数列求通项与求前n项和公式高中数学解题方法含详解

试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages33页数列求通项与求前n项和公式高中数学解题方法一、单选题1．在等比数列中，，，则（）A．0 B．1 C．2 D．42．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．3．已知数列中，前项和为，点在函数的图象上，则等于（）A． B． C． D．4．等比数列的前项和为，若(为常数)，则（）A．2 B．3 C．4 D．55．数列中，，，则（）A． B． C． D．6．已知数列的通项公式，则数列的前项和取最小值时，的值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（）A． B． C． D．8．已知数列满足，，数列满足，，则（）A．64 B．81 C．80 D．829．已知数列满足，(，)，则数列的通项（）A． B．C． D．10．在数列中，，，，则（）A． B． C． D．11．若为常数），且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．12．数列通项公式为：，则中的最大项为（）A．第1项 B．第1010项 C．第1011项 D．第1012项13．已知数列{an}的通项公式是an＝3n－16，则数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n的值为()A．3 B．4 C．5 D．614．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．1615．对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．16．已知数列满足，则的值所在范围是（）A． B． C． D．17．在数列中，，，，且，则（）A． B． C． D．18．数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A．64 B．80 C． D．19．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．20．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（）A．10 B．8 C．6 D．4二、多选题21．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（）A． B．C． D．22．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列 B．是等比数列C． D．23．已知数列的前项和为，且，，著不等式对任意的恒成立，则下列结论正确的为（）A． B．C．的最大值为 D．的最小值为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题24．已知等差数列中，，，则______________．25．已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________.26．设数列的前项和为，已知，则________________________．27．在数列，，，则_______.28．在数列中，，，则_________．29．设数列的前n项和为，，，则___________.30．已知数列满足，，则______．31．若数列满足，，________.32．已知数列满足，且，则等于__________.33．已知数列的前项和为，且，则等于___________.34．若数列满足，，，且，则______．35．已知数列的前项和为，且，则___________.36．已知等比数列的前项和，其中是常数，则__________.37．在数列，，，则_______．38．数列满足，且，则数列前项的和为_________．39．在数列中，，则___________.40．已知数列中，，，则______．41．已知数列，满足，，．设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为_________．42．若数列满足，若恒成立，则的最大值是______43．设为数列的前项和，满足，，其中，数列的前项和为，满足，则___________.44．已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为______．四、解答题45．已知数列满足恒成立.（1）若且，当成等差数列时，求的值；（2）若且，当、时，求以及的通项公式；（3）若，，，，设是的前项之和，求的最大值.46．在等差数列{an}中，（1）已知a6＝10，S5＝5，求a8；（2）已知a2＋a4＝，求S5．47．在各项都是正数的等比数列中，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前n项和，若，求正整数m的值．48．已知等比数列的前n项和为.（1）求m的值，并求出数列的通项公式；（2）令，设为数列的前n项和，求.49．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.50．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.51．已知数列的前项和为，且满足，（）．（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求（）．52．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.53．已知数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.54．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.55．已知数列{an}满足，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.56．设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．57．（1）已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an.（2）在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.58．已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和，求证：．59．已知数列{an}，a1=2，an+1=2an+3.（1）求证：{an+3}是等比数列.（2）求数列{an}的通项公式.60．已知数列满足，，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求的最小值.61．设数列的前项和为，已知.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足不等式的正整数的最小值.62．