所成角的是ZPCA.

设P4="l"，由NR4O=N3PA=60°,可得氏4=百，

•••四边形ABC。是菱形，：.AC±BD

在AABC中，ABAC=3Q°,BA=6则AC=2AO=2Gcos30=3，

于是PC=yJp^+AC2=V10，

AC3M

cosZPCA

~PA10

...直线PC与平面ABC。所成角的余弦值是主叵.

10

4.如图几何体中，底面ABC。为正方形,P£>_L平面ABC。，EC//PD,且P£>=AD=2EC=2.

（1）求证：BE//平面PDA；

（2）求与平面所成角的大小.

【答案】（1）见解析（2）J

6

【解析】（1）四边形ABCO为正方形：.BC//AD

又ADu平面PDABCH平面PD4

又EC//PD，PDu平面PD4平面PZM

EC,BCu平面BEC,ECBC=C二平面BEC〃平面PZM

BEu平面BEC〃平面PD4

（2）连接AC交BD于点O,连接PO

PD_L平面ABC。，AOu平面ABC。/.AO1PD

又四边形ABC。为正方形AO1BD

BD,POu平面P8£）,BDPD=D..AO,平面PBD

ZAPO即为PA与平面PBD所成角

叨二相^且尸。，〃）PA=2V2

又A0」4C=、7?连=拒

22

An]7r

:.sinZAPO=-=-:.ZAPO=-

PA26

TT

即1%与平面尸班）所成角为：-

6

5.如图，正方形ACZ5E的边长为2,AO与CE的交点为M，平面ABC,ACA.BC,且地区

（1）求证：AM,平面E8C；

（2）求直线EC与平面A防所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）旦

【解析】（1）AE_L平面ABC.BCu平面ABC

：.AE1BC,又ACL3C,ACr>AE=A,

AC,4后<=平面4。。£：,，8。_1_平面4。£）£'.

又AMu平面ACDE./.BC.LAM.

•••四边形ACOE是正方形，.\A"_LCE.

又BCCE=C,BC,CEu平面EBC

所以A"_L平面EBC.

（2）取A3的中点F,连接CF,EF.

•••AE,平面ABC，CFu平面ABC，

：.EA±CF,又AC=3C,•••CE_LAB.

；K4c45=A，；.CF_L平面AEB,

A/CEF为内线EC与平面ABE所成的角

在RfACFE中,知CF=0，FE=5

V2_V3

/.tanZ.CEF

布二7

6.如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCDL平面PAB,四边形ABCD为矩形，APAB为正三角形,

若AB=2,AD=1,E,F分别为AC,BP中点.

（1）求证：EF〃平面PCD；

（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值.

【答案】（1）见证明；（2）叵

5

【解析】（1）因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E.

因为E,F分别为AC,BP中点，所以EF是ZkBDP的中位线，

所以EF〃DP.乂DPu平面PCD,EFC平面PCD,所以EF〃平面PCD.

(2)取AB中点O,连接PO,DO

•..△PAB为正三角形，APOXAB,

又；平面ABCD_L平面PAB

，PO_L平面ABCD,；.DP在平面ABCD内的射影为DO,

/PDO为DP与平面ABCD所成角，OP=y[i,DP=x^

OPV3_V15

在RtADOP中，sinZPDO=—

DP

.•.直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为史

5

7.已知四边形ABCZ)是正方形，3E_L平面ABC。，平面ABCD，ED=FB=AB,M为棱AE

的中点.

(1)求证：AE_L平面CM/7：

(2)求直线与平面ABC。所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)好

5

【解析】如图所示：连接CE、AC、DB

（1）证明：四边形ABCD是正方形，且。=A3

EC=AC即ACAE为等腰三角形

又M为棱AE的中点，得：AE±CM

8/_1_平面ABC。，平面A5CO,得：ED//FB

又ED=EB，则四边形8OEF为平行四边形

:.EF=DB

又正方形ABCD，ED=FB=AB

：.EF=AF即A4EF为等腰三角形

：.AE1MF

又AELCM,CMcMF=M,CMu平面CM/7，“尸匚平面CWF

.•.AE1平面。质

（2）取A。的中点N，连接MN、BN

点M、N分别为AE、AO的中点

为A4DE的中位线

:.MN//DE

又D£_L平面ABC。

MN_L平面ABCD

：.MN为斜线BM过点M向平面ABCD的一条垂线，垂足为点N,则斜线BM在平面ABCD内的射影为

BN,直线与平面ABCO所成角为NMBN,设AB=2a

EDi__________

由几何关系可得：MN=—=a,BN=\lAN2+AB2=>/5a

在RtkBNM中得：tanNMBN=—=：=—.

