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文档简介

目录

第1讲常规型解三角形........................................................................1

第2讲解三角形-结构不良型...................................................................6

第3讲数列-常规型...........................................................................13

第4讲数列-结构不良型.......................................................................19

第5讲概率与统计-回归分析、独立性检验......................................................25

第6讲概率与统计-随机变量及其分布...........................................................39

第7讲空间向量与立体几何...................................................................54

第8讲圆锥曲线-椭圆........................................................................65

第9讲圆锥曲线-双曲线.......................................................................72

第10讲圆锥曲线-抛物线......................................................................76

第11讲圆锥曲线-定点、定值、定直线问题......................................................81

第12讲导数-极值、最值问题..................................................................89

第13讲导数-零点问题........................................................................94

第14讲导数-恒成立问题......................................................................98

第15讲导数-存在性问题......................................................................102

第16讲导数-不等式的证明....................................................................106

第1讲常规型解三角形

【考向分析】

1.解三角形一般需要三个条件,如果条件不齐,则只能求角或者求范围.

2.解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求三角形面积

的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利

用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.

3.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一

般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解

决三角形问题时,注意角的限制范围.

4.针对查利用正余弦定理解三角形,及利用基本不等式求三角形周长的最值,利用条件最值的求解通常有两

种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;

二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值,

考查学生的转化能力与运算解能力,属于中档题.

【好题赏析】

1.AA5c的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,已知GcosA=2sin9(cos2T-sin2q).

(1)求A;

(2)若Z?+c=5,且AABC的面积为述,求。的值.

2

2.已知△ABC的内角,AB,C所对的边分别是a,b,c,且&0118+。(:054=26.

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=6,且AA3c的面积S=2>/J,求a.

3.在AA3c中,角ABC的对边分别为a,"c,A=8+3C.

(1)求sinC的取值范围;

(2)若c=6b,求sinC的值.

4.在AABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且bcos,A=c.—a-

2

(1)求角8;

(2)若AABC的面积为26,BC边上的高AH=1,求b,c.

jr

5.如图,在AABC中,AB=2,NB=一,点D在线段8C上.

3

BC

D

jr

(1)若NA4O=一,求A。的长;

4

⑵若BD=3DC,且SABC=2G,求sm184"的值.

.sinNCAD

6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设Gz?sinA=a(2+cos3).

(1)求角B;

(2)若b=3,且A45c的面积等于且,求L+L的值.

2cic

「:「

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c<且J5asinB=2〃cos2---

2

(1)求角A的大小;

(2)若8C边上的中线AD=2,求AABC面积的最大值.

8.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知ccosA+(a+2Z?)cosC=0.

(1)求C的大小;

(2)AA6c的面积等于46,。为BC边的中点,当中线A。长最短时,求AB边长.

9.在锐角三角形AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量五=(cosC,cosA)与

n=(2b-c,a)平行.

(1)求角A的大小;

(2)求2的取值范围.

C

10.的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,已知a=CCOSB+'/J.

2

(1)若c=l,求△ABC面积的最大值;

(2)若。为BC边上一点,DB=4,AB-5,且%从&5=-12,求AC.

11.己知AABC1中,角A、B、C的对边分别是“、b、c,已知2acosC+c=2/7.

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC的面积为由,若△ABC的周长为6,求三角形的边长a.

12.已知△ABC中,AB=^BC=B&AC2+2AB=5-

2

(1)求NA3C的值;

57r37r

(2)若尸是AABC内一点,且NAPB=',NCPB=—,求tanNPBA.

64

13.在AABC中,a,b,。分别为角A,B,。的对边,sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

(1)求角5的大小;

(2)若AABC为锐角三角形,b=6求2。一。的取值范围.

14.在AABC中,它的内角A,B,C的对边分别为“,b,。,且3=彳,b=瓜.

2

(1)若cosAcosC=一,求6c的面积;

3

(2)试问[+2=1能否成立?若能成立,求此时6c的周长;若不能成立,请说明理由.

ac

15.在△ABC中,cosB(\/3a-bsinC)=0sin3cosc.

