高等数学(经管类)下及课后习题答案

习题7-1

1.指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A(2,1,-6),B(0,2,0),C(-3,0,5),D(l,-1,-7).

解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。

2.已知点M(-l,2,3),求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.

解：设所求对称点的坐标为(x,y,z),则

(1)由x-l=0,y+2=0,z+3=0,得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1,-2,-3).

⑵由x=-l,y+2=0,z+3=0,得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1,-2,-3).

同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1,2,-3)；关于z轴的对称点的坐标

为：(1,-2,3).

(3)由x=-l,y=2,z+3=0,得到点M关于面的对称点的坐标为：(-1,2,-3).

同理，M关于)，Oz面的对称点的坐标为：(1,2,3)；M关于zQx面的对称点的坐标为:

(-1,-2,3).

3.在z轴上求与两点A(-4,1,7)和8(3,5,-2)等距离的点.

解：设所求的点为历(0,0,z),依题意有|MA|2=|MB|2,即

(，4-0)2+(1-0)2+(7-Z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-Z)2.

14

解之得z=ll,故所求的点为M(0,0,―).

4.证明以M(4,3,l),%(7,1,2),M»(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解：由两点距离公式可得=14，=6,眼2M1=6

所以以M(4,3,l),%(7,1,2),MK5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

5.设平面在坐标轴上的截距分别为。=2力=-3,c=5,求这个平面的方程.

解：所求平面方程为百+义+1=1。

6.求通过x轴和点(4,一3,一1)的平面方程.

解：因所求平面经过x轴，故可设其方程为

Ay+Bz=0.

又点(4,一3,—1)在平面上，所以・343=0.即5=・3A代入并化简可得y-3z=0.

7.求平行于y轴且过M(l,0,0),加2(0,0,1)两点的平面方程.

解：因所求平面平行于y轴，故可设其方程为

Ax+Cz+D=0.

又点M和%都在平面上，于是

[A+Q=0

[C+D=0

可得关系式：A=C=—£),代入方程得：一Dr—£)z+£)=0.

显然QW0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z—1=0.

8.方程/+产+22—2]+4产0表示怎样的曲面？

解：表示以点(1,-2,0)为球心，半径为右的球面方程。

9.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？

(l)x—2)=l；(2)X2+/=1；

(3)2x2+3y2=l；(4)y=f.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。

(4)表示抛物线、抛物柱面。

习题7-2

1.下列各函数表达式：

(1)已知於,y)=f+V，求f(x-y而);

⑵已知-y,«7)=1+y2,求式x,y).

2222

解：(1)f(x-y,y/xy')=(x-y)+(y[xy')=x-xy+j

(2)f(x-y,y/xy)=x2+y2=(x-y)2+2^y[xy^

所以/(x,y)=x2-2y2

2.求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：

(1)z=sin—~——：⑵z=y/\-x2+y/y2-1;

x+y-I

(3)/(x,y)=VT71n(x-y)；(4)/(“)=叱吁一1

解：(1)由；？+>2-1*0可得f+Jwi

故所求定义域为o={(x,y)|f+y2工1}表示xOy平面上不包含圆周的区域。

(2)由

1-x2>0

_[-14x41

可得或-1

故所求的定义域为0={(x,y)|-14x41且或y4-l},表示两条带形闭域。

(3)由

Jl-x>0

[x-y>0

可得

Jx>l

[y<x

故所求的定义域为庆{(x,y)|》21且、<力，表示*0丫平面上直线丫=*以下且横坐

标x21的部分。

(4)由

f-l<3-x2-y2<l

[x-y2>0

可得

2<x2+y2<4

/<x

22

故所求的定义域为D={(Jt,y)l2<x+y<4且丁<x}»

3.说明下列极限不存在：

(1)limA；(2)lim•,:.

