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第三节泰勒(Taylor)公式

第三章二、泰勒公式的引入一、多项式的泰勒公式三、泰勒公式四、泰勒公式的应用回顾拉格朗日中值公式:或问题:能否推广此公式?泰勒公式!一、多项式的泰勒公式问题:说明：在x=a(a≠0)邻近f(x)

具有什么性质？说明：按x–a

的方幂把f(x)展开:…多项式f(x)的泰勒公式按x–a

的方幂把f(x)展开例1.解:00例2.解:按x的方幂展开,即是按x

－

0展开.牛顿二项展开式是泰勒公式的特例!三、泰勒公式的引入不足:1.

精确度不高;2.

误差不能估计.方法:满足:一次多项式误差：问题：能否找到三个常数，使得f(x)一次近似式则令x→

a,在上式两端取极限得误差：二次多项式：f(x)二次近似式f(x)的n次泰勒多项式(n次近似式):类似地，f(x)的n

阶泰勒公式误差：公式

①称为的n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.四、泰勒公式具有直到n+1阶的导数,①其中②则当x∈(a,b)时，泰勒中值定理：*证明：令(称为余项),则有证毕.说明:泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.带有拉格朗日型余项的泰勒公式佩亚诺型余项带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式误差带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式.则有误差估计式带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式:解:例3.解:例4.误差估计:其误差由此可求

e的近似值:例5.解:在泰勒公式中取n=2m,则0＝其中（佩亚诺型）误差:（拉格朗日型）42246420246泰勒多项式逼近42246420246泰勒多项式逼近类似可得其中其中其中例6.解:例7.解:例8.

求极限解:五、泰勒公式的应用解:例9.例10.解:例11.证：(仅当x=0时等号成立).例12.证:由泰勒公式可得两式相加,得内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,思考与练习1.利用泰勒公式求解2.证:其中两边同乘n!=整数+假设e

为有理数(p,q

为正整数),则当

时,等式左边为整数;矛盾!4.

证明e

为无理数.证:

时,当故e

为无理数.等式右边不可能为整数.泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.麦克劳林

(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(

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