(1)求&

(2)若c=2a,ATWC的面积为2叵,求的周长.

3

16.△ABC的内角4,B,C的对边分别为mb,c,已知向量加=(c-a,sin8),〃=(匕-a,sinA+sinC),

Ui

满足加〃〃•

(1)求C;

(2)若Cc+3/?=3。,求sinA.

17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为。,b,c.己知(6-cosA)c=acosC.

⑴求:;

b

(2)若COSA=£,且AABC的面积为2叵,求a.

2b4

cosAcos「I

18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为〃,b,c,已知---+------=—,且Z?=2.

ac2

(1)证明:+C>4;

(2)若△ABC的周长为2+3近,求其面积S.

19.已知。也c是△ABC的内角的对边,且

5cosBcosC+2=5sinBsinC+cos2A.

(1)求角A的大小;

a

(2)若5c的面积S=1G,c=百,求sinBsinC的值

2

20.如图,在四边形ABC。中,CD=36BC=币,cosZCBD=~—.

A

(1)求NBDC;

jr

(2)若NA=§,求人钻。周长的最大值.

第2讲解三角形-结构不良型

【考向分析】

1.“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型:题目所给的三个可选择的条件是平行的,即无论选择哪个

条件,都可解答题目,而且,在选择的三个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、

过程规范,都会得满分.

2.一般先选择条件,再根据正余弦定理化简求值、计算.可以从两方面思考:

①从题目给出的条件,边角关系来选择;

②从式子结构来选择.

3.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一

般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解

决三角形问题时,注意角的限制范围.

4.求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时,常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,

建立a+A,ab,合+^之间的等量关系与不等关系,然后利用函数或基本不等式求解.

5.在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选

择“边化角''或"角化边”,变换原则如下:

①若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;

②若式子中含有“、b、。的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;

③若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;

④代数式变形或者三角恒等变换前置;

⑤含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;

⑥同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.

【好题赏析】

1.在①sinC+百cosC=2,②C=2A,③人=2。这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题

中的三角形存在,求。的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为。,b,c,且(3c—沙)cosA=2。cos3,

c=],?

2.在①tanA-tanB=l,h=^^-;②Z?=4c,sin4=走。中任选一个,补充到下面的横线中,并求解.

24

在AA5c中,角A,B,C所对的边分别为“,b,C,面积S=4g,且,求ATWC的周长.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

3.在①6sinB=5sinA,②出?=4,③一。一2=0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问

题中的三角形存在,求力的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△A5C,它的内角A,B,。的对边分别为。,。,。,且c=3,9cos8=3a+h,?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答记分.

B

4.从①cosB+cos—=0;②sin?A—sin25+sin2C+sinAsinC=O:③8,cosC+(2a+c)cosB=0,

2

这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.

在AABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,

(1)求8;

(2)若AAbC面积的最大值为走,求江

12

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

5.在△A8C中,asinB=0cos[,

(1)求A;

(2)若c=5,求》.

TT

从①a=7,②C=—,③a=6这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.(注:如果选择

4

多个条件分别解答,按第一个解答给分)

B_c3

6.在①2acosC+c=2/7,②cos?-----cosBcosC=—,③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这

24

三个条件中任选一个补充在下面的横线上,并加以解答.

在AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,求AA6c面积的最大值.

7.在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a也c,请在①}+/7cosc=6;sinB:②(20-a)cosC=ccosA;

③a2+/_c2=±@s,”这三个条件中任意选择一个,完成下列问题:

3A/IDC

(1)求NC;

(2)若a=5,c=7,延长C8到。,使cos/AOC=^—,求线段8。的长度.

7

8.在①tanB=2tanC,®3b2-a2=12.③bcosC=2ccosB三个条件中任选一个,补充在下面问题中

的横线上,并解决该问题.

问题:已知AABC的内角及其对边a/,c,若c=2,且满足.求AA3C的面积的最大

值(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)

9.在锐角AABC中,设角A,B,。所对的边长分别为a,b,c,且人sinA=9&.