x-»0x+yx->0x+y

y->0)T0

解：(1)当点尸(x,y)沿直线产丘趋于点(0,0)时，有

lim0=|而穿坐=岩。

*,#->(0,0)x+yt->o(k+l)xK+i

y=kx

显然，此时的极限值随k的变化而变化。因此，函数在(0,0)处的极限不存在。

(2)当点P(x,y)沿曲线丫=履3趋于点(o,o)时，有

6226

(x.yW(O,O)x+yx->0(fc+1)X-+J

y=Jtv

显然，此时的极限值随Z的变化而变化。因此，函数於J)在(0,0)处的极限不存在。

4.计算下列极限：

⑵lim^2)；

(1)出，+(；

x+y(x,y)->(03)X

)句

sin(x3+y3)/八i-Jxy+4—2

(3)lim——-----；(4)lim-------

(x,y)TOO)X+yu,y)^(o,o)xy

解：⑴因初等函数/(内)=室在(。』)处连续'故有

e+ye°+l

hm-----=2

x-»ox+y0+1

c、sin(孙)sin(盯)

(2)hrm—rhm—=o3

(x.y)->(o,3)X-0,3)xy

..sin(x3+y3)..sin(x3+y3)、2、八

(3)hm---------=hm—----^-(zx--xy+y)=0

(x.yw(o.o)x+y(x,y)->(o.o)x+y

lim内-211

(4)lim(M任尸旦lim;

0)xyg,y)T(o.0)xy(，xy+4+2)*，、)->(o.0)J孙+4+24

5.究下列函数的连续性:

(x,y)w(O,O)

(1)f(x,y)=i,x+y

0,(x,y)=(O,O)

f22

x-y(x,y)=(0,0)

⑵f(x,y)="x2+y2

0,(x,y)=(O,O)

22

解：⑴lim----—=lim(x-y)=0=/(0,0)

(x,y)->(0.0)x+y(x,y)f(0.0)

所以於,)，)在(0,0)处连续.

1而£=思_\-k2

Q)lim

*,y)T(0,0)x2+y25x2+22~l+k2

y=kxkx

该极限随着k的取值不同而不同，因而#r,yj在(0,0)处不连续.

6.下列函数在何处间断？

(1)z=rj(2)z=\n^-x2-y2.

x-y2

解：(l)z在｛(x,y)|国=|计)处间断.

(2)z在｛(x,y)|x2+y2>1｝处间断.

习题7-3

1.求下列函数偏导数:

⑵Z=皿；

(\)z=xi+3x)f+y3；

X

(3)z=ln(x-3y)；(4)z=xy+lnxy(x>0,y>0,x1)

(5)u=xy;-y2+e-z)

\

解:7a-z

a&x

-

&

5&Z

3)

(4)—=yxy~l+—=yxy~l+—=xvlnx+—.

oxxyxdyy

⑸翳尹谭3n”).

au&xyInx

加

6)&-=-sin(x2―y2+e

&

-=-sin(x2-y2+e~z)(—2y)=2ysin(x--y~+e

5y<

§

&=-sin，-y2+e~z)(-e~z)

2.求下列函数在指定点处的偏导数：

(1)J(x,y)^xi—xy+y1,求取1,2),亦(1,2);

22

⑵/(x,y)=arctan(1,0)

⑶f(x,y)=\nVx2+/+sin(x2-;求<(1,2)；

(4)f(x,y,z)=\n(x-yz),求£(2,0,1)/(2,0,1)/(2,0,1).

解：(1)fx(x,y)=2x-y,fy(x,y)=-x+2y.

.'./t(1,2)=2-2=0,/JI,2)=-1+4=3.

(2)/(x,0)=arctanx,毗(x,0)=1^，

因此。(1,0)=占=/

(3)/(x,2)=|ln(%2+4)+sin，-1)*叽*+闪)

因此

2

fx(x,2)=+cos(x-l)2x

2x+4

2x

+sin(x2-i)*W+E>

1+(x2+\lx2+4)2

所以£(1,2)=/+2*皿。+碣.

（4）力（''*）=&，4（兑木）=晶，工区＞，2）=言

故/,(2,0,1)=1,4(2,0,1)=-1Z(2,0,1)=0.

ZZ

3.设厂=夜可广乎，证明：

(1)|=1;

52r,52r,d^r_2.

