2020高中数学学科试题

高中数学学科测试试卷

学校：姓名：班级：考号：

题号二总分

得分

评卷人得分

单选题（共一小题）

e

1.设集合P={x|x=2k-l,kez},集合Q={y|y=2n,n£Z},若x（）£p,y（）WQ,a=xo+yo»b=xoyo,

则（）

A.aep,b£QB.aGQ,bepc.aep,bepD.a《Q,b《Q

答案：A

解析：

解：Vxoep,y°WQ,

设Xo=2k-1,yo=2n,n,k£Z,

则xo+yo=2k・l+2n=2（n+k）-lep,

xoyo=（2k-l）（2n）=2（2nk-n）,故XoyoWQ.

故a£P,b£Q,

故选A.

p）,则点A的直角坐标是（

2.已知点A的极坐标是（3,）

⑶丽）

A.B.（3,2）c.dS°H,H）

答案：c

解析:

解：x=pcos0=3xcos—

4-

In]h二

y=psin0=2xsiny=—^2

•••将极坐标是（3,；），化为直角坐标是

,40B-

故选c.

3.圆锥的侧面展开图是直径为4a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.顶角为30。的等腰三角形D.其他等腰三角形

答案：A

解析：

2n*OA=Ji*2a；

OA=a,

；.AB=2a=VA=VB,

AVAB是等边三角形.

故选：A.

4.算法指的是（）

A.某一个具体问题的一系列解决步骤

B.数学问题的解题过程

C.某一类问题的一系列解决步骤

D.计算机程序

答案：C

解析：

解：算法虽然没有一个明确的意义，但其特点还是很鲜明的，不仅要注意算法的程序性，明

确性，有限性特点，

还应充分理解算法的问题指向性，即算法往往指向某一类问题.

算法指的是某一类问题的一系列解决步骤，

故答案为C

5.下列计算S的值的选项中，不能设计算法求解的是（）

A.S=l+2+3+...+90B.S=l+2+3+4

D.S=l2+22+32+...+1002

C.S=l+2+3+...+n(n>2Kn£N)

答案：C

解析：

解：算法可以理解为按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以

解决一类问题.

它的一个特点为有穷性，是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止，

因为S=l+2+3+...+n(佗2且ndN)为求数列的前n项和，不能通过有限的步骤完成

故选C

(C(A)—C(B)i=A)〉C(B)

6.用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义A*B=4也/，若

当C(A)<C(8)

A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}且A*B=1,则实数a的所有取值为()

B.0,则C.0,躯D.-相，0,相

A.04—-―一

答案：D

解析：

解：由于(x2+ax)(x，ax+2)=0等价于x?+ax=0①或x?+ax+2=0②，

又由A={1,2},且A*B=1,

集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，

；.a=0；

2。集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，

叫，，

[△=42-8=0

解得a=±胆，

综上所述a=0或a=±拒j,

故选：D.

7.已知集合M={m6R|m4同,a烟烟，贝lj()

A.{a}CMB.agM

C.{a}是M的真子集D.{a}=M

答案：C

解析：

解：(j2+j3)2=54-2j6<5+2j9=I1<(JT2,)2=12

即a<uni；

；.aGM,且存在晅CM,但{JT永{a}；

，｛a｝是M的真子集.

故选：C.

8.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）

A.烟B.桐C.胆D.相

答案：C

解析：

解：由三视图可知原几何体为三棱锥,

/6---户5

其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，NBCA为钝角，

其中BC=2,BC边上的高为根，PCJ_底面ABC,且PC=2,

由以上条件可知，NPCA为直角，最长的棱为PA或AB,

在直角三角形PAC中，由勾股定理得，

PA=、尸（S+AC?\224-22+（2jf）^|=2|^'

又在钝角三角形ABC中，AB=、仁泰3+已行"、16+12=2、7•

故选C.