2

(1)求8的大小;

3

(2)若AB=2,BC=一,点。在边AC上,__________,求的长.

2

请在①AD=£>C;②/DBC=/DBA;③或)LAC这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并

完成解答(如选多个条件作答,按排列最前的解法评分).

10.已知AABC的内角A、B、C所对的边分别是a,h,c,在以下三个条件中任先一个:①

(sin5-sinC)2=sin2A-sin5sinC;@sin—=.③。sin

442

并解答以下问题:

(1)若选.(填序号),求NA的值;

(2)在(1)的条件下,若。=6/=而(加>0),当△MC有且只有一解时,求实数m的范围及△A6C

面积5的最大值

11.现有三个条件①csin(A+8)=bsin8+(c-a)sinA,②—^―=―-—,③。(1+cosB)=®sinA,请任

tan32sinA

选一个,填在下面的横线上,并完成解答.

己知AABC的内角A,3,c所对的边分别是a,b,C,若.

(1)求角8;

(2)若a+c=2不,求AABC周长的最小值,并求周长取最小值时AAiBC的面积.

12.在①asinC=ccos(A-看),(2)sing=sinA,③cos2A+3cosA=1这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中,若问题中的AABC存在,求出其面积;若不存在,说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A、B、。所对的边分别为。、b、C,且4=2百,b+c=46,

13.在①6sin3=5sinA,②出尸4,③C=60。这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的

三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,请明理由.

问题:是否存在△A5C,它的内角A,B,。的对边分别为。,〃,J且c=3,9cos8=3a+8,?

14.在AAbC中,cosC=-1,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:

O

(1)sinB的值;

(2)AABC的面积.

条件①:a=4,c=6;条件②:a=4,△ABC为等腰三角形.

15.在①*csin8=a-Z?cosC,②AsinC=ccos]8-[J这两个条件中任选一个作为已知条件,补充

到下面的横线上并作答.

问题:AAbC的内角A8,C的对边分别为a/,c,已知.

(1)求3;

(2)若。为4c的中点,BD=2,求△工石。的面积的最大值.

16.在①cosC+(cosA-Gsin4卜。58=0,②cos2B-3cos(A+C)=l,®Z?cosC+—csinB=a

这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.

问题:在AMC中,角A、B、C对应的边分别为“、b、C,若a+c=l,,求角8的值

和匕的最小值.

17.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.

①GcosA(ccosB+hcosC)=asinA;

cc2b-c

②cosC=----

2a

③tanA+tanB+tanC=GtanBtanC.

已知AABC的内角A,8,C的对应边分别为a,b,c,

(1)求A;

(2)若a=2,b+c=JS,求△ABC的面积.

18.在5c中,角4氏。所对的边分别为a,"c,已知b=l,面积S=—再从以下两个条件中选

8sinA

择其中一个作为已知,求三角形的周长.

c兀

(1)B=—;

6

(2)B=C.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

19.在①万2+①m=。2+。2,@acosB-bsinA,③sinB+cos3=J^,这三个条件中任选一个,补

充在下面的问题中,并解决该问题.

jr

已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为“,b,c,,A=—,。=正,求—45c的

面积.

20.在①(Z?+a—c)(Z?—a+c)=ac:②cos(A+8)=sin(A-8);③tan---=sinC这三个条件中任

2

选两个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求b的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△A8C,它的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且〃=272,,?

注:如果选择多个方案分别解答,按第一个方案解答计分.

第3讲数列-常规型

【考向分析】

(1)证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明如一如7=成色2,4为常数);二

是等差中项法,证明2%+|=即+%+2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反

证法.

(2)数列求和的常用方法:

①对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;

②对于{。屹,}结构,其中{《,}是等差数列,{勿}是等比数列,用错位相减法求和:

③对于{《,+2}结构,利用分组求和法;

④对于I」一结构,其中{4}是等差数列,公差为a,则」一」——-L利用裂项相消法求

[44,+J44+1d{anall+l)

和.

