高考解答题部分16讲（题目新颖题型贴合新高考）

目录

第1讲常规型解三角形........................................................................1

第2讲解三角形-结构不良型...................................................................6

第3讲数列-常规型...........................................................................13

第4讲数列-结构不良型.......................................................................19

第5讲概率与统计-回归分析、独立性检验......................................................25

第6讲概率与统计-随机变量及其分布...........................................................39

第7讲空间向量与立体几何...................................................................54

第8讲圆锥曲线-椭圆........................................................................65

第9讲圆锥曲线-双曲线.......................................................................72

第10讲圆锥曲线-抛物线......................................................................76

第11讲圆锥曲线-定点、定值、定直线问题......................................................81

第12讲导数-极值、最值问题..................................................................89

第13讲导数-零点问题........................................................................94

第14讲导数-恒成立问题......................................................................98

第15讲导数-存在性问题......................................................................102

第16讲导数-不等式的证明....................................................................106

第1讲常规型解三角形

【考向分析】

1.解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围.

2.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积

的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利

用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

3.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一

般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解

决三角形问题时，注意角的限制范围.

4.针对查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两

种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；

二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值,

考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.

【好题赏析】

1.AA5c的内角A,B，C的对边分别为a，h,c,已知GcosA=2sin9(cos2T-sin2q).

(1)求A；

(2)若Z?+c=5,且AABC的面积为述，求。的值.

2

2.已知△ABC的内角，AB,C所对的边分别是a,b,c,且&0118+。(：054=26.

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=6,且AA3c的面积S=2>/J,求a.

3.在AA3c中，角ABC的对边分别为a,"c,A=8+3C.

(1)求sinC的取值范围；

(2)若c=6b,求sinC的值.

4.在AABC中，a,b,c分别为角A,B，C的对边，且bcos,A=c.—a-

2

(1)求角8；

(2)若AABC的面积为26，BC边上的高AH=1,求b,c.

jr

5.如图，在AABC中，AB=2,NB=一，点D在线段8C上.

3

BC

D

jr

(1)若NA4O=一,求A。的长；

4

⑵若BD=3DC,且SABC=2G，求sm184"的值.

.sinNCAD

6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设Gz?sinA=a(2+cos3).

(1)求角B;

(2)若b=3,且A45c的面积等于且，求L+L的值.

2cic

「：「

7.在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a,b,c<且J5asinB=2〃cos2---

2

(1)求角A的大小；

(2)若8C边上的中线AD=2,求AABC面积的最大值.

8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知ccosA+(a+2Z?)cosC=0.

(1)求C的大小；

(2)AA6c的面积等于46，。为BC边的中点，当中线A。长最短时，求AB边长.

9.在锐角三角形AABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,C,向量五=(cosC,cosA)与

n=（2b-c,a）平行.

(1)求角A的大小；

(2)求2的取值范围.

C

10.的内角A，B,C的对边分别为a,h,c,已知a=CCOSB+'/J.

2

(1)若c=l,求△ABC面积的最大值；

(2)若。为BC边上一点，DB=4,AB-5,且%从&5=-12，求AC.

11.己知AABC1中，角A、B、C的对边分别是“、b、c,已知2acosC+c=2/7.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积为由，若△ABC的周长为6,求三角形的边长a.

12.已知△ABC中，AB=^BC=B&AC2+2AB=5-

2

(1)求NA3C的值；

57r37r

(2)若尸是AABC内一点，且NAPB=',NCPB=—,求tanNPBA.

64

13.在AABC中，a,b,。分别为角A,B,。的对边，sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

(1)求角5的大小；

(2)若AABC为锐角三角形，b=6求2。一。的取值范围.

14.在AABC中，它的内角A,B,C的对边分别为“，b,。，且3=彳，b=瓜.

2

(1)若cosAcosC=一,求6c的面积；

3

(2)试问［+2=1能否成立？若能成立，求此时6c的周长；若不能成立，请说明理由.

ac

15.在△ABC中，cosB(\/3a-bsinC)=0sin3cosc.

(1)求&

(2)若c=2a,ATWC的面积为2叵，求的周长.

3

16.△ABC的内角4,B,C的对边分别为mb,c,已知向量加=(c-a,sin8),〃=(匕-a,sinA+sinC),

Ui

满足加〃〃•

(1)求C；

(2)若Cc+3/?=3。，求sinA.