⑵'v十~~~,

dx2dy2dz2r

52(lnr)52(lnr)52(lnr)1

⑶H------------------1----------------=—

dx2dy2ddzz22r2

证明：*_____X______x_

oxy]x2+y2+z2r

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：牛=£，生=工

dyrozr

drx2

⑵冉=~考」一丁,”

dx2r2rr3

d2rr-y2d-rr2-z2

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到:==

每一,，必一/

.d2rd2rd2r_3r2-x2-/_2r_2

••h厅+左=P

⑶心加0八力,警Xx

~厂+y2+z~2

♦(inr)*x2苴/-2/

次~r4r4

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：邕华=土①，以誓=二言

dy2r4dz2r4

.砥Inr)砥Inr)/(皿r)_3--2,+[+z?)_1

"dx2+dy2+dz2r4r21

4.求下列函数的二阶偏导数%，%,K：

dx2dy2dydx

(1)z=4%3+3x2y-3xy2-x+y；(2)z=xln(x+y).

解：(1)/=12犬+6肛-3/-1隼=24》+6工

华=3x2-6xy+1,^-4=-6x.

dydy2

⑵■=ln(x+y)+x，唐=，+让==上当.

dx-x+y8xx+y(x+y)2(x+y)2

dz_x_x

dyx+y'dy2(x+y)2'

5.某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y（单位：吨），总成本（单位:

元)为

C(x,y)=20+30f+1Oxy+20y2,

求当户4,.尸3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.

解：Cx(x,y)=60x+1Oy,Cv(x,y)=10x+40y,

.•.Cr(4,3)=270，G(x,y)=160.

经济含义：当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而

A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产

量每增加1吨，成本将增加160元。

6.设某商品需求量。与价格为p和收入y的关系为

(2=400—2p+0.03y.

求当p=25,)=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.

解：

Z(p，y)=-2,Qy(p,y)=0.03,

0p(25,5000)=-2,gv(25,5000)=0.03.

经济含义：价格为25和收入为5000时;如果价格不变，而收入增加1个单位，商品

的需求量将增加003；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.

习题7-4

1.求下列函数的全微分：

(1)z=4盯3+5f)凡(2)z=>/1-x2-y2

(3)"=ln(x-yz)；(4)“=x+sin]+e'，z

解：⑴焦=49+1。何6,导12孙，+30小儿

所以dz=2y3(2+5xy3)dr+6xy2(2+5xy3)dy.

⑵dz-xdz=

8x^-x2-y2，dy

所以dz=,~xdx+,~ydy.

yll-x2-y2Vl-x2-/

⑶a4_13〃_—zdu_-y

dxx-yz"dyx-yz9dzx-yz

所以du=­!—dx+~zd^-i----dz.

x-yzx-yzx-yz

/八du.du1”吏y.vzduyz

⑷^=1^=2C°S2+Ze

所以du=dx+(；cosX+zeyz)dy+yeyzdz.

2.计算函数2二炉在点(3,1)处的全微分.

解：字=yxy~l=xy\nx,

dxdy

所以dz=yxy~[dx+xyInxdy.

dz\(3A)=dx+31n3dy.

3.求函数z=xy在点(2,3)处，关于△x=0.1,△)=0.2的全增量与全微分.

解：身=%导=%所以导=3,安=2,

&dy&(2.3)②亿》

Az。孚Ax+孚Ay=0.3+0.4=0.7

，X(2.3)，y(2.3)

回⑵“=3dx+2dy.

4.计算(1.04)z°2的近似值.

设函数Kx,y)=xv.k1,y=2,Ak0.04,A>=0.02.

A1，3)=1X10x,y)=)斓i/(x,y)=x>lnx,

〃1,2)=2亦1,2)=0.

由二元函数全微分近似计算公式(7-18),得

(1.05)302g]+2x0.04+0X0.02=1.08.

5.设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20。*,内半径为4。*,容器的壁与底

的厚度均为0.1cm,求容器外壳体积的近似值.

解：解设圆柱的直径和高分别用x,y表示，则其体积为

K=f(x,y)=n(^y=^x2y.

于是，将所需的混凝土量看作当x+Ax=8+2X0.1,y+Ay=20+0.1与x=8,:产20时的两

个圆柱体的体积之差AV(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

△V^dV=fx(x,y)Ax+fy(x,y)△y.

又£。,丫)=皋》)/。,丫)=4%/,代入x=8,y=20,Ax=0.2,

Z4

”=0.1,得到

AV«dV=^x8x20x0.2+1^x82x0.1=17.6^«55.264.(m\

因此，大约需要55.264m3的混凝土.

