数学选修1-1变化率与导数练习题含答案

数学选修1-1变化率与导数练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.已知某物体的运动曲线方程为：S=2t2-3t-l,则该物体在t=3时的速度为（）

A.8B.9C.10D.11

2.已知函数/（x）,当自变量x由&增加到苑时，函数值的增量与自变量的增量的

比值为（）

A.函数在X。处的变化率

B.函数在区间[沏，X。+△x]上的平均变化率

C.函数在％）+△x处的变化率

D.函数在沏处的导数

3.当自变量x足够大时，下列函数中增长速度最快的是（）

A.y=exB.y=InxC.y=x2D.y=2X

4.设/（x）是可导函数，且0”"。）喘。""）=2,尸（沏）=（）

A.-4B.•—1C.OD.-

2

5.函数/'（x）=|x|,在x=0处（）

A.无定义B.极限不存在C.不连续D.不可导

6.若f'Qo）=-3,则lim/8+八）》-3.等于（）

/1->0九

A.-3B.-6C.-9D.-12

7.设P为曲线C:y=/+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是

[0,：,则点P横坐标的取值范围是（）

11

B.[-l,0]C.[0,1]D.[-,1]

8.己知函数/（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设华警=a,则下列不等式正

4—2

确的是（）

A.a</(2)<尸(4)B.尸(2)<a<尸(4)C./(4)<f'(2)<a

D.尸⑵<f'(4)<a

9.已知直线y=ax+2a与曲线y=ln(x+2)相切，则a的值为()

A.lB.2C.-D，4

ee2

10.水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为2.5小时，圆面积的膨胀率是(

A.7T7n2/sB.1.57im2/sC.27rm2/sD.2.5irm2/s

11.某物体其运动方程为s=2t3,则物体在第t=3秒时的瞬时速度是.

12.质点运动的速度。=(18t-3t2)m/s,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程

是.

13.一质点沿直线运动，如果有始点起经过t秒后的位移为S=gt3-|t2+2t,那么三

秒末的瞬时速度为

14.如图，函数/(x)的图象是折线段力BC,其中4,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),

(6,4),KUlim

Ax

15.小。)=2,求，二o®翳3的值——

试卷第2页，总26页

16.给出定义：若函数/(久)在。上可导，即/'(%)存在，且导函数/'(%)在。上也可导，则

称/(%)在。上存在二阶导函数，记r'。)=(f(x))若尸(无)<0在。上恒成立，则称

/。)在。上为凸函数.以下四个函数在(0,今上不是凸函数的是.(把你认为正

确的序号都填上)

①/(%)=sinx+cosx；

(2)/(%)=Inx—2%；

③f(%)=-x3+2r—1；

(4)/(%)=xex.

17.已知函/(x)是可导函数，且((a)=l,则」?1a卷絮等于

18.已知/(%)=logax(a>1)的导函数是/''(X),记4=/'(a),8="二［二①，C=

/'(a+l),则由导数的几何意义和斜率公式可得4B,C的大小关系是.

19.函数f(x)的导函数/'(x)在R上恒大于0,则对任意与，孙(修丰和)在R上‘区)-'02)

的符号是(填"正"、"负")

20.某部战士以如rn/s的初速度从地面竖直向上发射信号弹，ts后距地面的高度九小由

h(t)=%1-4.9户表示，已知发射后5s时信号弹距地面245m,则信号弹的初速度北等

于m/s,信号弹在245nl以上所持续的时间为s.

21.已知函数/'(x)=合+1,

(1)求在区间［L2］上f(x)的平均变化率;

(2)求/(x)在x=1处的导数.

22.(1)若/'(x+h)-/(x)=2八x+5h+F,用割线逼近切线的方法求/''(X)；22.

(2)若+九)一g(x)=3九/+3九2%+九3,用割线逼近切线的方法求g<%).

23.已知函数f(x)=2M+3,分别计算函数/(x)在下列区间上的平均变化率：

(1)［2,4］；

（2）[2,3]；

(3)[2,2.1]；

(4)[2,2.001].

24.根据导数的几何意义，求函数y=-%2在x=1处的导数.

