2020-2021学年四川省达州市开江县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年四川省达州市开江县八年级（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共10小题）.

1.在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）

©

2.下列从左到右的变形是因式分解的是(

A.10x2-5x=5x(2x-1)B.x2-4x+1—x(x-4)+1

C.x2+2x-1=(x-1)2D.(yT)(y-2)=y2-3y+2

3.若a>b,则下列不等式不成立的是(

AG,C7

A.2-〃V2-bDB.—>一C.-3〃>-3bD.a-8>b-8

55

4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80。得到AA"C,若点"恰好落到边3C上,

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.根据下列表格信息，y可能为（）

X・・・-2-1012・・・

・・・***•・・

y-1无意义

A.誓B.当仁当D.丹

x+1x+lX-lX-l

6.有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为y,V5

的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;

④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行

四边形.正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5

米后向左转0,接着沿直线前进5米后，再向左转0……如此下去，当他第一次回到A

点时，发现自己走了60米，。的度数为（）

8.如果关于x的分式方程士+普=1无解，则机的值为（）

x-55-x

A.0B.1C.2D.3

9.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2

个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、

16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的

个数之和为（）

A.180B.183C.186D.190

10.如图，分别以Rt^ABC的直角边AC,斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE,

F为AB的中点，连接。尸、EF,ZACB=9O°,ZABC=30°,则以下4个结论：①AC

.LDF；②四边形BCD尸为平行四边形；@DA+DF=BE；④SAACD：S四边形BC»E=1：7,其

中，正确的是（）

E

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②④

二、填空题（共6小题）.

11.因式分解：2x--18=.

12.若分式工1=2,则分式3x+?xyTy=__________________.

xyx-3xy-y

13.如图，经过点（3,0）的直线：y=-x+b与直线：交于点P（九，2）,则不等式

组OVoxW-x+b的解集是.

K

1\r

尸;

（2x+工3的<研2的取_________.

14.已知关于x的不等式组

（x-a<2

15.如图，在口ABC。中，BE平分NABC交AO于点E,过点A作AFLZJC,交。C的延长

线于点F,分别交BE,BC于点G,H,若AH=V3-CD=V6-则4ABE的面积

是_______________.

__________E_________

F

16.如图，AABC是边长为1的等边三角形,将△A2C沿直线AC翻折，得到△A2'C,再

将△A"C在直线AC上平移，得到△?!'B"C，，则△BB"C，的周长的最小值

为_________________.

AR'

cr

三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

2x-5》3(x-l)

17.(1)解不等式组|x.-x-1，并把解集表示在数轴上；

32

1x+1

(2)解方程一5—f=L

X2-4X+2

18.求代数式9v(-1芽;-x-1)-Y-2----的值，其中尤=«+一1.

x-1x-2x+l

19.如图，AD是△A2C的角平分线，DE±AB,DF±AC,垂足分别是E,F,连接EREF

与AO相交于点G.

(1)求证：AD是跖的垂直平分线；

(2)若AABC的面积等于16,AB+AC=8,求ED

20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标

(D画出AABC沿水平方向向左平移4个单位长度的△A1B1G；

(2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90。所得的△?!222c2；

(3)ZiAzB2c2能看作是△AiBCi经过一次平移后形成的图形吗？若能，说明平移方向和

距离；若不能，请简单说明理由.

21.已知，如图，在平行四边形4BC。中，点G,H分别是AB,C。的中点，点E,尸在对

角线AC上，且AE=CP.

（1）求证：四边形EGF//是平行四边形.

（2）连接8。交AC于点0,若比>=12,AE=EF-CF,求EG的长.

22.在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大.某药店第一次用3000元购

进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一

次进价的L25倍，购进的数量比第一次少200个.