9.下列说法中正确的是（）

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有的几何体的表面都能展成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

答案：B

解析：

解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；

正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正确；

所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确;

棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，所以D不正确；

故选B

10.极坐标方程Pcos8=1■表示（）

A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线

C.一个圆D.一条抛物线

答案：B

解析：

f2，2

解：由极坐标与直角坐标系的转换公式{0一=',

[x=Pcos8y=P§in6

可得到xg即是一条垂直于x轴的直线.

所以答案选择B.

11.设集静=3/缶40）|,m=2”，则下列关系中正确的是（）

A.mcpB.mgPC.mCPD.mUP

答案：C

解析：

解：:集部={xlx2一层■痴'={xlO仝4⑸,

m=2°，5躯，则mGP.

故选C.

12.设M={a},则下列写法正确的是（）

U

A.a=MB.a£MC.aCMD.aM

工

答案:B

解析：

解：因为集合M={a},a是集合的元素，所以选项B正确；A、C、D错在a不是集合.

故选B.

13.下列六个关系式：①{a,b}c{b,a}②{a,b}={b,a}③0=0④De{0}⑤0e{0}⑥0U{O}其中

正确的个数为（）

A.6个B.5个C.4个D.少于4个

答案：C

解析：

解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；

根据集合无序性可知②正确；

根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确;

根据元素与集合之间可知④正确；

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.

故选C.

14.设集合P={x|x?+x-6=0},则集合P的元素个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：C

解析：

解：集合P={X|X2+X-6=0},

解方程X2+X-6=0,得两根：2,-3

则集合P的元素个数是2.

故选C.

15.已知集合人=^},则下列各式正确的是（）

U

A.aAB.a£AC.agAD.a=A

答案：B

解析：

解：•••集合A={a},

，aeA

答案：D

解析：

解：根据棱柱的放置和“看见的棱用实线、看不见的棱用虚线”,

则①②③正确，④错误，

故选D.

17.下列语句中是算法的个数为（）

①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；

②统筹法中“烧水泡茶”的故事；

③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；

④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公

式求出该三角形的面积.

A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：

解：①给出了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务，有明确的规则和步骤，所以属于算法.

②中节约时间烧水泡茶，完成了任务，有明确的规则和步骤，所以属于算法.

③对“树的大小''没有给出明确的标准，从而无法判断一棵树是否属于大树，无法完成任务，

故不属于算法.

④根据已知条件，然后利用正余弦定理即可解出剩下的边角，有明确的规则和步骤，所以属

于算法.

综上可知不属于算法的应是③，故属于算法的个数是3.

故选C.

18.算法的三种基本结构是（）

A.顺序结构、条件结构、循环结构

B.顺序结构、流程结构、循环结构

C.顺序结构、分支结构、流程结构

D.流程结构、循环结构、分支结构

答案：A

解析：

解：算法的三种基本结构是顺序结构、选择结构、循环结构，

考查四个选项，故选A

评卷人得分

二.填空题（共_小题）

19.正方体的面对角线长是X,其对角线的长为.

答案:

解析：

解：设正方体的楼长为a,则面对角线长是向,

•••正方体的面对角线长是X,

故答案为：

2

20.设-5G{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为.

答案：2

解析：

解：因为-5W{x|x，ax-5=0},

所以25+5a-5=0,所以a=-4,

x2-4x-a=0B[JX2-4X+4=0,解得X=2,所以集合{x|xJ4x-a=0}={2}.

集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为：2.

故答案为：2.

21.向正三棱柱ABC-A1B1Q的容器中，装入一定量水，然后将面ABBiAi放到一个水平面上,

则水的形状是.

答案：棱柱

解析：

解：如图

水的形状依然是有两个面平行，其他侧面都是平行四边形的几何体，是棱柱;

22.在正三棱锥P-ABC中，若AB=PA=a,则侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为

答案唱

解析：

连接A0,并延长交BC于点D,

；./PAD是PA与平面ABC所成的角,

且0是正三角形ABC的中心：

即侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值唱.

故答案为：

23.在极坐标系中，极点到直线pcos9=2的距离为.

答案：2

解析：

解：直线pcos0=2即x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线pcos0=2的距离为2,

故答案为2.