25.一杯8CFC得热红茶置于20。。的房间里，它得温度会逐渐下降，温度T(单位。C)与

时间t(单位min)之间的关系由函数7=/(t)给出，请问

的符号是什么？为什么？

(2)/(3)=-4得实际意义是什么？如果/(3)=65(。。)，你能画出函数在点t=3时图象

得大致形状吗？

26.已知一次函数y=/(x)在区间［-2,6］上的平均变化率为2,且函数图象过点(0,2),

试求此一次函数的表达式.

27.设函数/"(X)在x=1处存在导数为2,则如为空嘿严=.

28.

已知二次函数/(X)=ax2+版+c(c>0)的导函数的图象如图所示:

(1)求a,b的值；

(2)令g(%)=哈求〉=9(%)在［1,2］上的最大值.

29.设函数/(%)=9219(及，若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和

(X+D(X>1)

该函数的最小值.

试卷第4页，总26页

30.子弹在枪膛中的运动可以看作是匀变速运动，其位移与时间t的关系是s=^at2,

如果它的加速度是a=5x105m/s2,子弹从枪口射出时;所用的时间为曲=1.6x

10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.

31.设/'(%)在x=处可导，求极限「叫⑶.

XX~XQ

32.过函数y=3(%)=炉图象上两点P(l,1)和Q(1+△x,1+△y)作曲线的割线.

(1)求出当△%=0.1时割线的斜率.

(2)求y=/(x)=/在%=%处的瞬时变化率.

33.一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S=^+2t2,试用导数的定义

求t=3时的速度.

34.求曲线/(%)=%3-3/+2%过原点的切线方程.

35.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=/和y=ax2+-9都相切，求实数a的值.

'sinax八

/，—7T<X<0

yl-cosx

36.设f㈤=b,x=0连续，求a,b.

§(In%—ln(%2+%),%>0

37.如果曲线y=x34-%-10的某一切线与直线y=4%+3平行，求切点坐标与切线方

程.

38.航天飞机升空后一段时间内，第ts时的高度九(。=5£3+30/+45£+4,其中无的

单位为?n,t的单位为s.

(1)h(0),h(l),h(2)分别表示什么？

(2)求第2s内的平均速度;

(3)求第2s末的瞬时速度.

39.若曲线/(%)存在垂直于y轴的切线，且(。)=2/+3-20，求实数a的取值范围.

40.已知函数/*(%)=/+(1—Q)%2—以。+2)%(。七R),^(x)=^-x是否处在实

63

数a,存在%iG[-1,1],x2e[0,2],使得+2axr=g(%2)成立?若存在，求出a

的取值范围；若不存在，说明理由.

试卷第6页，总26页

参考答案与试题解析

数学选修1-1变化率与导数练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

B

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，

解答本题可以先求质点的运动方程为s(t)=2t2-3t-1的导数，再求得t=3秒时的导

数，即可得到所求的瞬时速度

【解答】

解；质点的运动方程为s(t)=2t2-3t-l

s'(t)=4t-3

,1,该质点在t=3秒的瞬时速度为4X3-3=9米/秒.

故选B.

2.

【答案】

B

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

当自变量从X。变到修时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间

［x0,和+Ax］上的平均变化率.

【解答】

解：当自变量从X。变到与时，

函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间口0,X。+△X］上的平均变化率.

只有当久0变到工1的变化量趋向于。时，

函数值的增量与相应自变量的增量之比的极限值才是函数在区间［沏,%0+△X］上的导数.

故选:B.

3.

【答案】

A

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

直接根据基函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论.注意2个底数都大于1

的指数函数，底数较大的，增长速度更快.

【解答】

解：由于y=ex是指数函数，y=lnx是对数函数，丫=必是幕函数，y=2、是指数函

数，

由于当x足够大时，指数函数的增长速度最快，且2个指数函数的底数分别为e和2，且

e>2.

故增长速度最快的是y=e，，

故选4.

4.

【答案】

A

【考点】

导数的概念

【解析】

由导数的概念知[。0)=_二/七产?由此结合题设条件能够导出广(期))

的值.

【解答】

解.一_1Hm/(x0)-/(x0+Ax)_2

2—%T8-AX'

.f，(x)_lim“xJ-fg+Ax)__4

一八OJ——△x-8-AX

故选4.

5.

【答案】

D

【考点】

导数的概念

【解析】

由在x=0处左侧的导数小于零，在％=0处右侧的导数大于零，根据导数的定义可知

在x=0处不可导.