17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.己知(6-cosA)c=acosC.

⑴求:；

b

(2)若COSA=£,且AABC的面积为2叵，求a.

2b4

cosAcos「I

18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知---+------=—，且Z?=2.

ac2

(1)证明：+C>4;

（2）若△ABC的周长为2+3近，求其面积S.

19.已知。也c是△ABC的内角的对边，且

5cosBcosC+2=5sinBsinC+cos2A.

（1）求角A的大小；

a

（2）若5c的面积S=1G,c=百，求sinBsinC的值

2

20.如图，在四边形ABC。中，CD=36BC=币，cosZCBD=~—.

A

(1)求NBDC；

jr

（2）若NA=§,求人钻。周长的最大值.

第2讲解三角形-结构不良型

【考向分析】

1.“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的,即无论选择哪个

条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、

过程规范，都会得满分.

2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算.可以从两方面思考：

①从题目给出的条件，边角关系来选择；

②从式子结构来选择.

3.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一

般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解

决三角形问题时，注意角的限制范围.

4.求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，

建立a+A,ab,合+^之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.

5.在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选

择“边化角''或"角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

②若式子中含有“、b、。的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

④代数式变形或者三角恒等变换前置；

⑤含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑥同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

【好题赏析】

1.在①sinC+百cosC=2,②C=2A,③人=2。这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题

中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且（3c—沙）cosA=2。cos3,

c=],?

2.在①tanA-tanB=l,h=^^-；②Z?=4c,sin4=走。中任选一个，补充到下面的横线中，并求解.

24

在AA5c中，角A,B,C所对的边分别为“，b,C,面积S=4g，且,求ATWC的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3.在①6sinB=5sinA,②出?=4,③一。一2=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问

题中的三角形存在，求力的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△A5C,它的内角A，B,。的对边分别为。，。，。，且c=3,9cos8=3a+h,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

B

4.从①cosB+cos—=0；②sin?A—sin25+sin2C+sinAsinC=O：③8,cosC+(2a+c)cosB=0,

2

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若,

(1)求8；

(2)若AAbC面积的最大值为走，求江

12

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5.在△A8C中，asinB=0cos[,

(1)求A；

(2)若c=5,求》.

TT

从①a=7,②C=—，③a=6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(注：如果选择

4

多个条件分别解答，按第一个解答给分)

B_c3

6.在①2acosC+c=2/7,②cos?-----cosBcosC=—,③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这

24

三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2,求AA6c面积的最大值.

7.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a也c,请在①}+/7cosc=6;sinB：②（20-a）cosC=ccosA；

③a2+/_c2=±@s，”这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

3A/IDC

（1）求NC；

用

（2）若a=5,c=7,延长C8到。，使cos/AOC=^—，求线段8。的长度.

7

8.在①tanB=2tanC,®3b2-a2=12.③bcosC=2ccosB三个条件中任选一个，补充在下面问题中

的横线上，并解决该问题.

问题：已知AABC的内角及其对边a/,c,若c=2,且满足.求AA3C的面积的最大

值（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

9.在锐角AABC中，设角A,B,。所对的边长分别为a,b,c,且人sinA=9&.

2

（1）求8的大小；

3

（2）若AB=2,BC=一，点。在边AC上，__________,求的长.

2

请在①AD=£>C；②/DBC=/DBA；③或）LAC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并

完成解答（如选多个条件作答，按排列最前的解法评分）.

10.已知AABC的内角A、B、C所对的边分别是a,h,c,在以下三个条件中任先一个：①

(sin5-sinC)2=sin2A-sin5sinC；@sin—=.③。sin

442

并解答以下问题:

(1)若选.(填序号)，求NA的值;

(2)在(1)的条件下，若。=6/=而(加＞0),当△MC有且只有一解时，求实数m的范围及△A6C

面积5的最大值

11.现有三个条件①csin(A+8)=bsin8+(c-a)sinA,②—^―=―-—,③。(1+cosB)=®sinA,请任

tan32sinA

选一个，填在下面的横线上，并完成解答.

己知AABC的内角A,3,c所对的边分别是a,b,C,若.

(1)求角8；

(2)若a+c=2不，求AABC周长的最小值，并求周长取最小值时AAiBC的面积.