24.已知函数在x)=A，x08,64]的值域为A，集合B={x|V0},则ACIB=

答案：[2,3)

解析:

解：由函=x£[8,64]是增函数，得：A=[2,4],

<0得至UX2-4X+3<0,.,.1<X<3,

：.B=(1,3),

.*.AAB=[2,3).

故答案为：[2,3).

25.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,则侧棱与底面所成的角的大小为

连接AC,BD,相交于点。，连接0P.

四棱锥P-ABCD是正四棱锥，

.•.OP_L底面ABCD.

，ZPAO是侧棱与底面所成的角.

:正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,

26.一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且它们

彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为

答案：E

解析:

解：如图,

所以WC]I=I兀+指+C3=、（XB+BC+CC7）2

=后2+就+西?+2（启而•西•石）

=3+24鼻4）皿.

故答案为|■同.

27.已知命题p：底面是棱形的直棱柱是正四棱柱；命题q：底面是正三角形的棱锥是正三

棱锥.有下列四个结论：①P真q假；②"pAq”为假：③“pVq”为真；④P假q假其中正确

结论的序号是.（请把正确结论的序号都填上）

答案：②、④

解析：

解：..•底面是棱形的直棱柱不一定是正四棱柱，易得命题P为假命题,

又•.•底面是正三角形的棱锥不一定是正三棱锥为假命题，

故P是假命题，q是假命题；

所以①P真q假；错；

②pAq是假命题，正确；

③pVq是假命题，错；

④P假q假，是真命题，正确；

故答案为：②④.

28.设A是自然数集的一个非空子集，如果l?CA,唾卦，那么k是A的一个“酷元”，

给定S=｛0,1,2,3,4,5｝,设MUS,且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这样的结合

M有个.

答案：5

解析：

解：VS=｛0,1,2,3,4,5｝,

由题意可知：集合M不能含有0,1,也不能同时含有2,4

故集合M可以是｛2,3｝、｛2,5｝、｛3,5｝、｛3,4｝、｛4,5｝,共5个

故答案为：5

29.极坐标系中，*2,郭点（2,-，）的距离是.

答案：2

解析：

nn-~|r-j=—ry=-----

解：极坐标系中，与点（2,（）和点（2,-1）忖应的直角坐标为（屈1|）和（向-1|）.

•••点（2,到点（2,一号）的距离即为点（屈1|）到（⑸_1|）的距离，

____o_J6121-----------

等于1-（-1）=2.

故答案为2.

30.已知点P的极坐标是（2,则它的直角坐标是

答案：（国，-1）

解析:

.•.P(国,-1).

故答案为：P（呵，-1）.

高中数学学科测试试卷（偏难）

出卷人:Zero团队（孙仕杰、冯鑫、林晨鑫等）

学校：姓名:班级：考号：

题号一二三总分

得分

总分100分

评卷人得分

单选题(共21小题)每题1.5分［共32.5分］

1.设集合P={x|x=2k-1,kGZ},集合Q={y|y=2n,nez),若x()ep,yoeQ,a=xo+yo>b=x0*y

o.则()

A.a《P,bGQB.aCQ,b^PC.a£P,b^PD.adQ,bGQ

答案：A

解析：

解：VxoeP,yoGQ,

设Xo=2k-1,yo=2n,n,kGZ,

贝Ux()+yo=2k-l+2n=2(n+k)-1GP,

xoyo=(2k-l)(2n)=2(2nk-n),故xoyoGQ.

故a@P,b@Q,

故选A.

2.下列说法正确的个数是()

①小于90。的角是锐角；

②钝角一定大于第一象限角；

③第二象限的角一定大于第一象限的角；

④始边与终边重合的角为0°.

A.0B.1C.2D.3

答案：A

解析：

解：①-30。是小于90。的角，但它不是锐角，故①错误；

②390。是第一象限的角，故②错误；

③第二象限的角必大于第一象限的角，错误，例如-225。为第二象限的角，30。为第一象限的

角，-225°<30°；

④始边与终边重合的角为k・360。，错误；

故选:A.