(3)数列求和的常用方法:(设数列{4,}是等差数列,{"}是等比数列)

①公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;

②错位相减法:数列{a„bn]的前〃项和应用错位相减法;

r1,

③裂项相消法;数歹八-----}(%为常数,wO)的前九项和用裂项相消法;

a-

④分组(并项)求和法:数列用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并

项求和法;

⑤倒序相加法:满足a,“+a“_,“=A(A为常数)的数列,需用倒序相加法求和.

(4)裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是

根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:

①-/1\-----②~1——F—『&_&);

n[n+k)k(〃n+k)y/n+k+y/nk'>

公1_1(1______T(2,,+l-1)-(2"-1)11

③(2〃-1)(2"+1)-「2〃+l>@(2,,-l)(2,,+l-l)=(2,--l)(2n+'-l)=2"-1"2n+,-1;此

外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.

(5)数列求和的方法技巧

①倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

②错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

③分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

【好题赏析】

1.已知数列{。”}的前〃项和为S”%=6,5“=+1.

(1)证明:数列{S,,-1}为等比数列,并求出S“.

(2)求数列,’4的前〃项和7;.

2.已知{4},他J分别是等差数列和等比数列,4=4=1,々=d>°,且qH4,〃eN”.

(1)若%也,。3成等差数列,求{%},{2}的通项公式:

(2)当〃>2时,证明:an<bn.

3.设S“为数列{凡}的前〃项和,己知q=2,对任意"GN",都有2s“=(〃+l)a”.

(1)求数列{q}的通项公式;

4

(2)若数列―7-----k》的前巩项和为北.

。“(q+2)

①求小

②若不等式病-机-^47;对任意的〃eN*恒成立,求实数用的取值范围.

4.设数列{4}满足aa=3a“i+2(〃22),且q=2,bn=log3(an+1).

(1)证明:数列{a,,+1}为等比数列;

(2)设%=2,力,,求数列{c,J的前〃项和S“.

5.己知S,为数列{a.}的前”项和,a\=\,S”=斯+i-l.

(1)求{斯}的通项公式;

(2)若数列仍“}满足2%+i+S“+i=2d+2%,证明数歹U{斯+d}为等差数列,并求其公差.

6.己知公差d>0的等差数列{4},S“是{4}的前〃项和,a2=8,S2+I是力和S4+6的等比中项.

(1)求{%}的通项公式;

(2)设数列也}满足b„=―—,且也“}的前〃项和为7;,求证T“〈士.

an*an+\15

7.已知等差数列{a,,}的前三项依次为“,8,4a+l,前〃项的和为S“,Sk=366.

(1)求。及女的值;

(2)设数列也}满足勿=---,且也}的前〃项和为《,求"

an,〃〃+1

8.已知等差数列{q}和等比数列也}满足%=4,4=2,a2=2b2-l,%=4+2.

(1)求{凡}和也}的通项公式:

(2)数列{凡}和{勿}中的所有项分别构成集合A,B,将AUB的所有元素按从小到大依次排列构成一

个新数列{%},求数列{c“}的前60项和S60.

9.已知各项均为正数的等差数列{斯}满足m=l,a"=a;+2(a,用+。“).

(1)求{为}的通项公式;

1

(2)记b=~r=T=,求数列{/?”}的前n项和

\lan+yjan+i

10.已知数列{〃“}的前〃项和为S/,%=1,—4——4--3--=n(n..2),ziGN*-

12n-\n

(1)求数列{%}的通项公式;

111

(2)若q,ak,S"2成等比数列,A:eN,.求三+三+....+丁的值.

02%2

11.已知等差数列{q}的前"项和为s“,§5=25,且%T,4+1,%+3成等比数歹IJ.

(1)求数列{%}的通项公式;

⑵若勿=」一,求数列也}的前〃项和7;.

an.an+\

12.设等差数列{/}的前〃项和为S“,已知S5=35,且%是%与小的等比中项•

(1)求{4}的通项公式;

1113

(2)若“<4.求证:—+—+••-+—<—,其中〃wN*.

