大学物理学-光的衍射教案

大学物理学教案大学物理学授课章节第13章光的衍射教学目的1.了解产生光波衍射现象的条件，理解菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射的区别；2.掌握单缝夫琅禾费衍射条纹的分布规律，能用半波带法对此分布规律进行解释；3.了解光栅衍射图样的特点及其成因，掌握光栅公式的应用及光栅光谱的缺级现象。4.了解衍射对光学仪器分辨率的影响；5.了解X光的衍射现象和布拉格公式的物理意义。教学重点、难点1.理解半波带法解释单缝衍射条纹的分布；2.熟悉光的干涉与光的衍射的区别；3.掌握光栅衍射的缺级现象并能具体解题；4.掌握光栅衍射时屏上最多能见到的条纹级数分析，且注意如果平行光倾斜地入射到光栅上，则屏上实际呈现的衍射级k正、负值可能是不对称。教学内容备注§13.1光的衍射惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射现象1.光的衍射：光在传播中遇到障碍物，使波面受到限制时，光线绕过障碍物继续前进的现象。2.衍射现象：光遇到障碍物后，光不再是直线传播，而是有光进入障碍物后的阴影区。光所达到的区域，光的强度分布也不均匀(即强度有一定的分布)。例如，平行单色光照到一圆孔上，在孔板后不同处的面上观察光的不同特点：①在直线传播区P1处观察：离孔很近，屏上为边缘锐利的光斑。基本上是圆孔的大小。这时光的传播可看作直线传播。②在近场衍射区P2处和P3处观察：P2处屏上为边缘模糊的光斑、光斑内有亮暗纹，中心为一亮点；P3处屏上环较大，且亮暗纹情况有变化，中心为一暗点。(在此范围中的衍射情况称近场衍射。屏在此范围内移动时，条纹的亮暗会有变化。)③在远场衍射区P4处和P5处观察：P4处较远、此时屏上中间有一较大光斑，边缘外有条纹；P5处（没画）只是光斑比P4处大，样子基本不变。（在此范围中的衍射情况称远场衍射。屏在此范围内移动时，图样不变，只是随距离增大而图样范围增大。中心总是亮斑。）由下可见，在衍射孔后，观察的距离不同，衍射图样是不同的。再如，由点光源发出的光照到一狭缝上，在点光源、缝、屏幕三者固定的情况下，屏幕上光斑宽度决定于缝的宽度：缝宽较大时，有边缘清晰的光斑，且缝宽缩小时光斑宽度也随之缩小；但缝宽小到一定程度时，光斑宽度不但不缩小反而增大，并且光的强度分布也不再均匀，形成明暗条纹。即产生了光的衍射。P1P1P2P3P4=1\*ROMANI=2\*ROMANII=3\*ROMANIII直线传播近场衍射区远场衍射区二、菲涅尔衍射与夫朗和费衍射衍射系统：光源，衍射屏和接收屏。图：光的衍射现象实验通常按光学元件之间的距离将衍射分为两类：1.菲涅尔衍射(近场衍射)：光源S和接收屏C都(或二者之一)距衍射屏有限远。2.夫朗禾费衍射(远场衍射)：光源S和接收屏C都距衍射屏无限远。如，光源距孔，则观察点离孔有限远时，即为菲涅尔衍射；观察点离孔无限远时，即为夫朗和费衍射。如，光源距孔很近，则孔后各处均为菲涅尔衍射(此时入射光不是平面波，而是发散的球面波)。注意：这种分类上从理论计算上考虑的。菲涅尔衍射是普遍的，而夫朗和费衍射仅是它的一个特例。由于夫朗和费衍射的计算要简单的多，因此把它单归为一类。①衍射孔径D及波长的相对大小影响衍射现象：若当远小于D时(<<D)，衍射现象不很突出；(在孔后相当长的距离内，光仍是直线传播。)若较大(D)，则衍射现象突出。②观察衍射现象一般都是在远处，且使D。当/D0时，波动光学几何光学(衍射现象特不突出，衍射效应可以忽略)三、惠更斯—菲涅尔原理：波动有两个基本性质：（1）振动的传播；（2）时空周期性，能相互叠加。惠更斯原理中“子波”的概念不能说明在不同方向上波的强度分布。惠更斯——菲涅尔原理=子波+子波相干叠加 （研究衍射现象的理论基础）1.惠更斯—菲涅尔原理记S:点光源：球面波在某一时刻达到的波面P：波场中的某一点2.惠更斯—菲涅尔原理为(1)上任一面元,都是发光的子波源。(2)P点的振动是各子波传到P点的振动的相干叠加。处理问题的关键：计算波源到各面元之间及各面元到场点之间的光程差。3.