习题7-5

1.求下列函数的全导数：

⑴设Z=e3"+2v,而“=a,v=C0Sf,求导数字;

dr

(2)设z=arctan(“一v),而“=3x,v=4x\求导数与；

dx

⑶设z=xy+sinr,而x=e',y=cosf,求导数坐■.

at

解.⑴,dw&.dy

dtdudtdvdt

=3eiu+2v-2t+2eiu+2v-(.-sint)

=6/2+2cos,_2sin招城+28*

⑵dz=Szd〃।Szdv

dxdudxdvdr

i-i

=——-_y3+-----------7g

1+(u-v)21+(〃-v)2

=----------~^-(l-4x).

l+(3x-4_?)2

⑶dz=也drdzdy陵

dtdxdtdydrdt

-ye+x-(-sinr)+cos/

=cosf―—sinr+cosz

2.求下列函数的偏导数(其中/具有一阶连续偏导数):

(1)设z=w2v—wv2,而w=xsiny,v=xcosy,求经和注；

oxdy

⑵设z=(3f+V严”求导和导

V

⑶设〃或r,y,z)=e，+2+3；2=检05/，求照和空；

oxdy

设厘—,求普胃普.

(4)

22

解:⑴器=导空+当空=(2uv-v)siny+(w-2〃10cosy

oxduoxdvdx

=(x2sin2y-x2cos2y)siny+(x2sin2y-x2sin2y)cosy

导=等孚+与至=(2〃u_y)xcosy-(u2-2wv)xsiny

dydudydvdy

=(x2sin2y-x2cos2y)xcosy+(x2sin2y-x2sin2y)xsiny

(2)令〃=3工2+y2#=4工+2,,贝上=/.

dzdzdu,dzdvv-i式1VlA

oxoudxovdx

=6x(3x2+y2)4a+2'1+4(3x2+y2)4+2'ln(3x2+y2)

dzdzdutdzdvv-in.v.。

dx8udydv8y/

2124a+2)22

=2y(3x+y『位'-1+2(3/+y)Jn(3x+y)

5V

3)&=工+:・2孙+力・丁2

¥冰

=6./+/?2孙2

&如

3应用全微分形式的不变性，求函数z=in符的全微分.

解：令〃=x+y,u=1—盯，贝!|z=arctan—

dz=d(arctan—)=----!----—du---!---勺dv

vi+(")2yi+(")2y

VV

而du=dx+dy,dv=-ydx-xdy

故dz=一I一-^[dx+力一(x+y),2-皿)]

MWTr

=_d^+_dy_

l+x21+y2

4.已知sinxy—2z+e三0,求生和绛..

dxoy

解：两同时对x求偏导，可得

ycosxy-2^-+e:孚=0.

>•dxdx

vdz_ycosxy

2—e：，

两边同时对y求偏导，可得

xcosxy-2等+ez=0.

故次_xcos^y

5y2-el'

5.若/的导数存在，验证下列各式：

⑴设“=求能一泊,则空+町半三x“；

oxoy

(2)=xy+xf(^~),则x孚+y1^=z+xy.

xoxoy

证：⑴^=yf\x2-y2).2x,^=/(x2-/)-2y2/1(x2-/).

所以y嘿+斗隼打(I一y2).2x+xy[f(x2-y2)-2y2fH_

⑵S=>，+/(x)+#，(x),(-7)，导”+十号4

所以若="y+/(?)+/'(-)(­—)]+—]=z+xy

XXXXX

6.求下列函数的二阶偏导数（其中/具有二阶连续偏导数）:

(1)z=arctanx+y一

l-xy

⑵z=/；

22

(3)z=fixyvx—y').

解：⑴由第3题可知信=—IT,冬=-^r.

ox1+x-oy1+y-

j-zrd2z_-2x3z-一2yg2z_d^z

dx2(1+x2)2(5y2(l+y2)2'&®dydx'

⑵导严my：,导In孙1nl.

故紧严h?吁一严In*

銮=lnx(lnx-l)yx,

d2zd2z

=-严t+m%inv--=-严-(1+Inxlny).

dxdydydxXXX

⑶^=fty+f22x,^=ftX-f22y.