（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？

（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了。个后购进第二批同款

口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了6个后.因

当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医

院.请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入=售价X数量）

23.对于两个不等的非零实数a,b,若分式（XF）（x-b）的值为0,则》="或彳=从

X

因为生QQ也上鱼也过:也;xJ^-Q+b），所以关于x的方程x+辿=。+6

XXXx

的两个解分别为Xi=a,X2=b.

利用上面建构的模型，解决下列问题：

（1）若方程X+史=4的两个解分别为尤1=-1,X2=4.则p=,q=；（直

x

接写出结论）

2,Q2X[

（2）已知关于X的方程的两个解分别为XI,X2（X1<X2）.求7~

2x+l2x2-3

的值.

24.如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边04=8,OC=4&,ZAOC=45°,

点尸以每秒2个单位的速度从点C向点2运动，同时，点。以每秒加个单位的速度从

点。向点C运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为人

(2)设△APQ的面积是y,求y关于，的关系式；

(3)当为何值时，AP±CB?此时，在平面内是否存在点使得以A、P、Q、M为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，ZiABC和△AOE都是等腰三角形，其中AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.

图③

图①图②

(1)如图①，连接BE、CD,求证：BE=CD；

(2)如图②，连接B。、CD,若/BAC=ND4E=60,CDLAE,AD=3,CD=5,求

的长；

(3)如图③，若NBAC=/D4E=90。，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和

CA之间的数量关系，并加以说明.

参考答案

一、单项选择题（下面每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号

填在答题卡内.本题10个小题，每小题3分，共30分）

1.在以©下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）

圉。

【分析】根据中心对称图形的概念解答即可.

解：A、不是中心对称图形.故本选项不合题意；

2、不是中心对称图形.故本选项不合题意；

C、是中心对称图形.故本选项符合题意；

£＞、不是中心对称图形.故本选项不合题意.

故选：C.

2.下列从左到右的变形是因式分解的是（）

A.10x2-5x=5x（2x-1）B.x2-4x+l=x（尤-4）+1

C.x2+2x-1=（x-1）2D.（y-1）（j-2）=/-3y+2

【分析】根据因式分解的定义判断即可.

解：A、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题

思；

8、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；

C、左边的多项式不能用完全平方公式分解，因式分解错误，故此选项不符合题意；

D,是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意.

故选：A.

3.若。＞6,则下列不等式不成立的是（）

A.2-〃V2-bC.-3。>-3bD.a-8>Z?-8

【分析】利用不等式的性质分析判断.

解：A、由。>），不等式的左右两边同时乘以-1,可得不等式的两边同时加

上2,可得2-a<2-b,故此选项不符合题意；

B、由。>6,不等式的左右两边同时乘以《，可得亳泮，故此选项不符合题意；

555

C、由a>b,不等式的左右两边同时乘以-3,可得-3a<-3b,故此选项符合题意；

D、由。>匕，不等式的左右两边同时减去8,可得a-8>b-8,故此选项不符合题意；

故选：C.

4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到夕C,若点夕恰好落到边BC上，

【分析】依据旋转的性质可求得,ZAB'C'的度数，依据等边对等角的性质

可得到A,于是可得到NC"C的度数.

解：由旋转的性质可知：AB=AB',ZBAB'=80°,

：.ZB=ZAB'C,

\'AB=AB',

/.ZB=ZBB'A=50°.

：.ZBB'C=50°+50°=100°.

：.ZCB'C=180°-100°=80°,

故选：D.

5.根据下列表格信息，y可能为（）

•••-2-1012・・・

・・・***・・・

y-1无意义

A.迫B.C.兰旦D.

x+1x+lX-lX-l

【分析】根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件解答.

解：，・,当尤=1时，分式无意义，

・,・排除A,8两个选项，

•."=T时，y=-1,

代入C,。时，只有分式史g=-l,

X-l

故选：C.

6.有下列命题：①有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形；②三边长为y,娓

的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;

④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行

四边形.正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】利用等边三角形、平行四边形的判定和性质分别判断后即可确定正确的选项.