菲涅尔衍射公式：设：上任一面元所发出的子波在P点引起的振动为：其中，C为比例系数，为随增大而缓慢减小的函数，称为倾斜因子；(它表示向各个方向发射的子波的振幅不同)。当=0，最大；当90o，=0(即无后退的子波)P点总振动为上各面元对P点贡献的叠加：菲涅尔衍射公式几点说明：①P点的振动为无限多个子波引起的振动的相干叠加的结果，所以变成了一个无限多光束的干涉问题。②利用菲涅尔衍射公式讨论问题时，积分只要对未被障碍物遮住的那部分波前即可。③原则上，菲涅尔衍射公式可以讨论一般衍射问题。但只对某些简单情况，才能精确求解。（例，对夫朗和费衍射积分较易，而对菲涅尔衍射则很困难。）由于直接积分很复杂，所以还常常利用“半波带法”（代数加法）和“振幅矢量加法”（图解法）求解。§13.2单缝夫朗和费衍射一、夫朗和费单缝衍射的实验装置：如图，单缝线光源S，单逢K缝宽为a(0.1~0.001mm)，透镜L1，L2；S在透镜L1的主焦点上，使穿过透镜L1的光线形成平行光并垂直射向单逢K。穿过单逢K的光线经过透镜L2会聚在屏幕E上出现衍射图样。具有相等衍射角的一束衍射光会聚在屏幕某观察点P。P点所在的平行于狭缝的直线上各点有相同的光强。因而，在幕上的衍射图样中，条纹的轨迹平行于狭缝。二、用“半波带法”分析衍射条纹1、半波带法：设平行光垂直入射单逢K，如上图：=0的一束衍射光会聚在屏幕上的P0点是中央亮纹的中心，亮度最大。0的其他点衍射光会聚在屏幕上的其他点。考虑衍射角为的一束平行光，经透镜后会聚P点。这束光两边缘的光线的光程差BC为可见，光程差与有关。而P点的明暗情况与此光程差有密切关系。利用“半波带法”来分波面。2、设BC等于半波长的偶数倍(AB被分为偶数个半波带)，设BC=2(/2)作平行于AC的平面，使相邻平面的间距为/2。此平面把BC分成两段，同时将AB分成面积相等的两个半波带AA1，A1B。由于两波带上对应两点的位相差为(/2)。两光线到达P点时正好抵消，所以，P点将出现暗纹。同理，当BC=2K(/2),K=1,2,3,...则将AC分成面积相等的2K个半波带。相邻两波带发出的光到达P点时正好抵消，P点是暗纹。故形成暗纹条件为；（K=1,2,3,...）注意:上式中K0。K=0为中央亮纹。如a=(即a很小)，则第一极小在＝90o处。即，中央亮纹充满缝前方整个屏幕，屏上各处亮度相同。3、设BC等于半波长的奇数倍(AB被分为奇数个半波带)，设BC=3(/2)同理，把BC分成间距均为/2三段。由于两波带上对应两点的位相差为，相邻两光线到达P点时正好抵消。所以，总效果是只有一个波带起作用。因此P点是亮纹。因起作用的带是整个面积的1/3,所以，P点的亮度小于中央亮纹的亮度。当BC=(2K+1)/2,K=1,2,3,...,时则将AC分成面积相等的2K+1个半波带。相邻两波带发出的光到达P点时正好抵消，总效果是只有一个波带起作用。所以，P点是亮纹，但亮度更小。所以，各级明纹中心条件为，角越大，可分成的波带数越多，波带的面积越小。所以，级次越高的亮纹亮度越小。4、若BC不为半波长的整数倍，则P点的亮度比各级亮纹中心的亮度低而比暗纹亮。三、衍射条纹的特点1、中央明纹中心出现在=0的地方。只有一个主极大。它具有一定的宽度，在其宽度范围内，最大强度。2、暗纹的位置暗纹将出现在角满足的位置上；因角很小，sin，所以暗纹是等间距的。3、其它级（K1）明条纹位置在两相邻的暗纹之间是其它级明条纹，在明条纹范围内有一个相对光强最大的位置、它并不在两相邻暗纹的正中间，而是偏向中央明纹方向。其它各级明条纹相对光强最大的位置：第一级第二级第三级其它级明条纹并不是等间距的。级次越高越趋于等间距。以上结果是从菲涅耳原理积分得到的。利用半波带法只能得到（K1）的各级明条纹相对光强最大的位置在明条纹中心。即第一级第二级第三级另外其它级明条纹的亮度<<中央明条纹的亮度。(经衍射后，绝大部分光集中于中央主极大)4、条纹宽度中央明条纹:条纹宽度即相邻两暗纹间所夹的范围。由第一暗纹位置，即中央明条纹角宽度,线宽度;其它级明条纹角宽度,线宽度。可见，（1）中央条纹宽度是其他次极大条纹宽度的两倍。