故察=陕工3+九2x)+2&+2x(以V+f2x)=y2f+4xyf+4x\

22nl2;+2人,

dx

22

^=x(fttx-fl22y)-2f2-2y(f2ix-f222y)=xfn-4xyft2+4yf222执.

9y'

WW</一2M2)+2x(%x-2比2)=工+3咻+(2d

2y2)九-4M.

7.求由下列方程所确定的隐函数z=/(x,)，)的偏导数祟,||：

(l)x2+y2+z2-4z=0；

(2)z3—3xyz=1.

解：⑴两边同时对X求偏导得2x+2z冬-4冬=0,故序=3^.

dxdxox4-2z

两边同时对y求偏导得2y+2z条嚼=。，故导若

(2)两边同时对x求偏导得3Z2年-3y(z+匏=0,故室=卓:

oxoxdx3z-3y

两边同时对y求偏导得故母=3z?，3/

习题7-6

1.求下列函数的极值:

(1)_/0,丫)=f+/—6xy+18x—39y+16：

(2)式苍力=3孙-x3-/+1.

〃x,y)=2x-6y+18=0

解:(1)先解方程组

〃x，y)=3y2-6x-39=0

得驻点为(-6,1),(6,5).

兀=2,4(x,y)=-6,&(x,y)=6y,

在点(-6,1)处，△=AC-B2=2X6-36<0,所以4-6,1)不是极值;

在点(6,5)处，A=AC-82=2X30-36>0,又4>0,所以函数在(6,5)处有极小值1A6,5)=-90.

fr(x,y)=3y-3x2=0

(2)先解方程组，

2

fy(x,y)=3x-3y=0

得驻点为(0,0),(1,1).

=-6x,(X,>)=3,4,(X,y)=-6y,

在点(0,0)处，△=4C-¥=-9<0,所以J(0,0)不是极值；

在点(1,1)处，△=AC-B2=27>0,又4<0,所以函数在(1,I)处有极大值共1,1)=2.

2.求函数f^x,y)=r—2xy+2y在矩形区域£>={(x,y)|0WxW3,0WyW2}上的最大值和最小

值.

解：(1)先求函数在。内的驻点，解方程组

fx(x,y)=2x-2y=0

fy(x,y)=-2x+2=0

得唯一驻点(1,1),且川,1)=1.

(2)再求/(x,y)在。的边界上的最值.

在边界x=0,04y42上，外,y)=2y,因此最大值为8),2)=4,最小值为的,0尸0；

在边界x=3,04y42上,_/U,y)=-4y+9,因此最大值为负3,0)=9,最小值为式3,2)=1；

在边界y=0,04x43上，兀r,y)=f,因此最大值为负3,0)=9,最小值为40,0)=0；

在边界>=2,04x43上，火x,y)=f—4x+4,因此最大值为式3,2)=1,最小值为犬2,2)=0；

(3)比较上述得到的函数值，从而得到43,0)=9为最大值，#),0)=0为最小值.

3.求函数於,)，)=3f+3丫2一/在区域力:/+了2乏16上的最小值.

解：(1)先求函数在。内的驻点，解方程组

2

fx(x,y)=6x+6y-3x=0

f,(x,y)=6y=0

得驻点(0,0),(2,0),且负0,0)=0,负2,0)=4.

(2)再求於,y)在D的边界上的最值.这里啊

在边界/+)2=16上，兀GV)=48—只因此最大值为"),4)=48,最小值为五4,0)=-16；

(3)比较上述得到的函数值，从而得到人0,4)=48为最大值，共4,0)=76为最小值.

4.求下列函数的条件极值：

(1)z=xyfx+y=l；

(2)u-x—2y+2z,x2+y2+z2=1.

解：(1)作拉格朗日函数L(x,y,X)=xy+4(九+》—1).写出方程组

Lx=y+2=0

<Ly=%+义=0

LA=x+y-1=0

得到P(另)，因此，z=xy在P(另)处取得最大值;.

(2)作拉格朗日函数L(x,y,z,A)=x-2y+2z+A(f+V+z?—1).写出方程组

L、=l+22x=0

Ly=—2+2Ay=0

L.=2+22z=0

222

LA=x+y+z—1=0

得至!J勺《，一；，；)，•

因此，”=L2)，+2Z在^(-|,|,-|)处取得最小值-3.