12.在①asinC=ccos(A-看)，(2)sing=sinA,③cos2A+3cosA=1这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，若问题中的AABC存在，求出其面积；若不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、。所对的边分别为。、b、C,且4=2百，b+c=46,

13.在①6sin3=5sinA,②出尸4,③C=60。这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的

三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，请明理由.

问题：是否存在△A5C,它的内角A,B,。的对边分别为。，〃，J且c=3,9cos8=3a+8,?

14.在AAbC中，cosC=-1,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求:

O

(1)sinB的值；

(2)AABC的面积.

条件①：a=4,c=6；条件②：a=4,△ABC为等腰三角形.

15.在①*csin8=a-Z?cosC，②AsinC=ccos]8-[J这两个条件中任选一个作为已知条件，补充

到下面的横线上并作答.

问题：AAbC的内角A8,C的对边分别为a/,c,已知.

(1)求3；

(2)若。为4c的中点，BD=2,求△工石。的面积的最大值.

16.在①cosC+(cosA-Gsin4卜。58=0,②cos2B-3cos(A+C)=l,®Z?cosC+—csinB=a

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：在AMC中，角A、B、C对应的边分别为“、b、C,若a+c=l,,求角8的值

和匕的最小值.

17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①GcosA(ccosB+hcosC)=asinA；

cc2b-c

②cosC=----

2a

③tanA+tanB+tanC=GtanBtanC.

已知AABC的内角A,8,C的对应边分别为a,b,c,

(1)求A;

(2)若a=2,b+c=JS,求△ABC的面积.

18.在5c中，角4氏。所对的边分别为a,"c,已知b=l,面积S=—再从以下两个条件中选

8sinA

择其中一个作为已知，求三角形的周长.

c兀

(1)B=—；

6

(2)B=C.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.在①万2+①m=。2+。2,@acosB-bsinA,③sinB+cos3=J^，这三个条件中任选一个，补

充在下面的问题中，并解决该问题.

jr

已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为“，b,c,,A=—,。=正，求—45c的

面积.

20.在①(Z?+a—c)(Z?—a+c)=ac：②cos(A+8)=sin(A-8)；③tan---=sinC这三个条件中任

2

选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△A8C,它的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且〃=272，，?

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

第3讲数列-常规型

【考向分析】

(1)证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明如一如7=成色2,4为常数)；二

是等差中项法，证明2%+|=即+%+2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反

证法.

(2)数列求和的常用方法：

①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

②对于｛。屹,｝结构，其中｛《,｝是等差数列，｛勿｝是等比数列，用错位相减法求和：

③对于｛《,+2｝结构，利用分组求和法；

④对于I」一结构，其中｛4｝是等差数列，公差为a,则」一」——-L利用裂项相消法求

[44,+J44+1d｛anall+l）

和.

（3）数列求和的常用方法：（设数列｛4,｝是等差数列，｛"｝是等比数列）

①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

②错位相减法：数列｛a„bn]的前〃项和应用错位相减法；

r1,

③裂项相消法；数歹八-----｝（%为常数，wO）的前九项和用裂项相消法;

a-

④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并

项求和法；

⑤倒序相加法：满足a,“+a“_,“=A（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.

（4）裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是

根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

①-/1\-----②~1——F—『&_&）；

n[n+k）k（〃n+k）y/n+k+y/nk'>

公1_1（1______T（2,,+l-1）-（2"-1）11

③（2〃-1）（2"+1）-「2〃+l>@（2,,-l）（2,,+l-l）=（2,--l）（2n+'-l）=2"-1"2n+,-1；此

外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

（5）数列求和的方法技巧

①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

【好题赏析】

1.已知数列｛。”｝的前〃项和为S”%=6,5“=+1.

（1）证明：数列｛S,,-1｝为等比数列，并求出S“.

（2）求数列，’4的前〃项和7；.

2.已知｛4｝,他J分别是等差数列和等比数列，4=4=1,々=d>°，且qH4，〃eN”.

(1)若%也，。3成等差数列，求｛%｝,｛2｝的通项公式：

(2)当〃>2时，证明：an<bn.

3.设S“为数列｛凡｝的前〃项和，己知q=2,对任意"GN"，都有2s“=(〃+l)a”.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

4

(2)若数列―7-----k》的前巩项和为北.

。“(q+2)

①求小

②若不等式病-机-^47；对任意的〃eN*恒成立，求实数用的取值范围.