解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；

②三边长为y,泥的三角形不是直角三角形，原命题是假命题；

③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；

④平行四边形的对角线平分，不一定相等，原命题是假命题；

⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形，是真命题；

故选：B.

7.小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5

米后向左转0,接着沿直线前进5米后，再向左转0……如此下去，当他第一次回到A

点时，发现自己走了60米，。的度数为（）

A.28°B.30°C.33。D.36°

【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60+5=12,

求得边数，再根据多边形的外角和为360。，即可求解.

解：•••第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，

，正多边形的边数为：604-5=12,

根据多边形的外角和为360。，

则他每次转动。的角度为：360°+12=30°,

故选：B.

8.如果关于x的分式方程一冬+誓=1无解，则机的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】解方程得x=6-m，由方程无解，则x=5,即可求机的值.

方程两边同时乘以尤-5得，

2-（m+1）=x-5,

去括号得，2-zu-l=x-5,

解得x=6-m,

•••原分式方程无解，

.,.x=5,

.,.m—1,

故选：B.

9.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2

个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、

16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的

个数之和为（）

◎-

A.180B.183C.186D.190

【分析】根据图形的变化规律可总结出第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为

9〃+3,即可得出.

解：由题知，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

正方形和等边三角形的和为：6+6=12=9+3；

第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，

正方形和等边三角形的和为：11+10=21=9X2+3；

第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，

正方形和等边三角形的和为：16+14=30=9X3+3；

第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9〃+3,

故第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为9X20+3=183,

故选：B.

10.如图，分别以RtA4BC的直角边AC,斜边AB为边向外作等边三角形△AC。和△ABE,

厂为AB的中点，连接DF、EF,ZACB=90°,ZABC=30°,则以下4个结论：①AC

1.DF；②四边形5CDF为平行四边形；@DA+DF=BE；④SAACD：S四边彩BCDE=1：7,其

中，正确的是（）

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②④

【分析】由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断

①,然后由三角形三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△AC。、△ACB、

△ABE的面积，计算即可判断④.

解：VZACB=90°,ZABC=30°,

/.ZBAC=60°,AC=^AB,

：△AC。是等边三角形，

：.ZACD=60°,

：.ZACD=ZBAC,

J.CD//AB,

•.•尸为AB的中点,

2

J.BF//AB,CD=BF,

・・・四边形5C。尸为平行四边形，故②正确;

・・•四边形BCDF为平行四边形，

J.DF//BC,

又・・・/ACB=90°,

：.AC_LDFf故①正确；

VDA=CA,DF=BC,AB=BE,BC+AOAB,

：.DA+DF>BE,故③错误；

设AC—x,则A8=2x,

**.SAACD—^^-3,S^ACB—金SAABE=>

二、填空题(共有6个小题，每小题3分，共计18分，把最后答案直接填在题中的横线上)

11.因式分解：21-18=2(x+3)(x-3).

【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解.

解：2x2-18=2(%2-9)=2(尤+3)(%-3),

故答案为：2(x+3)(x-3).

12.若分式上二=2,则分式电用2红=_4_.

xyx-3xy-yb

【分析】根据题意可得出＞-%=加，然后代入原式即可求出答案.

解：由题意可知：y-x=2xy,

3x-3y+-1-(y-x)

原式二—r——

x-y—^-(y-x)

3(x-y)-(x-y)

3

(x-y)+-^-(x-y)

_1

故答案为：-p.

b

13.如图，经过点（3,0）的直线：y=-x+b与直线：y=ox交于点尸（n,2）,则不等式

组OVQXW-x+b的解集是OVxWl

【分析】将点（3,0）和点尸的坐标代入一次函数的解析式求得〃的值，然后根据函数

的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可.