324

13.已知正项数列{%}的前〃项和为S“,且4+:=25“+〃+1,4=2.

(1)求数列{《,}的通项公式为;

(2)若d=a.2,数列{〃}前〃项和为刀,,求使7;>2021的最小的正整数〃的值.

14.已知S"为数列{《,}的前〃项和,数列{S,}是等差数列,且§5=9,S9=17.

(1)求{凡}的通项公式;

(2)求数列{a“-2"-S“}的前〃项和7;,.

15.Sn为数列{tz„}的前〃项和,已知%=1,〃a“+i=2S„.

(1)求{4}通项公式;

(2)设匕1一,数列{勿}的前〃项和7;,若北+(-1)向义>0,求整数4值.

科”+1

16.己知等比数列{%}的前〃项和为S“,且见+|=2S“+2,数列也}满足4=2,(〃+2)2=〃%,其

中〃£N*.

(1)分别求数列{q}和{2}的通项公式;

(2)在%与%+1之间插入"个数,使这〃+2个数组成一个公差为%的等差数列,求数列{〃£,}的前〃项

和小

I7

17.已知公比小于1的等比数列{%}中,其前〃项和为S“M2=—,S3=W.

48

(1)求a”;

(2)求证:S<1.

2

18.设{4}是各项都为正的单调递增数列,已知勺=4,且满足关系式:an+l+a„=4+2MM,〃eN*.

(1)求{4}的通项公式;

⑵若b“=——-,求数列也}的前〃项和S,,.

19.己知首项为4的数列{见}的前〃项和为S“,且掾=%§

(1)求证:数列{/,为等差数列,并求数列{4}的通项公式;

(2)若a=%,求数列也}的前〃项和北.

20.设数列{4}满足q=1,用一%=2・3"工

(1)求数列{q}的通项公式;

(2)令2=(2〃+1)%,求数列也}的前〃项和S..

第4讲数列-结构不良型

【考向分析】

(1)方法技巧:在求解等差数列基本量问题时,常用的思想方法有:

①方程思想,设出公差d,然后利用通项公式或前〃项和公式将已知条件转化为方程(组)求解;

②整体思想,当所给条件只有一个时,可将已知和所求结果都用卬和公差d表示,寻求两者的联系,整体

代换即可求解;

③利用性质,运用等差数列的性质可以化繁为简,优化解题过程.

(2)等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的

有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n项和公式时,应该要分类讨论,有时

还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

(3)数列求和的常用方法:

①对于等差等比数列,利用公式法直接求和;

②对于{%"}型数列,其中{%}是等差数列,也“}是等比数列,利用错位相减法求和;

③对于{%+bn}型数列,利用分组求和法;

④对于<aa型数列,其中{%}是公差为"(dHO)的等差数列,利用裂项相消法.

(4)数列求和的方法技巧:

①倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

②错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

③分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

【好题赏析】

b.b/4〃+6

1.从①历=3;②一+—+•・・+n—=6-——;③a/?+凡么+・・•+〃,=3+(2〃-3)2”中任选两个补

a.a.an2,•

充到下面问题中的横线上,然后完成问题的解答.问题:已知数列{可}为正项等比数列,%=1;数列{,}

满足:.

(1)求。“;

(2)求,一一的前〃项和7;.注:如果多次选择条件分别解答,按第一个解答计分.

2.在①4+4=4,②a+Ss=-“,③%+%=-4这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问

题中的加存在,求出用的值;若不存在,请说明理由.

设等差数列{q}的前〃项和为S,,,{々}是各项均为正数的等比数列,设前〃项和为7;,

若,,且4=2,7;=5。.是否存在大于2的正整数m,使得4sl,S,“成等比数列?

(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)

3.在①对任意〃>1满足S.+1+S,T=2(S“+1);②S“+「2=S“+a”;③S”=加,用一〃(〃+1).这三个条

件中任选一个,补充在下面问题中.问题:已知数列{4}的前"项和为",“2=4,,若数列{4}

是等差数列,求出数列{%}的通项公式;若数列{4}不是等差数列,说明理由.

