(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(含答案解析)

一、选择题1．给出下列函数：①；②；③.使得的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．在围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线,和轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A．5000 B．6667 C．7500 D．78543．三棱锥及其正视图和侧视图如图所示，且顶点均在球的表面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．4．若函数在点处切线的斜率为，则的值是（）A．1B．2C．4D．35．设若，，则的值是()A．1 B．2 C．1 D．-26．设,则二项式的常数项是（）A． B． C． D．7．曲线与直线以及轴所围图形的面积为（）A．2B．C．D．8．已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C． D．9．曲线与直线围成的封闭图形的面积是A． B． C． D．10．若则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B．2 C． D．12．下列积分值最大的是（）A． B．C． D．二、填空题13．定积分的值等于________.14．曲线与直线及轴所围成的封闭图形的面积为____．15．__________．16．定积分______________.17．由曲线与，，所围成的平面图形的面积为________________.18．已知，则______．19．设函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为__________．20．，则实数____________.三、解答题21．已知函数图像上一点的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块作为工业用地，其中、在抛物线上，、在轴上已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点的位置，才能使得整块土地总价值最大．23．设函数（1）证明：；（2）若对任意都有，求的取值范围.24．已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.（1）求的解析式；（2）若常数，求函数在区间上的最大值.25．计算下列定积分（1）（2）（3）26．计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③.【详解】对①，的定义域为即函数为奇函数，则使得对②，的定义域为，即函数为奇函数，则使得对③，若，使得成立则，解得，与矛盾，则③不满足故选：A【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．B解析：B【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出的原函数为，空白区域面积为，故阴影部分面积，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为故选：B【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．A解析：A【解析】由三视图可得：平面且底面为正三角形，如图所示，取中点，连，则，在中，，，，在中，，所以，设球心到平面的距离为，因为平面，且底面为正三角形，所以，因为的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得，则该三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积是，故选A．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出平面、求出的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.4．A解析：A【解析】由题意，得，，所以；故选A.5．C解析：C【详解】，故选：C6．D解析：D【解析】试题分析：，的通项为，，系数为.考点：定积分、二项式定理．7．A解析：A【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程====2考点：区间函数的运用8．B解析：B【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数图像过点，所以，解得，所以幂函数，则阴影部分的面积为，故选B.考点：幂函数的解析式；定积分的应用.9．D解析：D【解析】曲线与直线的两个交点坐标分别为(,),(,),则封闭图形的面积为本题选择D选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.10．D解析：D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.11．D解析：D【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积.【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥，四边形是边长为1的正方形，平面，，则四棱锥的体积为.故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．A解析：A【分析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果.【详解】A：，函数y=为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的，故，D:，通过比较可知选项A的积分值最大，故选A【点睛】计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)．二、填空题13．ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：ln2【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析：ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【详解】，故答案为：ln2．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x轴所围成的封闭图解析：【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线与直线构成方程组，解得，由直线与构成方程组，解得；曲线与直线及x轴所围成的封闭图形的面积为：．故答案为．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.15．【解析】【分析】根据定积分的运算将函数分为两个部分分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解再合并起来即可【详解】由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积即由微积分基本定理可知解析：【解析】【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可。【详解】由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积，即由微积分基本定理可知所以【点睛】本题考查了定积分的求法，定积分几何意义与微积分基本定理的应用，属于基础题。16．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则：解析：【解析】函数表示以为圆心，为半径的单位圆位于第一象限的部分，则，由微积分基本定理可得：，则：.17．【解析】由题设曲线与所围成的平面图形的面积为应填答案解析：【解析】由题设曲线与，，所围成的平面图形的面积为，应填答案。18．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种解析：【解析】由题意可得，答案：．【点睛】求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．19．【解析】解：令则问题等价于求解在区间上的面积由题中所给的结论可知：函数的周期为结合正弦函数的性质可知：将函数的图象向上平移两个单位得到函数的图象增加的面积为：综上可得：函数在上的面积为解析：【解析】解：令，则问题等价于求解在区间上的面积，由题中所给的结论可知：，函数的周期为，结合正弦函数的性质可知：，将函数的图象向上平移两个单位得到函数的图象，增加的面积为：，综上可得：函数在上的面积为.20．【分析】直接根据定积分的运算法则再分别计算定积分解得的值【详解】根据定积分的运算法则所以解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的求解涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用属于基础题解析：【分析】直接根据定积分的运算法则，，再分别计算定积分，解得的值．【详解】根据定积分的运算法则，所以，解得，故答案为．【点睛】本题主要考查了定积分的求解，涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用，属于基础题．三、解答题21．(Ⅰ),；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得,；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数的取值范围是.试题（Ⅰ）∴∴∴因为∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴令解得∴的值域是（Ⅲ）因为时，不等式恒成立∴在上恒成立，令对称轴为因为∴∴或解得：的取值范围为.22．（1）;（2）点C的坐标为.【详解】试题分析：（1）由于等待开垦土地是由曲线与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C的坐标为(x，0)，然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，再利用导数求此函数的最大值即可．试题（1）由于曲线与x轴的交点坐标为（－１，0）和(１,0),所以所求面积S=，故等待开垦土地的面积为（2）设点C的坐标为，则点B其中，∴∴土地总价值由得并且当时，故当时，y取得最大值.答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大.考点：1.定积分;2.函数的最值.23．(1)见解析;(2)x的范围是.【解析】试题分析：（1）根据均值不等式，乘积是定值，可以证得问题.(2)首先要根据根据函数特殊值，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大小关系即可.（1）（当且仅当即时取“=”）（2）由（1）可知，对任意，均有，所以函数在上单调递增从而，故当对任意都有时，的取值范围是.点睛：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f，直接比较括号内的大小关系即可.24．（1）；（2）当时,；当时,.【分析】（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值，并求出，因为，，所以分或两种情况进行讨论，得出最大值.【详解】（1）由得，.由得，∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为从而得，∴.（2）由（1）知.的取值变化情况如下：2单调递增极大值单调递减极小值单调递增又,①当时,；②当时,综上可知：当时,；当时,25．(1)e(2)(3)【解析】【分析】(1)由微积分基本定理求解定积分即可；(2)由微积分基本定理结合奇函数的性质可得定积分的值；(3)由定积分的几何意义将原问题转化为求解面积的问题即可.【详解】(1)由微积分基本定理可得：.(2)由奇函数的性质可得：，由微积分基本定理可得：，则.(3)由定积分的几何意义可知，表示如图所示的阴影部分的面积，该图形可分解为一个扇形与两个三