已知数列的前项和为，且对任意的，都满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最小项的值．63．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围.64．设是等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.65．已知数列的前n项和为，且.（1）设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，若，求.66．若数列的前项和为，且满足，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.67．数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若数列满足（）且，求的前项和．68．已知等差数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和.69．已知数列满足，，数列满足，．（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和，证明：．70．已知数列满足，.数列的前项和为.（1）证明：数列为等差数列；（2）求；（3）若不等式，对任意恒成立，求的取值范围.71．已知数列的前项和，，在等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的最大值.72．已知等差数列的前n项和满足，．（1）求的通项公式；（2）若数列的前n项和为．证明：．73．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且S3＝3S2+1.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足，求数列bn的前n项和Tn；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.74．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．75．已知数列前项和为满足，.(1)求通项公式；(2)设，求证：.76．已知在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．77．已知数列中，，，．（1）设，求数列的通项公式．（2）若，求数列的前项和.78．已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和79．已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求的通项公式．80．各项不为0的数列满足，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．答案第=page11页，总=sectionpages22页答案第=page11页，总=sectionpages22页参考答案1．C【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．【详解】解：在等比数列中，，，，解得，．故选：．2．C【分析】根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式.【详解】设公差为，依题意得解得所以故选：C3．A【分析】根据题意可得，再由与之间的关系即可求解.【详解】点在函数的图象上，则，当时，则，当时，，满足.故选：A4．C【分析】利用赋值法计算出结果.【详解】∵，∴令，得，∴.故选：C5．A【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，，，…，，以上各式相加得：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.6．B【分析】由求出的范围，即可得解【详解】解：令，则，解得，因为所以当时，，当时，，所以数列的前项和取最小值时，，故选：B7．A【分析】由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.8．A【分析】根据已知条件，结合目标数列的定义中的条件，探究数列的递推关系，得到，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，进而利用累加法求得.【详解】数列满足，可得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以，数列满足，，，，则.故选：.9．A【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．10．A【分析】对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解.【详解】在中，，由可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以，故选：A.11．D【分析】先判断在时恒成立，代入化简得在在时恒成立，再计算，即得结果.【详解】因为数列为单调递增数列，所以，在时恒成立.所以，即在在时恒成立，而时，，所以.故选：D.12．B【分析】数列的通项公式为，所以．由得，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列的通项公式为，所以．由，即且，，解得，故最大项为第1010项，故选：B．13．C【分析】由题意可得，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，可得，结合n∈N*解得即可.【详解】解：根据题意，得即解得≤n≤.∵n∈N*，∴n＝5，∴数列{an}的前n项和Sn的最小值为S5故选C.【点睛】本题考查数列前n项和，熟练掌握数列的基本性质是解决此题的关键.14．A【分析】将变形为，由等差数列的定义得出，从而得出，求出的最值，即可得出答案.【详解】因为时，，所以，而所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得所以，所以，即实数的最小值是2故选：A15．C【分析】由，可得进而求得，所以可得是等差数列，由可得，，即可求解【详解】由可得，当时，当时，又因为，两式相减可得：，所以，显然满足时，，所以，所以，可得数列是等差数列，由对任意的恒成立，可得：，，即可求解，即且，解得：，所以实数的取值范围是，故选：C16．B【分析】已知等式变形为，用累加法有，可得，，再变形为，由放缩法得，用累加法得．从而可得结论．【详解】由已知得，，所以，，所以，由得，，累加可得，所以，所以．故选：B．17．C【分析】由平面向量垂直的坐标表示推导出，利用累乘法可求得的值.【详解】，故，可得，，可得，，，则对任意的，，故，因此，.故选：C.18．C【分析】由已知可得，即数列是等差数列，由此求出，分别令可求出.【详解】数列满足，，则，可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，即有，即为，则，则.故选：C.19．A【分析】由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值.【详解】因为，所以，