5.要用铁板做成一个体积为8疗的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？

解设长方体的三棱长分别为x,y,z,则问题就是在约束条件

xyz=S

下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值.

构成辅助函数

F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+4(xyz—8),

解方程组

Fx(x,y,z)=2y+2z+Ayz=0,

F(x,y,z)=2x+2z+A,xz=0,

<v

F_(x,y,z)=2x+2y+Axy=0,

刁z=8

得X=y=Z=2，这是唯一可能的极值点.

因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：

体积为8加3的有盖长方体水箱中，以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积

5=24.

6.某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为

C(x,y)=1000+8X2一孙+12)2(元)，

要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本

最低？

解：问题是在约束条件x+)=42(x>0,)>0)下，函数

C(x,y)=1000+8JT—12y2(元)

的条件极值问题.令

L(x,y,X)=1000+8x2-+12y2+2(x+y—42)

由Lx=16x-j+A=0,Lv=-x+24y+2=0,x+y=42得产25,产17.

根据问题本身的意义及驻点的唯一性知1,当投入两种产品的产量分别为25件和17件时,

可使成本最低.

7.某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费

x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为

R(x,y)=15+14x+32y—防，-—10)2,

(1)若广告费用不设限，求最佳广告策略.

(2)若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.

解：(1)令R,=14-8)，-4x=0,R,=32-8x-20y=0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当

电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。

⑵问题是在约束条件x+y=2(x>0,y>0)下，函数

R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2f—10y2

的条件极值问题.令

£(x,y,A)=15+14x+32y—8P—2x2—10y2+A(x+y-2)

由4=14-8y-4x+2=0,4=-8x+32-20y+A=0,x+y=2

解得x=0.75,y=L25.由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元

时，广告策略最佳。

由x+y=2,可得y=2-x,代入R得

R(x,y)=-4x1+6x+39

令R,=0,得x=0.75.因此y=l.25.

复习题7

(⑷

1.设Z=6+/(h一1)，且已知)=［时，Z=X则/(x)=(x+l)3-1,Z=«+彳_1.

解：由产1时，z=x,得/(五-l)=x-l.

令哄_l=t.得X=Q+1)3,因止匕(力=(f+l)3_l.即f(x)=(x+l)3_],Z=77+X-l.

,X3

2.设〃x,y)=/+/力，则/,(0,0)=1./~,(0,0)=0.

0,(x,y)=(0,0)

/(0,0)=l^Q+M-0)-^0)

解:fim=lim—=1

-oAx-Ax

/(0,0+Ay)-/00)

〃0,。)=妈=lim—=0.

AyAV->OAy

3.设z=arctan'.」,,则dz=.

17

解：u=x+y,v=x-y,贝Uz=arctan£

dz=d(arctan—)=-------—du---!--勺dv

V1+(当2口1+(当2日

VV

而du=dx+dy,dv=dx-dy

1（工+），）（公一功，）］

故dz=-^—[dx+dy-

、2x-yx-y

1+

i-孙J

xdy-ydx

x2+y2

4.设“二m＞、g令其中施具有二阶连续偏导数则票+、焉=

解：黑=矿《））总+%）+咫'95

*生?）图+M?+g*+g*+xg”M，

爵V畛图-八浮F"-g"g中

所以嘤+，悬=。・

5.若函数z=7（x,y）在点（xo,）'o）处的偏导数存在，则在该点处函数z=f（x,y）（D)

A有极限B连续

C可微D以上三项都不成立

解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确.

6.偏导数A（xo,）,o）,另（如泗）存在是函数zMx,y）在点（xo,yo）连续的（D）

A充分条件B必要条件

C充要条件D即非充分也非必要条件

解：同5.

7.设函数Hx,力=1-f+只则下列结论正确的是(D)

A点(0,0)是於,y)的极小值点B点(0,0)是.心》)的极大值点

C点(0,0)不是加,y)的驻点D的,0)不是於,y)的极值

8.求下列极限：_____

(1)lim(x2+y2)sin—；(2)lim")+,~.