4.设数列｛4｝满足aa=3a“i+2(〃22),且q=2,bn=log3(an+1).

(1)证明：数列｛a,,+1｝为等比数列；

(2)设%=2，力,,求数列｛c,J的前〃项和S“.

5.己知S,为数列｛a.｝的前”项和，a\=\,S”=斯+i-l.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若数列仍“｝满足2%+i+S“+i=2d+2%，证明数歹U｛斯+d｝为等差数列，并求其公差.

6.己知公差d>0的等差数列｛4｝,S“是｛4｝的前〃项和，a2=8,S2+I是力和S4+6的等比中项.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设数列也｝满足b„=―—，且也“｝的前〃项和为7；,求证T“〈士.

an*an+\15

7.已知等差数列｛a,,｝的前三项依次为“，8,4a+l,前〃项的和为S“，Sk=366.

（1）求。及女的值；

（2）设数列也｝满足勿=---,且也｝的前〃项和为《，求"

an,〃〃+1

8.已知等差数列｛q｝和等比数列也｝满足％=4,4=2,a2=2b2-l,%=4+2.

（1）求｛凡｝和也｝的通项公式：

（2）数列｛凡｝和｛勿｝中的所有项分别构成集合A,B,将AUB的所有元素按从小到大依次排列构成一

个新数列｛%｝,求数列｛c“｝的前60项和S60.

9.已知各项均为正数的等差数列｛斯｝满足m=l,a"=a；+2（a,用+。“）.

（1）求｛为｝的通项公式；

1

（2）记b=~r=T=,求数列｛/?”｝的前n项和

\lan+yjan+i

10.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S/，%=1,—4——4--3--=n(n..2),ziGN*-

12n-\n

（1）求数列｛%｝的通项公式;

111

（2）若q,ak,S"2成等比数列，A:eN,.求三+三+....+丁的值.

02%2

11.已知等差数列｛q｝的前"项和为s“，§5=25,且%T，4+1，%+3成等比数歹IJ.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若勿=」一，求数列也｝的前〃项和7；.

an.an+\

12.设等差数列｛/｝的前〃项和为S“，已知S5=35,且％是%与小的等比中项•

(1)求｛4｝的通项公式；

1113

(2)若“<4.求证：—+—+••-+—<—,其中〃wN*.

324

13.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，且4+：=25“+〃+1，4=2.

(1)求数列｛《,｝的通项公式为；

(2)若d=a.2,数列｛〃｝前〃项和为刀,，求使7；>2021的最小的正整数〃的值.

14.已知S"为数列｛《,｝的前〃项和，数列｛S,｝是等差数列，且§5=9,S9=17.

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)求数列｛a“-2"-S“｝的前〃项和7；,.

15.Sn为数列｛tz„｝的前〃项和，已知%=1,〃a“+i=2S„.

（1）求｛4｝通项公式；

（2）设匕1一,数列｛勿｝的前〃项和7；,若北+（-1）向义＞0,求整数4值.

科”+1

16.己知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且见+|=2S“+2,数列也｝满足4=2,（〃+2）2=〃％,其

中〃£N*.

（1）分别求数列｛q｝和｛2｝的通项公式；

（2）在%与%+1之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为%的等差数列，求数列｛〃£,｝的前〃项

和小

I7

17.已知公比小于1的等比数列｛%｝中，其前〃项和为S“M2=—，S3=W.

48

（1）求a”；

(2)求证:S<1.

2

18.设｛4｝是各项都为正的单调递增数列，已知勺=4,且满足关系式：an+l+a„=4+2MM,〃eN*.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵若b“=——-,求数列也｝的前〃项和S,,.

19.己知首项为4的数列｛见｝的前〃项和为S“，且掾=%§

（1）求证：数列｛/，为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）若a=%,求数列也｝的前〃项和北.

20.设数列｛4｝满足q=1,用一%=2・3"工

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）令2=（2〃+1）%,求数列也｝的前〃项和S..

第4讲数列-结构不良型

【考向分析】

（1）方法技巧：在求解等差数列基本量问题时，常用的思想方法有：

①方程思想，设出公差d,然后利用通项公式或前〃项和公式将已知条件转化为方程（组）求解；

②整体思想，当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用卬和公差d表示，寻求两者的联系，整体

代换即可求解；

③利用性质，运用等差数列的性质可以化繁为简，优化解题过程.