解：•・•经过点（3,0）的直线：y=-x+b与直线：y=ox交于点尸（①2）,

-3+方=0,

:・b=3,

,\y=-x+3,

,\2=-n+3,

・••几=1,

：.P（1,2）,

由图象得：不等式组OVaxW-x+b的解集是OVxWl,

故答案为OVxWl.

2x+l<3

14.已知关于x的不等式组的解集为尤<a+2,则实数a的取值范围是aW-1

x-a<2

【分析】根据求出不等式组解集的规律和已知条件得出答案即可.

解：解不等式2x+lW3得xWl,

2x+l<3

••・关于x的不等式组的解集为xVa+2,

x-a<2

Q+2W1,

解得aW-1,

故答案为：aW-1.

15.如图，在口42€»中，BE平分/ABC交AD于点E,过点A作APLDC,交。C的延长

线于点尸,分别交BE,BC于点G,/f,若A8=«,Cr>=加，则△ABE的面积是

【分析】通过A点2点分别作垂线，因为四边形ABCD是平行四边形，可得AB〃CD,

AD//BC,AB=CD=EAM=BN,又因为AF±DC,AB//CD,可得NABH=90°,

利用勾股定理可求8〃=，（AB）2+（AH）2=3,用等面积法可求得由AE=AB

=正，即可求出△钿£的面积.

解：如图，过A点作交BC于点过2点作硒交E4的延长线点N,

：.AB//CD,AD//BC,AB=CD=yf^,AM=BN,

•：AFLDC,AB//CD,

：.90°,

：.BH=N（神）2+（研）2=3,

,/SAABH=yXAB-AH=/XBH*AM,

：.AM=近，

：,BN=AM=，R,

：BE平分/ABC交AD于点E,AD//BC,

/ABE=NCBE=NAEB,

AE=AB=,

SAABE=三XAE・BN=W乂巫X如=、后,

故答案为：V3-

16.如图，AABC是边长为1的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB'C,再

将配C在直线AC上平移，得到△4'B"C,则△22〃C的周长的最小值为

【分析】将△A8'C在直线AC上平移，得到△?1'B"C,可将△AB'C不动，将点8

在直线AC上平移，将线段和最值问题转化为典型的将军饮马问题来解决，从而作9关

于点B的对称点E,BB交AC于点。，连接EC,利用勾股定理求出CE的长度即可得出

答案.

解：作关于点B的对称点E,交AC于点O,连接EC,

E

•.•将△AB'C在直线AC上平移，得到B"C,

可将△AB'C不动，将点B在直线AC上平移，

:.丛BB"C’的周长最小值转化为△班。周长的最小值,

.•.当£、B、C三点共线时，B8+3C最小为CE的长，

AABC与△ABC都是等边三角形，

：.AB=BC=CB'=AB',

.••四边形ABCB是菱形，

:.BB'_LAC,OC=4-AC=4，

22

：.BO=B'O=^-,

2

/.0E=BE+0B=-/2+^Y=^^,

在Rt^CE。中，由勾股定理得：

CE=VoE2-H3C2V7，

.♦.△BbC周长的最小值为：V7+1,

即△88〃C的周长最小值为：V7+1-

三、解答题(共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

2x-5》3(x-l)

17.(1)解不等式组xi/x-l，并把解集表示在数轴上；

匕-1<丁

(2)解方程七%，

【分析】(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数

轴上即可；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解.

‘2x-5>3(x-1)①

解：⑴[-1e号②，

O4

解不等式①，得：尤W-2,

解不等式②，得：x>-3,

不等式组的解集为：-3<xW-2,

不等式组的解集在数轴上表示如下：

-5-4-3-2-101~2345>

(2)去分母，可得：1+(x-2)(x+1)=炉-4,

去括号，得：l+d+x-2x-2=冗2一4,

移项，合并同类项，得：-%=-3,

系数化1,得：％=3,

检验：当％=3时，炉一4#0,

・・・x=3是原分式方程的解.