(x.y)-»(o.o)xy(^,>■)->«),0)x+y

解：(1)因为lim(x2+y2)=0,而sin，有界.所以lim(x2+y2)sin—=0.

(x.y)-KO.O)xy!(x,y)->(0.0)Xy

(2)

..ylxy+1-1..(yjxy+l-1)(7xy+l+1)xy

lim---------=lim----------___________=hm--------/_______

CTO.gX+y(工(x+y)(^TH+l)(X,X)-(O,0)+y^xy+\+1)

=0

9.设"=e3c,而x2+y=/2j一尸什2,求学.

-山r=0

解：由丁+尸/23—产f+2,可得

2x半+孚=2r,李一孚=1,所以

dtdtdtdt

dx_2f+1dy_2z-2,

dt2x+l'dt2x+l

因此，du=dudxidudy=3c3“2t+13x-y2/—2x

~di=~dx~di~cfy~di=2x+l-2x+l

令"0,得x=-2,y=-4典=l,y=-l.

10.设zJx,y)由方程孙+yz+xz=l所确定，求卒■，反彳，

dxdxdxfdy.

解：两边同时对x求偏导，得

y+y冬+z+工字=0,因此孚=-占,由对称性可得拿=-左七.

oxdxoxx+ydyx+y

.二J(x+y)-(y+z)：-涕(x+y)-y-z2y+?z

dx2(x+y)2(x+y)2(x+y)2

2(l+”)(x+y)-(y+z)(1-A±£)(x+-y)_>7_z

冉=____dy_______________=x+y______________=2z

2

Sxdy*+y)2(x+y)2(x+y)'

11.设&/,U)具有二阶连续偏导数，且满足装+装=1,又g(x,y)="Q,\(x2-y2)],

du~dv2

试证

证：设“=孙丫=3(7->2),则g(x,y)=f(〃,v)M!)

迤=箜电+叱亚=或丫+或x遨=或包+笠@=要》_笠v

dxdudxdvdxduJdv'dydudydvdydudv

22222

dg_dfduvdfdVxdf_df,df2df

22222

dg_6fdurdfdvdf_df2df2df

前一希而x-菽寸一瓦-韬x+获'-而’

所以空+£/+/.

8x2dy2

12.求函数/Uy)=*(2+)2)+)，lny的极值.

土的士工口用[f(x，y)=2x(2+/)=0

解：先解万程组，，

J，(x,y)=2x-y+lny+l=0

得驻点为(0,1).

九=2(2+丁),/n.(x,y)=4xy,fn,(x,y)=2x。+±,

y

在点(0,1)处,AMAC-^^XI-OX),又A>0,所以函数在(0,1)处有极小值式0,1)=0.

(8)

1.设z=e*"x—2y),且已知)=0时，zr?,则与=.

解：令y/\x)=x2-e”,因此，z=ex+(x-2y)2-e'~2y,

所以空="+2(x-2y)-eA2y.

OX

2.设犬x,y,z尸e'yz2,其中z=z(xj)是由x+y+z+xyz=O确定的隐函数，则人(0,1,-1)=.

解：由x+y+z+xyz=0可得1+条+Xz+工黑)=。，

故"产

ox1+Ay

£.(x,y,z)=y(e'z2+ex-2z^-)=y(exz2-2e'z^^-)

ox1+孙

因此£(0,1,-1)=1.

3.设z=ln(V^+^^),贝！jx与■+y生~=________.

oxoy

IX1-L

罐.&_2«dz_24

区一不77万一不万，

^(>/x+77)[

4x+y[y2

4.设z=Lf(xy)+yg(x+y)”其中工g具有二阶连续偏导数，则导=

xoxdy

解：与=--Tf{xy)+-f'(-«y)+yg\x+y),

oxxx

4^-=(xy)+-/'(xy)+^f'\xy)x+g，(x+y)+yg"(x+y)

oxoyxxx

=W"(盯)+g'(x+y)+yg'\x+y).

5.函数/(x,y)=eE在点(0,0)处的偏导数存在的情况是(C).

A:(0,0),苏(0,0)都存在

B万(0,0)存在，力(0,0)不存在

C点0,0)不存在，4(0,0)存在

D〃0,0),以0,0)都不存在

解：“0,0)="…°)"3°)lim1