3.(2015秋•抚州校级月考)手表时针走过2小时，时针转过的角度为()

A.600B.-600C.30°D.-30°

答案：B

解析：

解：由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数.

9

x(-360°)=-60°,

故选B.

4.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上

共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b利J则(a,b)为()

443443

A.(3,3)B.(4,3)C.(3,4)D.(A4\A?)

答案：C

解析：

解：由题意知本题是一个分步乘法问题，

首先每名学生报名有3种选择，

有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，

每项冠军有4种可能结果，

3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.

故选C.

(C(A)-C(B),当C(A)〉C(B)

5.用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义A*B=《止/，若

A={1,2},B={x|(x2+ax)Gax+2)=0}且A*B=B则实数a的所有取值为()

A.0B.0,留C.0,胆D.眼0,相

答案：D

解析：

解：由于(x，ax)(x2+ax+2)=0等价于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②，

又由A={1,2},且A*B=1,

集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根,

a=0；

2。集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根,

“工0

即《，，

[△==0

解得a=士躯，

综上所述a=0或a=±2^,

故选：D.

6.下列命题正确的是()

A.小于90。的角是锐角B.钝角是第二象限角

C.第一象限角一定不是负角D.第二象限角必大于第一象限角

答案：B

解析：

解：：0。＜90。，但0。角不是锐角，...A错误;

•••钝角的范围是(90。，180。)，是第二象限角，r.B正确；

・1350。是第一象限角，r.C错误；

-210。是第二象限角，30。是第一象限角，•.「210。＜30。，，D错误.

故选：B.

7.已知集合M={m6R|m4同,a烟烟，贝lj()

A.{a}CMB.aCM

C.{a}是M的真子集D.{a}=M

答案：C

解析：

解：(j2+j3)2=5+2j6<5+2j9=11<(JT2')2=12；

即a<uni；

；.aGM,且存在晅CM,但{JT永{a}；

，｛a｝是M的真子集.

故选：C.

美

/如图，在0ABCD中，AD=5,AB=3,AE平分/BAD交BC边于点E,贝I」线

Ji______£______L___

段BE,EC的长度分别为（）

A.3和2B.2和3C.4和1D.1和4

答案：A

解析：

解：：AE平分NBAD交BC边于点E,

/BAE=NEAD,

•・•四边形ABCD是平行四边形,

，AD〃BC,AD=BC=5,

/DAE=NAEB,

AZBAE=ZAEB,

；.AB=BE=3,

EC=BC-BE=5-3=2,

故选A.

9.如图，梯形ABCD中，AD//BC,AD：BC=a：b,中位线EF=m,则图示MN的长是（

D.

解析：

解：：EF为梯形ABCD的中位线，

；.EF〃AD〃BC,E用(AD+BC),

lEF分别交AC、BD于点N、M,

AM,N分别为BD、AC中点，

；.EM、FN分别是AABD、△ACD的中位线,

r-

M1

EHFNjD

V2

-

D,口

2MA(

/IN-E:2BC-AD),

-FN

一

答案：C

解析：

解：♦.•直线AB〃CD〃EF,

BDAC33

~BF

故选：c.

答案：c

解析:

VDE/7BC,

.ECDB

一,

9

故选：C.

设集合/={-卜也工则下列关系中正确的是（

12.240},m=2°\)

A.m£PB.mgPC.m£PD.mGP

答案：c

解析：

解：,集部=一也dj={xiow「}

m=2°s趋，则mGP.

故选C.

13.如图所示，已知AA，〃BB，〃（:C,AB：BC=1：3,那么下列等式成立的是（）

B.3A'B'=B'C'

C.BC=B'C'D.AB=A'B'

答案：B

解析：

解：；AA'〃BB'〃CC',AB：BC=1：3,

，A'B'：B'C'=1：3,

.•.3AB=B，C.

故选:B.

14.设M={a},则下列写法正确的是（）

u

A.a=MB.aeMC.aUMD.2M

答案：B

解析：

解：因为集合M={a},a是集合的元素，所以选项B正确；A、C、D错在a不是集合.

