广东省高州市2024届高三下学期适应性考试数学试题(含答案)

高州市2024届高考适应性考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是A． B． C． D．2．若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则A．4 B．6 C．7 D．94．已知，，则下面结论正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则有最小值4 D．若，则5．双曲线的离心率e的可能取值为A． B． C． D．36．如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为A． B． C． D．7．自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，A． B．3 C．1 D．或38．若正四面体的棱长为，M为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，对任意实数x都有，则下列结论正确的是A．的最小正周期为 B．C．函数的图象关于对称 D．在区间上有一个零点10．某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则A． B． C． D．11．已知函数的定义域为R，，，则A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二项式的展开式中的常数项为________．13．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为________．14．已知a，b，c为的三边长，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足．（1）求的大小；（2）的角平分线交边于D，向量在上的投影向量为，，求．16．（本小题满分15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求a的取值范围．17．（本小题满分15分）《中华人民共和国爱国主义教育法》已于2024年1月1日起施行．该法以法治方式推动和保障新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远．某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分100分（95分及以上为优秀），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的第74百分位数；（2）在第四组和第五组中随机抽取3人，记这3人中年龄在第四组中的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）若第二组社区居民的年龄的平均数与方差分别为26和2，第三组社区居民的年龄的平均数与方差分别为32.5和3.75，求这20人中年龄在区间上的所有人的年龄的方差．18．（本小题满分17分）已知椭圆的右顶点A和上顶点为B关于直线对称．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P，Q为椭圆C上两个动点，直线，的斜率之积为，，D为垂足，求的最小值．19．（本小题满分17分）已知集合，其中且，，若对任意的x，，都有，则称集合A具有性质．（1）集合具有性质，求m的最小值；（2）已知A具有性质，求证：；（3）已知A具有性质，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．高州市2024届高考适应性考试·数学参考答案、提示及评分细则1．【答案】B【解析】，，．故选B．2．【答案】D【解析】由题得，，．故选D．3．【答案】C【解析】．，．故选C．4．【答案】C【解析】因为，，若，则，当且仅当时取等号，A错误；当时，式子不成立，B错误；若，，当且仅当时取等号，C正确；因为，所以，，故D错误．故选C．5．【答案】D【解析】由，得到或，当时，，当，双曲线，，所以，故选D．6．【答案】C【解析】如图所示：连接，设，连接，依题意得，，，．则，．因为，所以．（三角函数的有界性）所以．故选C．7．【答案】A【解析】，，，（舍）．，．故选A8．【答案】A【解析】如图，在正四面体中，假设底面，则点H为外心．在上取一点O，满足，则O为三棱锥的外接球球心．当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，此时点O与点H重合．作，垂足为N，，为三棱锥的高．由正四面体的棱长为，易知，，．设，则，．由，得．解得．．．故选A．9．【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】选项A．．故A正确；选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程．，．．，，故B正确；选项C，，不是最值，故C错误；选项D，当时，，此区间上有1个零点．故选ABD．10．【答案】ABC（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】依题意，事件，事件不能同时发生，．，，，．·．．故选ABC．11．【答案】AC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，，C选项正确；令，则，所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误，故选AC．12．【答案】60【解析】展开式的通项为．令，得，则的常数项为．13．【答案】【解析】因为点在底面的射影为中点H，则平面，又因为四边形为正方形，以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为平面，平面，则，因为，，则，则、、、，所以，易知平面的一个法向量为，，因此，直线与平面所成角的正弦值为．14．【答案】【解析】由a，b为函数的两个零点，故有，即恒成立，故，，则，，由a，b，c为某三角形的三边长，且，故，且，则，因为必然成立，所以，即，解得，所以，则，令，，则，故在上单调递增，故，故恒成立，故M的取值范围是．15．【答案】（1）（2）【解析】（1），，，，由正弦定理得，，，，，，，；（2），，，延长，过点B作，，，，，，．设，则，在中，，，，解得，（舍），．16．【答案】（1）（2）【解析】（1）由于，则切点坐标为，因为，所以切线斜率为，故切线方程为；（2）当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，符合题意．综上所述，．17．【答案】（1）36（2）2（3）【解析】（1）由于；，所以这20人的年龄的第74百分位数为：；（2）由频率分布直方图可知，第四组的人数为人，第五组的人数为人，随机变量X的取值为12，3，有，，，随机变量X的分布列为：X123P有；（3）由频率分布直方图得各组人数之比为，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第二组和第三组分别抽取7人和6人，设第二组、第三组的社区居民的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第二组和第三组所有社区居民的年龄平均数为，方差为，则，，因此，这20人中年龄在区间上的所有人的年龄的方差为．18．【答案】（1）（2）【解析】（1）由点和关于直线对称，由直线的斜率为，可得直线的斜率为，有①，又由线段的中点在直线上，有②，联立方程①②解得，，故椭圆C的标准方程为；（2）设，，由题意得直线斜率不为零，设，由，得，即，所以，由，得，即，所以，所以，所以，化简得，所以或，若，则直线过椭圆的右顶点，不符合题意，所以，所以过定点，因为，D为垂足，所以D在以为直径的圆上，，的中点为，又，所以．所以的最小值为，即的最小值为．19．