【解答】

解：当x>0时，f(x)>0,当x<0时，f(%)<0,根据导数的定义可知函数/(x)=

|x|,在x=0处导数不存在，

故选。.

6.

【答案】

D

【考点】

导数的概念

【解析】

根据limf(Xo+/i)-f(Xo-3h)_limr.f(Xo+4m)-f(x。)]_lim(f(Xo+4m)-f(Xo)、_

iJhT0h_h-»0L4^J-m-»0V4^)_

4r(&)，利用条件求得结果.

【解答】

解：••・/(勺)=一3,

则limf(Ko+fi)-f(如-3h)_Hm14•/(No+W-fa。)]

h-»0hh->0L4h1

d(x0+4.)-"x

=4|im。))=4f'(x0')=4x(-3)=-12.

/l-»04”

故选8.

7.

试卷第8页，总26页

【答案】

A

【考点】

导数的几何意义

【解析】

根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到

点P横坐标的取值范围.

【解答】

解：设点P的横坐标为々，

y=x2+2x+3,

=

y'\x=x0+2，

利用导数的几何意义得2&+2=tana(a为点P处切线的倾斜角)，

又；ae[0,^],0<2x0+2<1,

•1•x0G[—1,-

故选：A.

8.

【答案】

B

【考点】

导数的几何意义

【解析】

根据导数的几何意义结合题目所给图象即可判断.

【解答】

解：由图象可知，函数在(0,+8)上增长越来越快，故函的斜率越来越大，

...生&=如

4-2

f'(2)<a<尸(4).

故选B.

9.

【答案】

C

【考点】

导数的几何意义

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：y'=京=见

解得x=Z—2,

a

••-2)+2Q=ln(~4-2—2),

解得a=3

e

故选c.

10.

【答案】

D

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，计算水波半径是2.5

时的时间，求出对应的导数即可.

【解答】

解：水波的半径以u=0.5m/s的速度向外扩张，

则水波的面积为s=71r2=rr(vt)2=0.25nt2,

又水波面积的膨胀率为丁=0.5兀3

所以当半径为2.5m时，

此时s'=0.5TTx5=2.5TT,

即半径为2.5M时，水波面积的膨胀率是2.57rm2/s.

故选D.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

54

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

利用导数的物理意义即可得出.

【解答】

解：V=s'=6t2,

当t=3时，v(3)=6x32=54.

故答案为：54.

12.

【答案】

108

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

由速度为0求出t的值为0和6,求出速度函数在［0,6］上的定积分即可.

【解答】

由18t—3t2=0,得t=0或t=6.

当te［0,6］时，质点运动的路程为S=J；(18t-3t2)dt=(9t2一/)传=-63+9x

62=108；

13.

【答案】

2

【考点】

试卷第10页，总26页

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意，对S=：t3一|t2+2t进行求导，然后令t=3代入即可得到答案.

【解答】

解：s=t3--112+2t,,5'=/—3t+2

当t=3时，i;=s'=9-9+2=2

故答案为：2.

14.

【答案】

-2

【考点】

导数的几何意义

导数的概念

【解析】

由导数和切线斜率的关系，求极限可得.

【解答】

解：由导数的概念和几何意义，知lim地学^=:（1）=心B=工=一2.

故答案为：—2.

15.

【答案】

-1

【考点】

导数的概念

【解析】

先将limf（x°3）-“x。）化成工limf（x03）-f（x。），而尸（）=

△%T02AX、21%T0-AXJ

lim-T（x。）,从而求出所求.

△%T0fX

【解答】

板lim/（X-AX）-/（X）,ixlim/（X-AX）-/（X）I

解：.1一。~00=（一0△久—000=一鼻/（与）一一11

故答案为：—1

16.

【答案】

④

【考点】

导数的概念

【解析】

①由/'"（X）=-（sinx+cosx）且x6（0,1）时,f"（x）＜0恒成立；符合定义

对于②，（'。）=一点'且在x6（0（）时，/口）＜0恒成立；符合定义

对于③，PM=-6x,在x6（0,今时，/（x）＜0恒成立；符合定义

对于④，f'M=(2+X)•1在Xe(0,今时「'(X)>。恒成立，不符合定义

【解答】

解：对于①，/"(x)=—(sinx+cosx),x€(0,])时，

尸(x)<0恒成立；

对于②，/"(乃=-壹，在x€(0,今时，尸(x)<0恒成立；

对于③，/"W=-6x,在xe(0,，时,广0)<0恒成立；

对于④，r'(x)=(2+x)•靖在xe(0,乡时广(x)>0恒成立,

所以/'(%)=%靖不是凸函数.