4.从①4+4+&+...+a=川?1(〃€%*),②也}为等差数列且2=2,24+4=7,这两个条

件中选择一个条件补充到问题中,并完成解答.

问题:已知数列{q},也}满足4=2",且___________.

(1)证明:数列{%}为等比数列;

(2)若c,“表示数列也}在区间(0,%,)内的项数,求数列匕”}的前加项的和

5.给定三个条件:①出,包,6成等比数列,②$4=5%,③(〃+1)4=〃。向,从上述三个条件中,任

选一个补充在下面的问题中,并加以解答.

问题:设公差不为零的等差数列{为}的前〃项和为S“,且S3=6,.

(1)求数列{4}的通项;

(2)若d=——-,数列也}的前n项和K,,,求证:Kn<-.

a*n+24

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

6.设{4}为等差数列,{〃}是正项等比数列,且4=々=2,%=2%.在①么一4=12仇,②。5+2=打,

③log2"=log2〃T+l,n>2,〃eN*这三个条件中任选一个,求解下列问题:

(1)写出你选择的条件并求数列{%}和他“}的通项公式;

(2)在(1)的条件下,若%=%也(〃wN*),求数列{5}的前"项和S”.

7.给出下列三个条件:①25"+1=3";②2s”=3。“一1;③4=1,。,川=2S“+1,请从这三个条件中任选

一个将下面的题目补充完整,并求解:

设数列{(}的前〃项和为Sn,满足,

(1)求数列{%}的通项公式;

(2)若b.=a“+log3%.,求数列也,}的前〃项和7;.

8.己知数列{4}的前〃项和为s“=妁F,各项均为正数的等比数列{2}的前〃项和为,,,

且4=4.

在①=3;②7;=7;③仇-4=2打这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并进行解答.

(1)求数列{4}和也}的通项公式;

(2)设数列,?4的前"项和为A“,求证:4<2.

注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.

9.在①2s“M=S“+1,②生=;,③S“=l-2a,用这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,给出解

答.

已知数列{%}的前〃项和为S“,满足一,一;又知正项等差数列{2}满足乙=3,且乙,%-2,&

成等比数列.

(1)求{4}和{4}的通项公式;

b,

(2)设g=才,求数列{%}的前项和

10.在①S4=4$2,a2n=2a,,+1;②。“+%=4〃;③%>0,4S“=(%+1丫.从这三个条件中任选

一个填入下面的横线上并解答.

己知数列{可}是等差数列其前〃项和为S“,〃GN*,若.(注:如果选择多个条件分别解答,按

第一个解答计分.)

(1)求数列{4}的通项公式;

(2)对任意的机eN*,将{%}中落入区间(2"',22"')内项的个数记为也,},求数列仇}的通项公式和数

列{九}的前川项和图.

11.从①4+么+伉+•••+%=②{勿}为等差数列且4=2,24+仇=7,这两个条件

中选择一个条件补充到问题中,并完成解答.

问题:已知数列{4},{〃}满足%=2",且.

(1)证明:数列{%}为等比数列;

(2)若以表示数列圾}在区间(0,勺)内的项数,求数列{%}前m项的和7;,.

12.在①。2+“4=6,S9=45②S“=Z+E③2^=’7("N2),q=1这三个条件中任选一个补充

"22%«-1

在下面的问题中,并加以解答.

设等差数列{4}的前〃项和为S,,,,数列也}为等比数列,仇=2%,瓦=2%,求数歹(]{a也}的

前〃项和

13.在①4S“=a;+2a“,②%=2,〃。用=2S“这两个条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答.

己知正项数列{凡}的前〃项和为S,,.

(1)求数列{%}的通项公式;

(2)若数列也}满足log也=;%T,且%=。也,求数列{%}的前"项和

32

注:如果选择多个条件分别进行解答,按第一个解答进行计分.

14.在①S“=/J②—=2a,,-%,$7=4%=28;③*L=——,S3=6这三个条件中任选一

2%〃

个补充在下面的问题中,并加解答.