BNJ5a5

8.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为0的正方形，平面AEC_L平面CDE,

ZA£C=90°，F为DE中点"且。E=L

(1)求证：CDLDE-.

（2）求FC与平面ABC。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）也

6

【解析】(1)因为平面AECL平面CDE,平面AECI平面CDE=CE,ZAEC=90%

二隹，平面CDE，又由COu平面CDE,.•.AE_LCD，

•••ABC。为正方形，，CD_LA£),

又•••AEAO=4,O)_L平面ZME，,COLDE.

(2)过户作R0J.A。于M，连接CM.

由(1)得CO_L平面ZME，二CDLfM,

又CDAD=D,所以_L平面43CO，

，NFCM为FC与平面ABC。所成角，

13_________

:.AD=CD=C,DE=l，DP、，：.FC=Q,AE=7AD?-DE?=1,

…FMDFAEDF也

由皿%/64加£,可得——=一,:.FM=-----------=—,

AEADAD4

9.如图，在四棱锥中P—ABC。中，AD±CD,AD//BC,AZ)=2BC=2CD=4,PC=275.ARAZ)

是正三角形.

（1）求证：CDYPA-,

（2）求A8与平面PCD所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）叵

4

【解析】（1）证明：•••△%£）是正三角形，AD=2CD=4,

PD=4,CD=2,

：.PC2=PD2+CD2^20:.CD上PD,

VADLCD,AD...C。，平面尸AD，

CD±PA；

（2）设点后是「。的中点，连接AE，延长。C、AB交丁点、H,连接

：MW是正三角形，，AE，PD,AE=26,由（1）得CD_L平面B4O,:.平面PCD_L平面PAD，

二AE_L平面PCD，

；•AB与平面PCD所成角为ZAHE,

ADA.CD,AD=2BC=2CD=4,

DH=4,AH=472,EH=\lAH2-AE2=26

EH

:.cosZAHE

~7H~4^24

二AB与平面PCD所成角的余弦值回

4

10.已知四棱锥P—ABC。的底面是边长为1的正方形，PO=1,P5=百,POLA8,E为PC的中点.

(1)证明：AD1PC；

(2)求直线AP与平面ACE所成角.

TT

【答案】(1)见解析(2)-

O

【解析】(1)由已知得：BD=O，：,PD?+BD?=3=PB。，：.PD1BD，

Y.PD1AB,且平面48CD,ABBD=B

：.PD_L平面ABCD,又ADu平面ABCD,：.ADrPD

又AD工DC,PDDC=D,PD,DCu平面PDC,故仞1.平面PCD.

：PCu平面POC,ADJ_PC；

(2)•:DP=DC，E为PC中点、，：.DELPC

PCIAD,且。E

/PAE是PA与平面/WE所成角

在R/AB4D中，|「4|=JL在RfABDC中，|0E|=g|pq=¥

\PE\1jr

：.sin/PAE=身=G.•.直线”与平面ADE所成角2.

\PA\26

【题组三二面角】

1.如图，在四面体ABCD中,AB=1,AD=2遮,BC=3,CD=2,/ABC=NDCB=F,则二面角A-BC-D的大小

2

为-

【答案】g

【解析】在4BDC中，BC=3,CD=21BCD=三,则BD=V13;

在2L4BC中，AB=1,BC=3,/ABC=],则AC=g：

又40=26，在2MB。中，BD2=AB2+AD2，则ZB4D=]；

过点B作BE〃以)，使BE=CD，连接/IE、DE，则四边形BEDC为矩形,BE=2，因为BC_L4B,BC1BE,

贝i]BC_L平面4BE,DE][BC,则DE_L平面4BE,则DE_L4E,AE=y/AD2-DE2=V3，在44BE中，

AE2+AB2=BE2,则=f,N4EB=£,4ABE=三，由于4BJ.BC,EB1BC,则为二面

角4-BC—D的平面角，且

2.如图，在三棱锥A—38中，A4BD为等边三角形，BC=BD,平面ABDJ_平面BCO且84_LBC.

C

(1)求证：BC1AD-.