又，所以，解得，所以，

所以恒成立等价于恒成立，

令，则，

当时，；当时，；

当时，，

所以，

所以，所以，即实数的最大值为，

故选：A．【点睛】关键点点睛：求得等比数列通项公式，作差法求得bn=2n-8n的单调性，从而求解参数最值.20．D【分析】设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．【详解】解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，而在上单调递减，；；，则，且，当且为偶数时，，，所以，所以时，取得最大值．故选：D．21．AD【分析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D.【详解】由递推公式，可得，，所以，A选项正确；又由递推公式可得，，，类似的有，累加得，故错误，B选项错误；由题可知扇形面积，故，故错误，C选项错误；由，，，，类似的有，累加得，又，所以，所以正确，D选项正确；故选：AD.22．ACD【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.【详解】因为，所以，从而，，所以，所以，又，是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，即，又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，所以是递增数列，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以不是等比数列，故B错误.因为，而，从而，于是，，故C正确.因为，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：数列单调性的一般判断步骤：（1）先计算的结果，然后与比较大小（也可以计算的值，然后与比较大小，但要注意项的符号）；（2）下结论：若，则为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列.23．ABC【分析】先用两式相减的方法消去，求出，判断A选项；再代入已知求出，判断B选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C，D选项.【详解】依题意得当时，，由于，解得；当时，，因此有：；整理得：，所以数列是以为首项，公差的等差数列，因此，故A正确；，故B正确；由得：，令，则取2时，取最小值，所以①当为偶数时，，，②当为奇数时，，，，故C正确，D错误.所以A、B、C正确；D错误.故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知求，利用前项和与通项公式的关系，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意只能取正整数.24．【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，所以，所以故答案为：25．【分析】利用公式求解即可【详解】解：当时，，当时，，且当时，，据此可得，数列的通项公式为：.故答案为：.26．18【分析】由已知条件依次求出即可【详解】解：因为，所以，.故答案为：1827．【分析】用累加法直接求解即可.【详解】在数列，，，所以累加得：，所以．故答案为：．28．【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可.【详解】由题意知．故答案为：.29．【分析】化简，判断出为等比数列，从而计算出.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：30．【分析】根据递推关系式证得数列是等比数列，由此求得的值.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.31．40【分析】根据递推公式，依次代入即可求解.【详解】数列满足，，当时，可得，当时，可得，当时，可得，故答案为：.【点睛】本题考查了递推公式求数列项的方法，属于基础题.32．【分析】由题可知数列是等差数列，进而利用公式法求通项公式.【详解】因为，所以数列是等差数列，因为，故公差所以，故故答案为：33．1023【分析】根据得到数列是以1为首项；2为公比的等比数列，从而利用等比数列的前项和公式即可求得．【详解】解：当时，，解得；当时，，得，由，得，两式相减得，即，又，所以数列是以1为首项；2为公比的等比数列，所以．故答案为：1023．34．15【分析】根据题意整理可得，所以为常数列，令即可得解.【详解】由可得，两边同除可得，故数列为常数列，所以，所以，解得.故答案为：1535．【分析】利用求得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以.故答案为：36．【分析】由公式得,,进而根据题意得,解方程即可得答案.【详解】由于等比数列的前项和.当时，；当时，.由题意可知，满足，即，解得.故答案为：37．9899【分析】用累加法直接求解即可.【详解】在数列，，，所以累加得：，所以9899故答案为：989938．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列前项的和.【详解】由题意可得，所以，，因此，数列前项的和为.故答案为：.39．【分析】根据已知条件求得，用累乘法求得.【详解】依题意，，即，所以.故答案为：【点睛】累乘法求数列的通项公式，主要把握住.40．【分析】化简已知得，所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，即得解.【详解】因为，所以，所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以.故答案为：41．【分析】通过配系数法求出数列的通项方式；通过裂项法求出数列的前项和为；然后只需即可求出的最小值.【详解】∵，∴，又∵，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即，又，则，又，又，∴时，，即数列是递增数列，∴当时，取最小值且最小值为，要使对任意的都成立，只需，由此得，∴正整数的最小值为．故答案为：.42．2【分析】先求出，再求出的最小值即得解.【详解】由题得（1）（2）（1）-（2）得所以，适合，所以,所以数列为递增数列，所以，由题得.所以的最大值是2.故答案为：2【点睛】方法点睛：数列的最值一般利用函数的单调性求解，而数列单调性的判断一般可以通过定义法判断.43．【分析】首先变形等式为，利用累乘法，求得数列的通项公式，以及数列的通项公式，代入后，利用错位相减法求和.【详解】由题意，即，累乘得，可知，，当时，，所以，又时，，且当时成立，从而有，故，所以，故.故答案为：【点睛】方法技巧常见数列的裂项方法数列（为正整数）裂项方法（为非零常数）（为非零常数）（，）注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.44．【分析】由已知可得出，解得，结合，可得，令，求出数列的最大项的值，可得出的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】由题意可知，对任意，都有，则，则，整理可得，，解不等式可得，当时，，所以，，令，则数列为单调递减数列，所以，，，所以，.下面来说明，当时，对任意的，.由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，，则，可得，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，则，可得，假设当时，，由于函数在上为增函数，则，可得.