(光能量主要在此条纹内)（2）a或条纹宽度加大，且各次极大向大角方向移动。当a>>时，条纹宽度0。其结果与几何光学一致。当白光照射时，除中央明条纹中心外，其它级明条纹形成彩色条纹。由屏幕中心向两边按由紫到红的顺序排列、形成所谓衍射光谱。（实际上，中央亮纹边缘也有彩色。因为，宽度和波长相对有关。)夫朗和费单缝衍射图样是一组平行与狭缝的明暗相间的条纹，其中中央条纹最亮最宽。例1：波长为λ的单色光垂直投射在缝宽a=4λ的单缝上，对应于衍射角φ=30o，单缝处的波面可分为几个半波带？解：由可知，能分为4个半波带。例2：在单缝衍射中，对于给定的入射单色光，当缝宽变小时，除中央亮纹的中心位置不变外，各级衍射条纹（A）对应的衍射角变小；（B）对应的衍射角变大；（C）对应的衍射角也不变；（D）光强也不变。提示：由求解。§13.3衍射光栅一、光栅：概念：狭义--平行，等宽，等间隔的狭缝；广义--任何具有空间周期性的衍射屏。分类：d反射光栅d反射光栅d透射光栅光栅常数，其中：透光部分的宽度，：不透光部分的宽度。光栅上一般600--1200条/mm；电子束刻制可达几万条/mm(d)；光栅是现代科技中常用的重要光学元件。二、光栅衍射是夫朗和费衍射；是单缝衍射与多缝干涉的总效果光栅衍射是单缝衍射与多缝干涉的综合：N缝衍射是N条单缝衍射光的干涉。（1）Young氏双缝干涉是不考虑每个缝衍射,双光束干涉的光强分布是等强度的，如下图：I0I0设双缝的每个缝宽均为a。在夫琅和费衍射下，各缝的图样的位置是重叠的。aadλθf透镜Iθθ衍射光相干叠加（3）两束衍射光相干叠加的结果：a、主极大的位置仍由双缝间距d决定，因而没有变化。b、双缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而是受到了衍射的调制。c、出现了明纹缺级现象I3级0级I3级0级1级-1级-3级缺2级缺-2级单缝衍射光强0d、缝宽度a变化对衍射图样的影响：时，且很小时，衍射中央亮纹范围宽，这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形。总之，光栅衍射是多光束衍射光(正入射)的干涉问题。三、光栅衍射的光强公式：确定各级主级大的位置1、对同一点P，各缝衍射光束在P点引起光振动的振幅近似相同，均为AP2、相邻两光束的位相差：3、光栅公式：当,时为主极大位置。四、光栅衍射的特点1、主极大位置：=0,1,2,——正入射光栅公式为主极大的级次。以光栅法线为起点、逆时针为正级次；顺时针为负级次。各主极大角位置为，，，…主极大位置与缝数N无关（，d一定）。2、主极大亮度主极大处是各衍射光束同相加强，所以，合振幅是每一个单缝发光振幅的N倍，即，；因此，此处光强为。所以，光栅缝数越多、条纹越亮；因为，||90o，。由知：主极大的最大数目可见，越大，视场中主极大的总数越少。当d时，除0级外，无其他主极大。3、暗区位置：在相邻两主极大之间还有次极大、其亮度远小于主极大，两相邻次极大之间是暗纹。次极大和暗纹的数目很多，加上次极大很暗，N很大时，次极大完全观察不到。所以，在相邻两主极大之间实际上是一片暗区。4、单缝衍射的调制作用：（1）只影响各主极大的强度分布，但不改变主极大和极小的位置。（2）缺级现象的条件：主极大位置，单缝衍射的暗纹位置，则，，当有简单的整数比关系，将看到缺级现象。5、条纹情况及其和,的关系：（1）不变(单缝轮廓不变)，主极大变密；（包在单缝中央亮纹轮廓线中的主极大数目越大，缺级的级次变高。）主极大变疏。（单缝中央亮纹范围内的主极大个数减小，缺级的级次变低。）（2）不变(主极大的位置、间距不变)，单缝中央亮纹轮廓线变扁宽。（其内主极大数目增大。缺级级次变高。）单缝中央亮纹轮廓线变窄。（其内主极大数目减少。缺级级次变低。）五、斜入射的光栅方程1、光线斜入射时的光栅方程：总光程差为：；斜入射的光栅方程：。和的符号规定：和在光栅平面法线同侧时取正号，异侧时取负号。光线斜入射可以获得更高级次的条纹(高级次条纹分辨率高)。、光栅光谱当复色光入射到光栅上时，光栅可以将不同波长的光分开。与透镜一样，光栅也有分光作用或色散作用。与透镜不同之处，光栅对第0级主极大不分开。