（2）等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的

有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时

还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

（3）数列求和的常用方法：

①对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

②对于｛%"｝型数列，其中｛%｝是等差数列，也“｝是等比数列，利用错位相减法求和；

③对于｛%+bn｝型数列，利用分组求和法；

④对于<aa型数列，其中｛%｝是公差为"(dHO)的等差数列，利用裂项相消法.

(4)数列求和的方法技巧：

①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

【好题赏析】

b.b/4〃+6

1.从①历=3；②一+—+•・・+n—=6-——；③a/?+凡么+・・•+〃，=3+(2〃-3)2”中任选两个补

a.a.an2,•

充到下面问题中的横线上，然后完成问题的解答.问题：已知数列｛可｝为正项等比数列，％=1;数列｛，｝

满足：.

(1)求。“；

(2)求,一一的前〃项和7；.注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分.

2.在①4+4=4，②a+Ss=-“，③%+%=-4这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问

题中的加存在，求出用的值；若不存在，请说明理由.

设等差数列｛q｝的前〃项和为S,,,｛々｝是各项均为正数的等比数列，设前〃项和为7；,

若,,且4=2,7；=5。.是否存在大于2的正整数m,使得4sl,S,“成等比数列？

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

3.在①对任意〃>1满足S.+1+S,T=2(S“+1)；②S“+「2=S“+a”；③S”=加,用一〃(〃+1).这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中.问题：已知数列｛4｝的前"项和为",“2=4,,若数列｛4｝

是等差数列，求出数列｛%｝的通项公式；若数列｛4｝不是等差数列，说明理由.

4.从①4+4+&+...+a=川?1(〃€%*),②也｝为等差数列且2=2,24+4=7,这两个条

件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.

问题：已知数列｛q｝,也｝满足4=2",且___________.

(1)证明：数列｛%｝为等比数列；

(2)若c,“表示数列也｝在区间(0,%,)内的项数，求数列匕”｝的前加项的和

5.给定三个条件：①出，包，6成等比数列，②$4=5%，③(〃+1)4=〃。向，从上述三个条件中，任

选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

问题：设公差不为零的等差数列｛为｝的前〃项和为S“，且S3=6,.

(1)求数列｛4｝的通项；

(2)若d=——-,数列也｝的前n项和K,,,求证：Kn<-.

a*n+24

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

6.设｛4｝为等差数列，｛〃｝是正项等比数列，且4=々=2,%=2%.在①么一4=12仇，②。5+2=打，

③log2"=log2〃T+l,n>2,〃eN*这三个条件中任选一个，求解下列问题：

(1)写出你选择的条件并求数列｛%｝和他“｝的通项公式；

(2)在(1)的条件下，若％=%也(〃wN*)，求数列｛5｝的前"项和S”.

7.给出下列三个条件：①25"+1=3"；②2s”=3。“一1；③4=1,。，川=2S“+1,请从这三个条件中任选

一个将下面的题目补充完整，并求解：

设数列｛(｝的前〃项和为Sn,满足,

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若b.=a“+log3%.，求数列也,｝的前〃项和7；.

8.己知数列｛4｝的前〃项和为s“=妁F，各项均为正数的等比数列｛2｝的前〃项和为,，，

且4=4.

在①=3；②7；=7；③仇-4=2打这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）设数列，?4的前"项和为A“，求证：4<2.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

9.在①2s“M=S“+1,②生=；，③S“=l-2a,用这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解

答.

已知数列｛%｝的前〃项和为S“，满足一，一；又知正项等差数列｛2｝满足乙=3,且乙，%-2,&

成等比数列.

（1）求｛4｝和｛4｝的通项公式;

b,

（2）设g=才，求数列｛%｝的前项和

10.在①S4=4$2，a2n=2a,,+1；②。“+%=4〃；③%>0,4S“=（%+1丫.从这三个条件中任选

一个填入下面的横线上并解答.

己知数列｛可｝是等差数列其前〃项和为S“，〃GN*，若.（注：如果选择多个条件分别解答，按

第一个解答计分.）

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）对任意的机eN*，将｛%｝中落入区间（2"',22"'）内项的个数记为也,｝,求数列仇｝的通项公式和数

列｛九｝的前川项和图.

11.从①4+么+伉+•••+%=②｛勿｝为等差数列且4=2,24+仇=7,这两个条件

中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.