故答案为：④

17.

【答案】

1

2

【考点】

导数的概念

【解析】

利用导数的定义，函数在某点处的导数，就是在该点处函数的增量与自变量的增量的

比，求出/''(a),再根据"m粤华与广(°)的关系，求出“m号守

%TQ2(x-a)vX->a2(x-a)

【解答】

解：•••f(a)=lim^^=1

X->a(x-a)

乂.limf(x)-f(a)_ilimf(x)-f(a)_if,(a、=1

'X-»a2(x-a)2x->a(x-a)2'I,2

故答案为:

18.

【答案】

A>B>C

【考点】

导数的几何意义

【解析】

设M坐标为(a,/(a)),N坐标为(a+l,f(a+l)),利用导数及直线斜率的求法得到

A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根

据对数函数的图象可知大小，得到正确答案

【解答】

解：记M(a,/(a)),N(a+1,/(a+1)),则由于B=表示直线MN的斜

率；A=/(a)表示函数/Xx)=logy在点M处的切线斜率；C=r(a+1)表示函数

/(x)=log/在点N处的切线斜率.

所以4>B>C.

故答案为：A>B>C.

试卷第12页，总26页

19.

【答案】

正

【考点】

导数的几何意义

【解析】

根据函数的导数的符号，判断函数的单调性，以及函数的割线的斜率进行求解即可.

【解答】

解：•.・函数/(x)的导函数/'(无)在R上恒大于0,

.1,函数f(x)为增函数，

即函数f(x)在定义域上的割线斜率k=区止3>0,

X1-X2

故答案为：正

20.

【答案】

73,5

【考点】

导数的几何意义

【解析】

根据h(t)=q)t-4.9t2,令t=5s,可求初速度%;再根据九(t)>245,可得不等式，

从而问题得解.

【解答】

解：由题意：t=5s,/i(5)=5v0—4.9x25=245,v0=73.5m/s,

又73.5t-4.9t2>245,BPt2-15t+50<0,二5<t<10,

故答案为73.5,5

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

解：⑴/(x)=x2+1,/(I)=2,/(2)=5

该函数在区间口，2］上的平均变化率为咨=3,

2—1

(2)((x)=2x,

•••八1)=2

【考点】

导数的运算

变化的快慢与变化率

【解析】

(1)利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函

数在区间［L2］上的平均变化率.

(2)先求导，再代入求值即可.

【解答】

解：(I)：/(x)=x2+1,/(I)=2,/(2)=5

该函数在区间［1,2］上的平均变化率为咨=3,

2—1

(2)f'［x)=2x,

・•.f(1)=2

22.

【答案】

/(%+/!)—/(%)

r(x)=lim

h

2hx—5h+h2

=lim---------；---------=lim(2x—5+h)

zoh/i->o

—2x—5.

g(x+h)—g(x)

g，(x)=lim

h

3hx2+3/i2+h3

=lim

h->0h

=hm(3x2+3h+h2)

=3x2.

【考点】

变化的快慢与变化率

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

根据导数的定义直接计算即可.

【解答】

(⑺=盘h

2hx—5九+M

limHm(2%—5+九)

h->0h

=2x—5.

g(x+/i)-g(%)

g'（"）=您h

3hx2+3h2+h3

=lim

7l->0h

=Hm(3x2+3九+h2)

=3x2.

23.

【答案】

解：（1）函数f（x）在［2,4］上的平均变化率为华岩=12；

4—2

（2）函数"X）在［2,3］上的平均变化率为塔芈=10；

3—2

（3）函数/（x）在［2,2.1］上的平均变化率为然乎=82

（4）函数〃%）在［2,2.001］上的平均变化率为半需芈=8.002.

【考点】

试卷第14页，总26页

变化的快慢与变化率

【解析】

利用函数值的增量与自变量的增量的比，即可求得在区间上的平均变化率.