由上可知，当时，对任意的，.综上所述，的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式恒成立求数列首项的取值范围，解题的关键就是由得出关于的不等式，通过解不等式可得出关于数列不等式恒成立，进而转化为数列最值来求解.45．（1）；（2），；（3）【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求的值；（2）分别令递推公式中的和得出两个关系式，结合、即可求，再求出是等比数列求出其通项，再利用累乘法即可求的通项公式；（3）利用分组求和可得，结合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.【详解】（1）若且，所以，即，当成等差数列时，，所以，解得：；（2），令可得，即，令可得，即所以，因为，所以，解得，由可得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，，，以上式子累乘得：，所以，（3）由可得，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以即，，因为，，所以，因为，所以，所以，可得，所以，令，设，，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，所以时取得最大值，故最大值为，所以最大值为.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.46．（1）16；（2）24．【分析】（1）解方程求出即得解；（2）化简已知得到a1＋2d＝．即得解.【详解】（1）∵a6＝10，S5＝5，∴∴a8＝a6＋2d＝16．（2）∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝．∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24．【点睛】方法点睛：在等差数列的五个基本量中，存在“知三求二”的解题规律，即只要知道了这五个量中的三个量，一定可以求出其它两个量.47．（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）利用等比数列的前项和公式即可求解.【详解】（Ⅰ）是各项都是正数的等比数列，设等比数列的公式为，则，由，则，又，则，（Ⅱ），解得.48．（1），；（2）.【分析】（1）法一：由已知求、，根据等比数列的性质确定的值，进而求出，写出通项公式；法二：由与的关系，结合已知求得、，，再根据等比中项的性质求，写出通项公式；（2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求.【详解】（1）法一：当时，当时，∵是等比数列，∴，即，解得综上，的值为，数列的通项公式为.法二：∵，，∵是等比数列，∴，即，解得，设的公比为，∴，，则.（2）∵，∴.49．（1）；（2）.【分析】（1）设的公差为，由等比中项的性质有可求，进而写出的通项公式；（2）应用累加法求的通项公式，再由裂项相消法求的前项和.【详解】（1）设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)∴.（2），∴，将它们累加得：∴，则.50．（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．【分析】（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式【详解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．51．（1）;（2）.【分析】（1）用代入法求出，再根据与的关系，得递推关系，再求出，注意验证1时是否符合求出的通项公式.（2）用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由，，令得，令得，即.由………①则当时，……②①②可得，得，得，故是首项为，公比为的等比数列，则，整理得，当时，，也符合公式，故（）,即数列的通项公式.(2),故，即.【点睛】本题考查了与之间的关系，根据递推公式推导通项公式，裂项相消法求和.52．（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，利用，即可求出和，从而可得．（2）易知，则，从而利用裂项相消法求和即可计算出数列的前项和．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，由，.所以解得，所以（2）由（1）可知：，所以又，所以53．（1）；（2）.【分析】（1）利用数列与的关系求数列的通项公式；（2），利用错位相减法求和.【详解】解：（1）由题意知当时，，当时，，即数列的通项公式为.(2)由（1）知，，所以，得，又，所以，化简后得.54．（1）（2）【分析】(1)先求出，再求，再验证时是否也成立，即可.(2)将裂项，即可求和.【详解】(1)解：由可得，,当时，,式子对也成立.故数列的通项公式为，(2)由（1）得，,所以.55．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由递推公式结合等比数列的定义证明即可；（2）累加法求数列的通项公式.【详解】（1）因为，所以，又因为，则，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）知：则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，，，，则，即，所以.56．（1）；（2）．【分析】（1）由题意得，利用累加法，结合等比数列求和公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用错位相减求和法，即可得答案.【详解】解：（1）由已知，，所以，，，各项累加可得，又，所以，所以（2）由（1）可得，所以①②①－②，得．所以，整理得．57．（1）；（2）an=.【分析】（1）先将递推公式化为，再利用累加法求通项公式;（2）先将递推公式化为，再利用累乘法求通项公式.【详解】（1），，将以上个式子相加，得，即..又当n=1时，也符合上式，.（2）因为a1=1，(n≥2)，所以，所以·…··1=.又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=.58．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据递推关系式，由累乘法即可求解.（2）利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）由，得，∴，∵，∴．（2）由（1）得，∴，当时，∵，∴，即证.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.59．（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)把给定公式两边都加上3，再验证a1+3不为0即可得解；(2)由(1)求出数列{an+3}的通项即可得解.【详解】（1）由an+1=2an+3，得an+1+3=2an+6=2(an+3)，而a1+3=5，所以{an+3}是以a1+3=5为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）知，则，所以数列{an}的通项公式.60．