18.求代数式("-7-1)+2、-2的值，其中尤=«+L

x-1x-2x+l

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将X的值代入化简后的式

子即可解答本题.

x-2

解:

X-lX2-2X+1

_2x_]_(x+l)(x-l).d)2

x-1x-2

=2x-l-J+l.(x-l)2

x-1x-2

=-x(x-2).(x-l)2

x-1x-2

=-X(x-1)

=-x2+x,

当工=晶+1时，原式=-(F+1)2+(«+1)=-(3+2«+1)+«+1=-3-2«

-1+正+1=-3-V3.

19.如图，A。是△ABC的角平分线，DELAB,DFLAC,垂足分别是E,F,连接EEEF

与A。相交于点G.

(1)求证：AO是稗的垂直平分线；

(2)若△A5C的面积等于16,A5+AC=8,求ED

【分析】(1)先利用角平分线的性质得到DE=DF,则可根据“HL”判断RtAAED^

RtAAFD,所以AE=AF,然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到结论；

(2)根据三角形面积公式，利用Sz\A3z)+Szvicz)=Szvi6c得到■^■•A3・OE+-^_・AC・£)77=16,

然后利用0E=。/和AB+AC=S可求出DE的长.

【解答】(1)证明：・・・A。是△A3C的角平分线，DE±ABfDF±AC,

：.DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在RtAAED和RtAAFD中,

fAD=AD

lDE=DF，

ARtAAED^RtAAFD(HL),

：.AE=AF,

而DE=DF,

・・・A0是所的垂直平分线;

(2)解：*.*S^ABD+S/^ACD=S^ABCf

.".—•AB'DE+—>AC'DF=16,

22

,:DE=DF,AB+AC=8,

A-XDEX8=16,

2

：.DE=4.

20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标

系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A(2,2),2(1,0),C(3,1).

(1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的△4BC1；

(2)画出将△ABC绕原点。顺时针旋转90。所得的△A2&C2；

(3)ZVh&Cz能看作是△4B1G经过一次平移后形成的图形吗？若能，说明平移方向和

距离；若不能，请简单说明理由.

【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出4B,C的对应点4,Bi,Ci即可.

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点A2,Ba,C2即可.

(3)利用平移变换的性质判断即可.

解：(1)如图，△A1SC1即为所求.

(2)如图，222c2即为所求.

(3)ZX/hB2c2不能看作是△AiBCi经过一次平移后形成的图形.因为找不到平移的方向

和距离.

21.已知，如图，在平行四边形ABC。中，点G,”分别是AB,C。的中点，点E,歹在对

角线AC上，AAE=CF.

(1)求证：四边形EG切是平行四边形.

(2)连接8。交AC于点O,若8。=12,AE=EF-CF,求EG的长.

【分析】(1)证△AGE0ACHF(SAS),得GE=HF,ZAEG=ZCFH,则NGEF=

ZHFE,WGE//HF,即可得出结论；

(2)先由平行四边形的性质得出03=00=6,再证出AE=OE,可得EG是△ABO的

中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO是平行四边形，

S.AB//CD,AB=CD,

：.ZGAE=ZHCF,

;点G,X分别是AB,CD的中点,

：.AG=CH,

在△AGE和△CHF中,

'AG=CH

<NGAE=NHCF，

LAE=CF

AAAGE^ACHF(SAS),

:.GE=HF,NAEG=NCFH,

:・/GEF=/HFE,

：.GE//HF,

又,：GE=HF,

・・・四边形EGFH是平行四边形；

(2)解：连接8。交AC于点O,如图:

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

•：BD=12,

OB=OD=6,

*：AE=CFfOA=OC,

：・OE=OF,

•：AE=EF-CF,

：.AE+CF^EF,AE=CF,

：.2AE=EF=2OE,

.\AE—OE,

又•・•点G是AB的中点，

・・・EG是△AB。的中位线，

：.EG=^-0B=3.