【解答】

解：(1)函数f(x)在［2,4］上的平均变化率为华12；

4—2

(2)函数f(x)在［2,3］上的平均变化率为电警=10；

3—2

(3)函数/(%)在［2,2.1］上的平均变化率为=82；

2.1—2

(4)函数/(均在［2,2.001］上的平均变化率为“20°1)-"2)=8.002.

2.001—2

24.

【答案】

解：y'=(V4—x2y=［(4-可'=-(4—%2)~x(—2%),

在x=1处的导数为*4-12)4X(-2)=-与.

【考点】

导数的几何意义

【解析】

根据求导公式和复合函数的求导法则求函数的导数，再把x=1代入求值即可.

【解答】

解：y'=(V4—x2\—［(4—X2)2］Z=|(4—x2)~X(-2X),

在x=1处的导数为*4-12)4x(-2)=-y.

25.

【答案】

解：(i)r(t)<o,其意义为在t附近函数值的瞬时变化率，/为负数，说明

八。的值在t附近递减，

原因是红茶的温度在下降.

(2)v/(3)=-4,

尸(3)=-4的实际意义是：在3min附近红茶温度约以4°C/min的速率下降.

/(3)=65(@,f(3)=-4,

函数在t=3处为递减，可以作一个简单的图象.

【考点】

导数的几何意义

函数的概念及其构成要素

【解析】

(1)根据题意可得尸(t)的符号为负值.

(2)根据导数的几何意义进行判断即可.

【解答】

解：(l)f'(t)<0,其意义为在t附近函数值的瞬时变化率，f'(t)为负数，说明

f(t)的值在t附近递减，

原因是红茶的温度在下降.

(2)--/'(3)=-4,

1(3)=-4的实际意义是：在3min附近红茶温度约以^C/min的速率下降.

•••/(3)=65(℃),广(3)=-4,

.­.函数在t=3处为递减，可以作一个简单的图象.

26.

【答案】

解：设/(%)=/^+匕，丫/(%)的平均变化率为2,J.k=2.

又；/(x)图象过点(0,2),b=2.

/./(%)=2%+2.

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

一次函数的变化率为X的系数，使用待定系数法解出.

【解答】

解：设/0)=/«;+从・.・/(X)的平均变化率为2,J.k=2.

又：f(x)图象过点(0,2),二6=2.

/(%)=2x+2.

27.

【答案】

2

3

【考点】

极限及其运算

导数的概念

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：in-MD

AX^O34%

1/(l+zlx)-/(l)

=彳lim

3Ax

=1r(i)

_2

一3

故答案为：|.

28.

【答案】

解：(1)因为r(X)=2ax+b,

由图可知，f'(x)=2x+l,

2a=2,

由

b=1,

试卷第16页，总26页

解得色=L

(b=1.

(2)g(x)=gl=号£=x+?+i,

则或x)=l十"等"

①若VFw1,即0<cW1时，

式x)>0,g(x)在［1,2］上递增,

故g(x)max=g(2)=：C+3;

②若1<Vc<2,EPl<c<4,

当14x<时、g'(x)<0,

此时g(X)单调递减；

当V?<x<2时，g'(x)>0,

此时g(x)单调递增;

又g(l)=c+2,g(2)=gc+3，

所以当1WCW2时，g(l)<g(2),

即g(x)max=g(2)=：C+3;

当2<cW4时，g(l)>g(2),

即g(X)max=g(l)=C+2;

③若&N2,即c24时，

g'(x)<0,g(x)在［1,2］上单调递减，

故g(%)max=g(l)=C+2;

综上所述，

。(乃2=修+3,。<鹏2，

c+2,c>2.

【考点】

导数在最大值、最小值问题中的应用

导数的概念

利用导数研究函数的单调性

函数解析式的求解及常用方法

【解析】

(1)先求出/'(x)=2ax+b,根据图象可得/'(x)=2x+l,由此可得a,b的方程组;

(2)由(1)先求出g(x),从而可得g'(x)="等立分正<1,1<正<2,

近22三种情况进行讨论，根据导数符号与单调性的关系可得最大值；

【解答】

解：(1)因为/■'(»=2ax+b,

由图可知，f(x)=2x+l,

2a=2,

由

b=1,

解得卜二L

(b=1.