（1）；（2）.【分析】（1）构造，结合已知条件可知是首项为2，公差为4的等差数列，写出通项公式，再应用累加法有，即可求的通项公式；（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且数列单调递增，即可求其最小值.【详解】（1）令，则，而，∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，∴，又，∴.（2）由题设，，，∴，当且仅当时等号成立，故且在上单调递增，又，∴当时，的最小值.61．（1）证明见解析，；（2）11.【分析】（1）由，可得当时，，利用数列的递推关系式结合等比数列的定义可证得数列为等比数列，进而得出数列的通项公式；（2）利用错位相减法得出数列的前项和为，令，判断出数列的单调性，将数列的最值代入，可得正整数的最小值．【详解】（1）证明：当时，，则.当时，，即，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.因为，所以.（2）由题设，，则，从而.两式相减，得，所以.令，则当时，，所以数列为递增数列.因为，，所以满足不等式的的最小值为11.62．（1），；（2）.【分析】（1）由递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）利用商比法判断数列的单调性进行求解即可.【详解】解：（1）∵，∴当时，．两式相减，得：．又，∴是以2为公比，2为首项的等比数列，∴，（2）∵，易于知，，∴，当时，，当时，，又，，，∴当时，有最小值．63．（1）；（2）.【分析】（1）依题意可得，将换成，再作差即可得到，从而得到是首项为1，公比为的等比数列，即可求出的通项公式；（2）设，利用作差法判断函数的单调性，即可得到的最大值，依题意，即可求出参数的取值范围；【详解】解（1）由①，可得②.由②-①可得，即，由可得，，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，（2）因为，设，则，当，即时，递增，当，即时，递减，故的最大值为.若存在正整数，使得不等式成立，则故，故实数的取值范围64．（1）；（2）.【分析】1）设数列的公差为，故，解方程并根据通项公式求解即可；（2）由（1）知，进而根据等比数列前项和公式求解.【详解】解：（1）设数列的公差为，则，解得，所以.（2）由（1）可知，因为，所以数列是等比数列，所以65．（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，再根据等差数列的定义即可证明数列为等差数列，；（2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【详解】解：（1）由已知，①时，，②①-②得：，故即，又时，，得，则，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，；（2）由，得，由错位相减法得得66．（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）等式两边同除以可证得是等差数列，从而求得；（2）利用可求得．【详解】（1）证明：，，，又，是以为首项，为公差的等差数列；，.（2）当时，，当时，，.67．（1）；（2）．【分析】（1）根据，即可求出通项公式，注意检验时是否成立；（2）先利用累加法求出数列的通项公式，进而结合列项相消法即可求出数列的前项和．【详解】（1）当时，；当时，；经检验当时，符合，所以；（2），，．．．68．（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程即可解出，从而得到数列的通项公式；（2）根据题意可得，再根据累乘法求得，然后根据裂项相消法即可求出数列的前项和．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，，.因为，所以，解得.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.所以，当时，，即.又适合上式，所以.因为，数列的前项和为.69．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】（1）要证明数列为等比数列，只要证明等于一定值即可，由代入化简即可得证，然后跟等比数列的通项求出答案即可；（2）求出数列的通项，利用将裂项成，即可求得数列的前项和，从而证明结论.【详解】解：（1）证明：当时，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，；（2）证明：，，当时，当时，，当时符合，，，．又，．70．（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）首先根据递推公式，变形得到数列是等差数列；（2）由（1）得，利用错位相减法求和；（3）不等变形为，令，法一，利用判断数列的单调性，法二，利用，判断数列的单调性，即可求得的最大值，即得的取值范围.【详解】（1）∵，∴，所以，又因为，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以，所以…………①…………②由①-②得，整理得.（3）由（2）知，∴不等式，对任意恒成立，等价于对任意恒成立，整理得：，令，法一：则时，，∴时，；时，.∴或时，取最大值为，∴.∴的取值范围是：.法二：时，，∴当时，，∴或时，取最大值为，∴.∴的取值范围是：.71．（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可通过得出，然后根据得出，最后根据等比数列定义即可得出结果；（2）本题可设等差数列的公差为，根据得出，然后根据得出、，再然后得出，最后将其分为、、三种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当时，，，，即，，当时，，解得，则数列是首项为、公比为的等比数列，.（2）设等差数列的公差为，则即，，因为，所以，，，则，当时，，；当时，，；当时，，，故当或时，最大，.72．（1）（）；（2）证明见解析．【分析】（1））由已知可知，，即可求得等差数列的公差为d和，即可求得的通项公式；（2）由（1）得，运用裂项相消法求和，化简整理，利用反函数的性质可证明.【详解】（1）由已知，等差数列满足，，，．设等差数列的公差为d，可得，代入可得．所以的通项公式为：（）（2）由（1）可得，，．利用反函数性质知，当时，；当时，．【点睛】方法点睛：本题主要等差数列求通项以及裂项相消法求和，裂项相消法是根据式子的结构特点裂项，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.73．（Ⅰ）或；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）设公比为，由等比数列的通项公式，解方程可得，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）由题意可得，，由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；（Ⅲ）由题意可得恒成立，设，说明其单调性，求得最大值即可．【详解】（Ⅰ）等比数列的公比设为，前项和为，，且，可得，解得或，则；或；（Ⅱ）数列为递增数列，可得，数列满足，即为，前项和，，相减可得，整理得；（Ⅲ）因为,,所以设，则当时，当时，当时有最大值为,所以.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数