（2）求二面角A-CD-B的正切值.

【答案】（D详见解析；（2）底.

【解析】（1）取30中点E，连接AE，则AELBD，因为平面平面BC。，平面AB0C平面

BCD=BD，4七（=平面4?。,4七_18。，则越_L平面88,所以AEL6C,又因为

ABA.BC,ABr>AE=A,则8C_L平面A8D,ADu平面.。，则8C_LA£）.

（2）过E作EFJ_C£）交CO于点尸，由（1）知咫0,AEcEF=E，所以CDL平面AE尸，AFu

平面AEF，则COLAF,所以Z4EE为二面角A—CD—8的平面角.因为三角形A3D为等边三角形，

令BD=2,则AE=G，EF浮则tanZAFE=祟好娓

一V

3.如图，在四棱锥S-A88中，SA_L底面ABC。，ABC。是边长为1的正方形.且S4=l,点M是SO

的中点.

（1）求证：SC1AM；

（2）求平面5AB与平面SC。所成锐二面角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）45.

【解析】(1)由题意，底面ABCD是正方形，，。。，人。.

&4_L底面ABCD，CDu平面ABCO,

QA£>ISA=A,\CD八平面SW.

四匚平面&1。，,41/_1。.

又S4=AQ=1,点M是SO的中点，.•.AA/LS。，

SOc8=。，，4W，平面SCO.

SCu平面SCO，..SCAM；

(2)法一：由题知AB>AD>AS两两垂直，以A3、A。、AS为了、>、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

则0(0,1,0),加尾

则AB=1，AD=AS=\，

UUU

AT>_L平面ASB,则AO是平面ASB的一个法向量，A£)=(0,1,0),

uutr(][

由(1)知AWJ_平面SCD,.•.A〃是平面SCO的一个法向量，且AM=0；，5

UIILIUllUl

,uinruu"，AMAD1

二cos(AM,ADuuir

uuo一疗

AMAD2

因此，平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小等于45；

法二：过S引直线SE，使得S£〃A3,则SE〃CD,

，SEu平面&R,SEu平面SCD，:.SE就是平面SAB与平面SCO所成二面角的棱.

由条件知，ABVAD,AB_LAS，己知AScAO=A,则43_L平面SAD.

由作法知SH/AB,则SE,平面SAD,所以AS_LSE，SEVSD,

ZASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角.

在汝ASAO中，NASD=45°，,平面S48与平面SCZ）所成锐二面角的大小等于45.

4.已知四棱锥P—ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点.

（1）求证：BD±AE

（2）若点E为PC的中点，求二面角D—AE-B的大小.

27r

【答案】（1）证明见解析；（2）—.

3

【解析】（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,

侧棱PC_L底面ABCD,且PC=2.

连结AC,；ABCD是正方形，ABDIAC.

,.,PC_L底面ABCD,且BDu平面ABCD,ABD1PC.

又：ACDPC=C,平面PAC.

：AEu平面PAC..\BD±AE.

(2)解法1：在平面DAE内过点D作DF_LAE于F,连结BF.

VAD=AB=1,DE=BE=7I7I=0，AE=AE=3

/.RtAADE^RtAABE,

从而AADF丝△ABF,.\BF1AE.

AZDFB为二面角D-AE-B的平面角.

在R3ADE中，DF=QDE=1义£=旦...^产=也

AE33

又BD=0,在ADFB中，由余弦定理得

DF2+BF--BD2]_

cosZDFB=

2DFBF2

：.ZDFB=—,即二面角D-AE-B的大小为坦

33

解法2：如图，以点C为原点，CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),

A(1,1,0).B(0,1,0),E(0,0,1).

从而加=(OJO)，DE=(—10,1)，BA—(1,0,0),BE~(0,—1,1).[Z#x设平面ADE和平面ABE

的法向量分别为"=(xl,y1,zl),々=(x2,y2,z2)

=0X=0

山｛取马=(1,0,1)

一X|+Z|—0

心•BA—0x=0

由｛一n｛7一7取巧=（0,—1,7）

%-BE=0—%+Z2=°

。-11

设二面角D—AE—B的平面角为0,则COS。=时曾=乃耳=--,

A9=—,即二面角D—AE—B的大小为二

33

5.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面是边长为。的正方形，侧棱PD=a,PA=PC=0a,求证:

（1）平面ABCO；

（2）平面QACJ_平面P8£）；

（3）二面角？一8。一。的平面角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45

【解析】（1）PD=a,DC=a,PC=®i,:.PC2=PD?+DC。.