问题：已知数列｛4｝,｛〃｝满足%=2",且.

（1）证明：数列｛%｝为等比数列；

（2）若以表示数列圾｝在区间（0,勺）内的项数，求数列｛%｝前m项的和7；,.

12.在①。2+“4=6,S9=45②S“=Z+E③2^=’7（"N2）,q=1这三个条件中任选一个补充

"22%«-1

在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,,数列也｝为等比数列，仇=2%,瓦=2%,求数歹（］｛a也｝的

前〃项和

13.在①4S“=a；+2a“，②％=2,〃。用=2S“这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.

己知正项数列｛凡｝的前〃项和为S,,.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）若数列也｝满足log也=；%T,且％=。也，求数列｛%｝的前"项和

32

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

14.在①S“=/J②—=2a,,-%,$7=4%=28；③*L=——，S3=6这三个条件中任选一

2%〃

个补充在下面的问题中，并加解答.

问题：设数列｛为｝的前〃项和为S“，,若a=翕，求数列出｝的前〃项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.

3

15.在①S“=w〃2-如+l（〃wN*,左为常数），②4用=%+d（〃eN*,d为常数），③

a“+i=ga“（4＞（），〃eN*M为常数）这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，若问题中的数列存在，求

数列4―的前10项和；若问题中的数列不存在，说明理由.

问题：是否存在数列｛q｝（"€"）,其前几项和为S“，且q=l,%=4,?注：如果选择多个

条件分别解答，按第一个解答计分.

16.^@S5=2S3+5,②a=243③q4=4这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.设S“

为等差数列｛凡｝的前〃项和，｛bn｝是正项等比数列吗=伉=3,%=瓦,且.

（1）求数列｛4,｝,｛2｝的通项公式；

（2）如果4=2（机,〃eN"）,写出相，”之间的关系式加=/（〃），并求数列｛/（〃）｝的前〃项和

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.在①Sg=72,②S5=64,③S6=S4+%这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问

题：已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，4=6,，若数列也｝满足2=2%求数列｛4+%｝

的前”项和7；.

18.在①'=②a“+M,=2S“，③a,：+a“=2S“，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，

n2

并解答该问题.

已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“,q=1,满足.

（1）求；

（2）若2=（4+1）.20”，求数列也｝的前〃项和7；.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.在①。2=3弓，S5-S2=42,②S4=32,a5=18,③4=2,-4=质二^这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中并作答.

已知等差数列｛凡｝的前〃项和为且.

（1）求数列｛/｝的通项公式；

（2）设〃=-——，求数列也｝的前〃项和

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.已知各项均为正数的等比数列｛勺｝的前〃项和为S”，且2s2=9q—2,4=24+3卬.

⑴若等差数列也｝满足。=q（i=l,2）,求｛“，｛2｝的通项公式；

（2）若c,=,求数列匕｝的前〃项和7；.

42n3〃

在①五一+i；②一-“八；③这三个条件中任选一个补充到第（2）问

b"i佃+4+a+…+%）5+1）snsn+i

中，并对其求解.

注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.

第5讲概率与统计-回归分析、独立性检验

【考向分析】

（1）频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时

应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实

际生活中的应用.

（2）求回归直线方程的一般步骤

①作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在

一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系.

②当两变量具有线性相关关系时，求回归系数6、5,写出回归直线方程.

③根据方程进行估计.

（3）独立性检验的一般步骤

①根据样本数据列出2x2列联表；

②计算随机变量K2的观测值k,查下表确定临界值质：

P(K2>k„)0.250.15().100().0500.0250.010().0050.001

氏01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

③如果ZN%,就推断“X与丫有关系”，这种推断犯错误的概率不超过RK,NZo）；否则，就认为在犯错

误的概率不超过HK?2%）的前提下不能推断“*与丫有关系

注意：①通常认为ZW2.706时，样本数据就没有充分的证据显示“X与y有关系”.

②独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，

因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统

计计算的结果作出错误的解释.

③独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断.

【好题赏析】

1.随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地

位.某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人

群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人根据调查发现“青年人”使

用智能手机占比为60%,“非青年人”使用智能手机占比为40%；日均使用时长情况如下表：

时长2小时以内2〜3小时3小时以上

频率0.40.30.3

将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群“，使用时长在2小时以内称为“非