1.光栅光谱：当单色光入射时，有，(即角位置与有关)当复色光入射时，除0级主极大外，其他各级，不同波长的同一级主极大的位置()将错开。短波的靠近中央一点；长波的远离中央一点。错开的距离随级次的增高而增大。例：白光(40007600埃)的光栅光谱(连续)：0级1级2级0级1级2级-2级-1级(白)3级-3级2.光栅光谱的特点：有许多级光谱，但无0级光谱。0级光谱是一条白色亮线。光栅光谱是均匀光谱或正比光谱——在不太大时，谱线的位置和波长成正比。如，增大一倍时，谱线距0级主极大的距离也增加一倍。不同级次的光谱可以重叠，如级的1的谱线和+1级的2的谱线重叠，则必有1＝(+1)。例2：（1）在单缝夫朗和费衍射中，垂直入射光有两种波长，,。已知单缝宽度，透镜焦距。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。（2）若用光栅常数的光栅代替单缝，其它条件和（1）相同，求两种光第一级主极大之间的距离。解：（1）由公式：，，，，，，；（2），，，。例3：某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为，那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？解：,，若，则由即，说明第二级谱线在无穷远处，所以观察不到。例4：一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，，。实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角的方向上。求此光栅的光栅常数d。解：由光栅公式有，重合时，有，所以，…，第二次重合，k1=6，k2=4，则有，所以，d=3.05×10–3mm。§13.3圆孔衍射光学仪器的分辨率一、圆孔衍射在观察夫朗和费单逢衍射的装置中、用一直径为D的圆孔代替单缝K，那么在透镜L的焦平面上可得到圆孔的衍射图样。其中央亮斑称为爱里斑。又公式可知：D，，从而爱里斑变小。大多数光学仪器中所用透镜的边缘通常都是圆形的，所以夫朗和费圆孔衍射具有重要意义，对于象的质量有直接影响。夫朗和费圆孔衍射的光强分布如下图所示：中央亮斑─爱里斑（Airydisk）集中了约84%的衍射光能。二、光学仪器的分辨率瑞利判据：如果某一物点斑象（即爱里斑）的中心恰好落在另一物点斑象的边缘，这样所定出的两物点的距离作为光学仪器所能分辨的最小距离。图（b）和（c）是刚好能分辨的分界线。光学仪器的最小分辨角是，式中D为仪器的孔径，是光波的波长。光学仪器的分辨率：最小分辨角的倒数。.5X射线的衍射一、X射线1895年，伦琴发现了X射线。X射线是由高速电子撞击固体时而产生的；由于这种射线不受电场或磁场的影响，所以它在本质上和可见光一样，是一种电磁波。基本性质：波长极短，；穿透力极强。二、X射线在晶体上的衍射1、一般分析：X射线波长极短，一般光栅D>>，因此用一般光栅看不到X射线的衍射(除了0级)。1913年，劳厄(德国)想到，X射线波长和晶体内原子的间距差不多。能否用晶体产生X射线的衍射呢？实验果然看到了衍射现象。让连续的X光射到单晶体上，则屏上产生了一些强度不同的斑点。称劳厄斑。这实验证明了两点： (1)X射线是波长极短的电磁波； (2)晶体中原子的排列很整齐，原子间距是几个的量级。2、衍射分析：在X射线的照射下，晶体中每个格点将成为一个散射中心。(由于各原子在空间周期性地排列着，且各原子散射光的频率和入射光相同。)所以各散射光是相干的，它们将在空间发生干涉。与光栅衍射的对比：晶格和光栅都反映了衍射屏的空间周期性。晶体中每一个原子相当光栅的一条缝。晶格常数相当于光栅常数。衍射的分析方法：先考虑每一个原子的衍射，再考虑各原子的叠加。但由于考虑的是三维衍射，处理起来较困难。现采用另一种方法。分两步:1.先考虑同一晶面上各原子间的干涉点间干涉。2.再考虑不同晶面之间的干涉面间干涉。(1)点间干涉：同一面上各散射光的干涉只需考虑在衍射角等于掠射角方向的0级主极大。可以证明，只有在衍射角等于入射角的