.-.PDA.DC.

同理可证PD±ADQADr^DC=D,

.•.?D_L平面ABCD

（2）由（1）知尸。，平面488,4?<=平面488，；.。。，4。.

•••四边形ABCD是正方形，二4。_1瓦>

又Q30cPZ）=。，..ACJ"平面PM.

又^。匚平面^^^上平面小0,平面正如.

（3）由（1）知尸£>_!_平面A6CO,3。匚平面488，，。£>_18。.

又QBC，。C,尸。c。C=。，.•.BCJ_平面尸。C.

.•.NPC£）为二面角P—BC—D的平面角.

在RtPDC中，PD=DC=a,:.ZPCD=45°.

/.二面角P-BC-D的平面角的大小为45。.

6.如图所示，在棱台ABC。—A4G。中，MC£>=2A5=25C=2A4|=4A5|,

ZABC=/BCD=90°

（1）求证：^DIBC,；

（2）求二面角。一4。一4的大小.

TT

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】（1）连接AR,设8=4,

因为GR//C。，CD//AB.所以G2//AB,

又=所以四边形A5G0是平行四边形，则5G//AR,

在底面A5CD中，CO=4且CD=2AB=2BC，

所以A3=2,BC=2,又由NABC=NBCD=90°,可得49=2及，

又由。。=44瓦=4,所以44=1,所以

因为明，平面ABCO，所以同理可得AA，A2，

._..ADrr

在直角AD41A中，可得1@11/。44=:元=42,所以NZ）AA=45,

在直角物例中，可得tan/AAA=有_=5，所以NR4A=45,

所以NDAA+tanN0A41=90,所以

所以4OL8G；

（2）在直角梯形A8CO中，由CD=2A5=28C,可得ACL4O，

又ACJ.AA,所以AC_L平面A4QQ,

故A4AD为ACA,。在平面例。。内的射影三角形，

设8=4,则弘。=2&，SgD=4日

S2^2m21

设二面角C-AO-A的平面角为。，则cose=~^~=：后2=；，

SACAD4V2m-2

7T

又因为二面角。一4。—A为锐二面角，所以。=§.

7.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCD是菱形，P4_L底面ABCD.

（I）证明：BDLPC-,

（II）若NBA。=NBPA=60°，求二面角P—C。—A的余弦值.

【答案】（I）见解析（H）型3

13

【解析】（I）证明：连接AC，

,:PA底面ABCD.B£>u底面ABCD.：.BD1PA.

•.•四边形ABCD是菱形，，AC.

又•••％AC=A,Q4u平面B4C，ACu平面尸AC,

/.8D_L平面PAC，

BD1PC

(II)作AE_LCO,交CD的延长线于E，连接PE.

由于AE_LCD,P4，Cr>,AEPA=A,于是C£>_L平面P4£，

c

(2尸£<=平面24£，..尸£_18,

所以二面角P-CD-A的平面角是ZPEA.

设PA=T,

ABAD=ZBPA=60°I［底面ABCD是菱形,

：.BA=AD=6"AE=3O°

AE=cos30AD=-,PE=PA2+AE2=―

22

.•.c°s/PEA=^=迹

PE13

8.如图，四边形ABC。是棱长为2的正方形.E为AO的中点，以CE为折痕把ADEC折起，使点。到达

点P的位置，且点P的射影。落在线段AC上.

⑴求”

AO

(2)求二面角P-CE-A的余弦值.

CO2

【答案】（1）—=2；（2）-

AO3

【解析】（1）如图，点P的射影。落在线段AC上，.•.尸。，平面ABC,过点P作尸尸JLCE交CE于点

F,连接F。，则OE_LCE,

由已知条件，在RtAPEC中，PE=1，PC=2,则EC=JPE2+PC?=>4+1=石，

PF=里匹耳二日

EC755

在RfAPB中，CF=《PC?-PF?

在AAEC中，cosZACE=+一-=(")+/反)厂-，=2河，

2EC-AC2xv5x2V210

CF

在RZAOR7中，CO=---------=-V2,:.AO=AC—CO=2血—之也=马应,

cosZACE333

CO

=2.

~A0

（2）由（1）知NPEO为二面角P-CE-A的平面角，又

OF7c。2—CF?土生,在&APEO中,