(2)g(x)=gl=号£=x+?+i,

则或x)=l十"等"

①若VFw1,即0<cW1时，

式x)>0,g(x)在［1,2］上递增,

故g(x)max=g(2)=：C+3;

②若1<Vc<2,EPl<c<4,

当14x<时、g'(x)<0,

此时g(X)单调递减；

当V?<x<2时，g'(x)>0,

此时g(x)单调递增;

又g(l)=c+2,g(2)=gc+3，

所以当1WCW2时，g(l)<g(2),

即g(x)max=g(2)=：C+3;

当2<cW4时，g(l)>g(2),

即g(X)max=g(l)=C+2;

③若&N2,即c24时，

g'(x)<0,g(x)在［1,2］上单调递减，

故g(%)max=g(l)=C+2;

综上所述，

。(乃2=修+3,。<鹏2，

c+2,c>2.

29.

【答案】

解：依题意f'(l)=2+Q=1,且％?1+/(%)=/(I)=1+Q，

a=b=—19

•心=俨2_%(%<1)

一八)一晨-1(%>1)'

当％>1时，/(%)>0,

当％W1时，f(x)=%2-X=(%-i)2-i>-i,

244

可得函数的最小值是/(》=-%

【考点】

导数的概念

函数的最值及其几何意义

【解析】

由题意函数=对其进行分段求导，求出a,b的值，然后根据二

试卷第18页，总26页

次函数的性质求出最小值.

【解答】

解：依题意f'(1)=2+a=1,且尤?]+/(x)=/(I)=1+a,

a=b=­1,

.、(x2-x(x<1)

••/(X)=lx-l(x>l))

当%>1时，f(x)>0,

当工工1时，/(%)=%2—%=(%—|)2—

可得函数的最小值是用)=/

30.

【答案】

子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据导数的物理意义即可求出.

【解答】

52-3

解：；a=5x107n/s>t0=1.6x10s

5-3

v(t0)=s'=at0=5x10x1.6XIO=800m/s,

31.

【答案】

解：由题意知，当x趋近X。时，分子和分母都趋近与0

根据洛必达法则此时函数极限=会等,

(%/(%0)-&/(%))'=/(%0)-%0((%)，

(%—xoY=1'

极限「m%，(%0)-%0〃乃

=/(X0)-Xof(Xo).

X-XQX-XQ

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据洛必达法则即可求出.

【解答】

解：由题意知，当x趋近X。时，分子和分母都趋近与0

根据洛必达法则此时函数极限=察罢,

(%/(&)-%of(%))'=/(%0)-%0((%)，

(X—XQY=1,

极限Hm%/(%o)-%oP(x)

=/(x0)-XofCxo).

X—XQX-XQ

32.

【答案】

解：(1)当△x=0.1时，1+AX=1.1;

故1+”=1.13=1.331；

故"=詈£=3.31.

(2)蓑=性土黑人=AX3+3A：；°+3A*=3就+3&△X+(△x)2.

则/(3=，］0t=0(3x°+3xo△尤+(△X)2)=3x§

【考点】

导数的几何意义

变化的快慢与变化率

【解析】

(1)由题意，当△x=0.1时，1+Ax=l.l；故1+△;/=143=1.331；从而求斜率.

(2)利用瞬时变化率的意义，利用极限进行求解即可得出.

【解答】

解：(1)当△x=0.1时，1+△;(:=1.1；

故1+Ay=1.13=1.331；

故kpQ=詈£=3.31.

(2)丝=拿吐三尸一城="23竺2和±3绐殛=3诏+3&△X+(△x)2.

△XAXAXUUk/

则詈=(以+△△2诏

-Qo)=Aoo33x0X+(x))=3

33.

【答案】

323

27,

【考点】

导数的几何意义

【解析】

函数在某个点的导数值就是瞬时速率，先求出函数的导数，

在导数表达式中令t=3可得t=3时的速度值.

【解答】

解：•••5=t-1-t-2+2t2：.S'=-t-2+2t~3+4t=4+4+4t>

t,3

1=3时5'=二+2+4*3=皑

92727

34.

【答案】

解/0)=3/-6%+2.设切线的斜率为k.

(1)当切点是原点时k=f(0)=2,

所以所求曲线的切线方程为y=2x.

(2)当切点不是原点时，设切点是(3,y()),

则有y0=瑞-3xo+2%o,k=f'(%o)=3%0-6%o+2,①

试卷第20页，总26页

又k=—=XQ—3x+2,②

XQ0

由①②得Xo=|,卜=瓷=/

NXQ4

所求曲线的切线方程为'=一;也

故曲线的切线方程是y=2x；y=—；x

【考点】

导数的几何意义

【解析】

求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分原点是切

点和原点不是切点两类求.