问题:设数列{为}的前〃项和为S“,,若a=翕,求数列出}的前〃项和.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一解答计分.

3

15.在①S“=w〃2-如+l(〃wN*,左为常数),②4用=%+d(〃eN*,d为常数),③

a“+i=ga“(4>(),〃eN*M为常数)这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,若问题中的数列存在,求

数列4―的前10项和;若问题中的数列不存在,说明理由.

问题:是否存在数列{q}("€"),其前几项和为S“,且q=l,%=4,?注:如果选择多个

条件分别解答,按第一个解答计分.

16.^@S5=2S3+5,②a=243③q4=4这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并作答.设S“

为等差数列{凡}的前〃项和,{bn}是正项等比数列吗=伉=3,%=瓦,且.

(1)求数列{4,},{2}的通项公式;

(2)如果4=2(机,〃eN"),写出相,”之间的关系式加=/(〃),并求数列{/(〃)}的前〃项和

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

17.在①Sg=72,②S5=64,③S6=S4+%这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.问

题:已知等差数列{4}的前〃项和为S.,4=6,,若数列也}满足2=2%求数列{4+%}

的前”项和7;.

18.在①'=②a“+M,=2S“,③a,:+a“=2S“,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,

n2

并解答该问题.

已知正项数列{4}的前〃项和为S“,q=1,满足.

(1)求;

(2)若2=(4+1).20”,求数列也}的前〃项和7;.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

19.在①。2=3弓,S5-S2=42,②S4=32,a5=18,③4=2,-4=质二^这三个条件中任

选一个,补充在下面问题中并作答.

已知等差数列{凡}的前〃项和为且.

(1)求数列{/}的通项公式;

(2)设〃=-——,求数列也}的前〃项和

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

20.已知各项均为正数的等比数列{勺}的前〃项和为S”,且2s2=9q—2,4=24+3卬.

⑴若等差数列也}满足。=q(i=l,2),求{“,{2}的通项公式;

(2)若c,=,求数列匕}的前〃项和7;.

42n3〃

在①五一+i;②一-“八;③这三个条件中任选一个补充到第(2)问

b"i佃+4+a+…+%)5+1)snsn+i

中,并对其求解.

注:如果选择多个条件分别求解,按第一个解答计分.

第5讲概率与统计-回归分析、独立性检验

【考向分析】

(1)频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差,离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点,同时

应注意和概率、平均数、分布列,期望,二项分布,正态分布等知识的结合,同时应注意独立性检验在实

际生活中的应用.

(2)求回归直线方程的一般步骤

①作出散点图,依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点,观察点的分布是否呈条状分布,即是否在

一条直线附近,从而判断两变量是否具有线性相关关系.

②当两变量具有线性相关关系时,求回归系数6、5,写出回归直线方程.

③根据方程进行估计.

(3)独立性检验的一般步骤

①根据样本数据列出2x2列联表;

②计算随机变量K2的观测值k,查下表确定临界值质:

P(K2>k„)0.250.15().100().0500.0250.010().0050.001

氏01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

③如果ZN%,就推断“X与丫有关系”,这种推断犯错误的概率不超过RK,NZo);否则,就认为在犯错

误的概率不超过HK?2%)的前提下不能推断“*与丫有关系

注意:①通常认为ZW2.706时,样本数据就没有充分的证据显示“X与y有关系”.

②独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,

因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统

计计算的结果作出错误的解释.

③独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断.

【好题赏析】

1.随着互联网的飞速发展,我国智能手机用户不断增加,手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地

位.某机构做了一项调查,对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计,将18~40岁的人

群称为“青年人”(引用青年联合会对青年人的界定),其余人群称为“非青年人根据调查发现“青年人”使

用智能手机占比为60%,“非青年人”使用智能手机占比为40%;日均使用时长情况如下表:

时长2小时以内2〜3小时3小时以上

频率0.40.30.3

将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群“,使用时长在2小时以内称为“非

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