2

22.在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大.某药店第一次用3000元购

进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一

次进价的L25倍，购进的数量比第一次少200个.

（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？

（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了。个后购进第二批同款

口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后.因

当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医

院.请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入=售价X数量）

【分析】（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，根据题意给出的等量关系即可求出

答案.

（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：4a+4.56=6400,所以a=1600

Q,

-吉b，根据条件可求出b的最小值，从而可求出药店捐赠的口罩至少有多少个.

O

解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为X个，

.•.第二次购进医用口罩的数量为（X-200）个，

由题意可知：且嘿"=L25X①叫，

X-2UUx

解得：尤=1000,

经检验，x=1000是原方程的解，

-200=800,

答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个.

（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，

由题意可知：4a+4.5%=6400,

9

・\〃=1600——

8

9b

A18001800-（1600-—b）-Z?=200+—,

88

V1000,

9

A16001000,

."25332,

,：a,。是整数，

••2是8的倍数，

的最小值是536,

...1800-。-心267,

答：药店捐赠口罩至少有267个

23.对于两个不等的非零实数a,b,若分式"二生"七二的值为0,则x=a或x=b.

X

因为（x-a）（x-b）=x2-Q+b）x+ab=xa-Q+b），所以关于x的方程x+^=a+b

XXXX

的两个解分别为％1=。，X2=b.

利用上面建构的模型，解决下列问题：

（1）若方程X+里=q的两个解分别为阳=-1,X2=4.则p=-4,q=3；（直

x

接写出结论）

2.弓2x.

（2）已知关于尤的方程2x+nk二：=2〃的两个解分别为Xi,X2（X1<%2）.求7；----

2x+l2X2-3

的值.

【分析】⑴根据材料可得：p=-1X4=-4,q=-1+4=3；

（2）将原方程变形后变为：2%+1+/中二2=2”+i,未知数变为整体2x+l,根据材料中

2x+l

的结论可得xi,X2,代入原式化简即可.

解：（1）:方程X+史=q的两个解分别为为=-1、尤2=4,

X

：.p=-1X4=-4,q=-1+4=3,

故答案为：-4,3；

(2))：2x+式也二2..=2H,

2x+l

2x+1+R--+n-4.=2n+l,

2x+l

C_i_(n+2)(n-1)_/上/］、

2x+L1HL---------------(〃+2)+(〃-1),

2x+l

.•.2x+l=〃+2或2x+l=〃-1,

n+l_p.n-2

k万或

2

._n_2_n+1

..XL尸’^2--

n-2

2-

二原式=—T"

*3

2-

n-2

n-2

=1.

24.如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA=8,OC=4&,ZAOC=45°,

点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点。以每秒加个单位的速度从

点。向点C运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为人

(2)设△APQ的面积是y,求y关于/的关系式；

(3)当为何值时，APLCB2止匕时，在平面内是否存在点M,使得以A、P、Q、M为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)作COLO4于点。，则△OCD是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，

再根据平行四边形的性质求点B的坐标；

(2)过点。作QELx轴于点E,交BC的延长线于点尸，根据行程问题中速度、时间与

距离之间的关系，用含f的代数式表示线段EQ、FQ、PC、的长，再由&AP°=S平行四

tt®OABC-SAOAQ-S^CPQ-SAAPB,将△APQ的面积用含t的代数式表示并进行整理，即得

到y关于，的关系式；

(3)当时，则PA=PB=4,可求出此时f的值，再求出0£、QE的长，以A、

P、Q、M为顶点的平行四边形可以ARA。、尸。为对角线，以此分类讨论，求出所有

符合条件的点M的坐标即可.

解：(1)如图1,作于点D,则/ODC=90°,

VZAOC=45°,

：.ZDOC=ZDCO^45°,

OD=CD,

：.2CD2=(啦)2,

・・.OD=CD=4,

：.D(4,0),C(4,4),

・・・四边形OABC是平行四边形，

J.B