【解答】

解/'(x)=3X2-6X+2.设切线的斜率为k.

(1)当切点是原点时k=f(0)=2,

所以所求曲线的切线方程为y=2x.

(2)当切点不是原点时，设切点是(X。,y。)，

则有yo=瑞-3诏+2x0,k=1(a)=3诏-6x0+2,①

又k=—=-3x+2,②

x00

由①②得%0=|，上=瓷=-%

NXQ4

所求曲线的切线方程为丫=—

故曲线的切线方程是y=2x；y=-ix

35.

【答案】

解：设直线与曲线y=/的切点坐标为(xo，y。)，

,y-X3

则4=3＞则切线的斜率卜=3就=°或k=多

30一1

若k=0,此时切线的方程为y=0,

,(y=°

=ax2+-9，

消去y,可得a/+六-9=0,

其中A=0,即第2+36a=0,

解可得a=一2

64

若k=*其切线方程为y=”Q—l)，

Jy=*x-i)

由《t15

ly=ax£4-—x—9

消去y可得a——3%—I=0,

又由△=(),即9+9Q=0,

解可得a=-1.

故a=一"或-1.

64

【考点】

导数的几何意义

【解析】

设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据

切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可

求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线

方程，再根据与旷=。/+?%—9都相切，联立方程组，△=()可求出所求.

【解答】

解：设直线与曲线y=%3的切点坐标为(沏,")，

则3.则切线的斜率卜=3福=。或k=系

若k=0,此时切线的方程为y=0,

,(y=°

I(y=ax2+当x-9，

消去y,可得ax?+中刀一9=o,

其中△=(),即第2+36a=0,

解可得a=-g；

64

若k=*其切线方程为y=§(x-l),

Jy=i(%T)

15

由J2.Q，

y=ax£+—x—9

消去y可得Q/—3x--=0,

4

又由△=(),即9+9a=0,

解可得a=—l.

36.

【答案】

解：根据题意，x?o+/（x）=x?o-f（x）=f（°）=b，

2

limInx-ln（x+x）|im12x+1

%->0+xx0+xx2x

lim-i1

=---=—1,

%T0+x+l

试卷第22页，总26页

因此，b=-1,

寸七limsinaxlimsinax

又有XT0-斥施

%-0-V2sin^

=%雪-(普金缶)=-&

所以，-&a=-l,a=1,

故a=b=-1.

2

【考点】

函数的连续性

导数的概念

【解析】

limHm

问题等价为：n+/(x)=n_/(x)=/(0)=b,再直接求函数在x=0处的左右

XT0

极限即可.

【解答】

解：根据题意，x?o+f(x)=x?0-f(x)=f(O)=b，

2

limInx-ln(x+x)|im12x+1

%->0+xx0+xx2+x

_limn_

一XTO+U=T，

因此，b=-1,

▽右limsinax__limsinax

XT。-Vl-cosx%tCPV2sin^

=%雪-(普+缶)=-&

所以，—&Q=­1,a=-y,

故a=¥，b=f

37.

【答案】

解：,・・切线与直线y=4x+3平行，斜率为4

又切线在点沏的斜率为y'l,o

3瑶+1=4,；.&=±1,有｛.=%或q°=一3

•••切点为(1,-8)或(-1,-12),

切线方程为y+8=4(x-1)或y+12=4(x-1),

即y=4x-12或y=4x—8.

【考点】

导数的几何意义

【解析】

利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率

求出切线斜率，列出方程解得.

【解答】

解：丫切线与直线y=4x+3平行，斜率为4

又切线在点&的斜率为y'1,o

3x^+1=4,x0=±1,有｛。=，8'或

切点为(1,-8)或(-1,-12),

切线方程为y+8=4(x-1)或y+12=4(x-1),

即y=4x-12或y=4x—8.

38.

【答案】

h(0)表示航天飞机发射前的高度；

攸1)表示航天飞机升空后1s的高度；

%(2)表示航天飞机升空后2s的高度；

(2)航天飞机升空后第2秒内的平均速度为"="噌(。)=5X23+3°X：+"X2+4=

2—0