故选B.

15.4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，

不同报法的种数是（）

A.34B.43C.24D.12

答案：A

解析：

解：四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，

每人有3种报名方法；

根据分步计数原理，可得共有3x3x3x3=34种不同的报名方法；

故选A.

16.经过2小时，钟表上的时针旋转了（）

A.60°B.-600C.30°D.-30°

答案：B

解析：

解：钟表上的时针旋转一周是-360。，其中每小时旋转己手卜0。,所以经过2小时应旋转-

60°.

故选B.

17.下列六个关系式：®{a,b}£{b,a}②{a,b}={b,a}③0=0④06{0}⑤06{0}⑥0U{O}其中

正确的个数为（）

A.6个B.5个C.4个D.少于4个

答案：C

解析：

解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；

根据集合无序性可知②正确；

根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；

根据元素与集合之间可知④正确：

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.

故选C.

18.设集合P={X|X2+X-6=0},则集合P的元素个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：C

解析：

解：集合P={x|x?+x-6=0},

解方程x?+x-6=0,得两根：2,-3

则集合P的元素个数是2.

故选C.

19.时间经过2h,时针转过的角是（）

答案：B

解析：

解：1小时时针转动一大格，故转过的角度是-30。.

2小时时针转动两大格，故转过的角度是-60。

故选B.

20.已知集合人=匕},则下列各式正确的是（）

U

A.zAB.a《AC.agAD.a=A

答案：B

解析:

解：•..集合A={a},

AaeA

点D、E分别在AB、AC边上，DE〃BC,若AD：AB=3：

A.3B.4C.6D.8

答案：D

解析:

解：VDEZ/BC,

.,.△ADEs"BC,

AAD：AB=AE：AC,

而AD：AB=3：4,AE=6,

.•.3：4=6：AC,

；.AC=8.

故选D.

评卷人得分

二.填空题（共7小题）每题2.5分【共17.5】

22.在等腰三角形△ABC中，底边BC=1,底角平分线BD交AC于点D,求BD的取值范围

是.

答案：（||，2）

解析：

解：因为底角B的角平分线BD交AC于点D

所嘿啜

设AB=AC=a,CD=x,则:

所以

因为BC-CD<BD<BC+BD

所旧

由题得：a>0.5

所用<BD<2

故答案为：（百,

,2).

23.如图所示：在矩形ABCD中，EF〃BC,HG〃AB,且矩形AEOH,HOFD,OGCF的面积分

答案：10

解析:

解：根据题干分析可得设矩形EBGO的面积是X,则可得出比例式为:

X：7=9：4

4x=63

x=15.75

即矩形EBGO的面积是15.75,

大矩形ABCD的面积是：9+4+7+15.75=35.75,

所以AHBF的面积是:35.75-(9+15.75)+2-4+2-(15.75+7)+2

=35.75-12.375-2-11.375

=10

故答案为：10

24.设-56{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x，4x-a=0}中所有元素之和为

答案：2

解析：

解：因为-5G{x|x2-ax-5=0},

所以25+5a-5=0,所以a=-4,

x2-4x-a=0EPX2-4X+4=0,解得X=2,所以集合{x|xJ4x-a=0}={2}.

集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为：2.

故答案为：2.

25.72的正约数（包括1和72）共有个.

答案：12

解析：

解：72=23X32.

/.2m«3n（0<m<3,0<n<2,m,n£N）都是72的正约数.

m的取法有4种，

n的取法有3种，

由分步计数原理共3X4个.

故答案为：12.

26.若x、yeN*,且x+yW6,则有序自然数对（x,y）共有个.

答案：15

解析：

解：当x=l时，y可取的值为5、4、3、2、1,共5个；

当x=2时，y可取的值为4、3、2、1,共4个；

当x=3时，y可取的值为3、2、1,共3个；

当x=4时，y可取的值为2、1,共2个；

当x=5时，y可取的值为1,共1个；

即当x=l,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，

由分类计数原理，不同的数对（x,y）共有5+4+3+2+1=15（个）.

故答案为：15.

27.某