【数学】平面课件 2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系第八章

立体几何初步课时1平面新知探究探究一：平面情境设置思考：点和线我们在小学初中阶段已经有了一定的研究，那么类比线的定义，你能知道什么是平面吗?平整的路面平静的海面桌面、黑板面平面的形象

面和点、直线一样是不加定义的最基本、最原始的几何概念.那么你能否抽象出平面的特征呢?新知生成知识点一平面1.平面的概念几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、平静的湖面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无线延伸的，是没有宽度和厚度的.平面的特征：①平；②无厚薄、无大小；③无限延展的、没有边界；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；新知生成知识点一平面2.平面的画法(1)常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.如图①.(2)在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些.如图②.新知生成知识点一平面3.平面的表示法(1)用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.(2)用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.一、平面的概念例题1

(1)有下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长为50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中真命题的个数为________.(2)下图中的两个平面相交，其中画法正确的是____.1④【解析】(1)由平面的概念，可知它是绝对平的、无厚度的、可无限延展的，可以判断命题④是真命题，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③是假命题.(2)两个平面相交，需画出它们的交线，并且被遮挡部分用虚线画出来或不画.可知图④的画法正确.反思感悟方法总结平面具有如下特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分.新知运用

【解析】(1)①错误，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；③错误，平面不能度量；④错误，看不到的线画成虚线.A②新知生成知识点二点、直线、平面之间的位置关系及语言表达图形语言文字语言符号语言

新知生成知识点二点、直线、平面之间的位置关系及语言表达图形语言文字语言符号语言

新知生成知识点二点、直线、平面之间的位置关系及语言表达图形语言文字语言符号语言

二、三种语言的相互转化

B

反思感悟方法总结三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意被遮挡部分用虚线表示.新知运用跟踪训练2用符号表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面𝛼，𝛽,𝛾相交于点𝑃，且平面𝛼与平面𝛽相交于𝑃𝐴，平面𝛼与平面𝛾相交于𝑃𝐵，平面𝛽与平面𝛾相交于𝑃𝐶；(2)平面𝐴𝐵𝐷与平面𝐵𝐷𝐶相交于𝐵𝐷，平面𝐴𝐵𝐶与平面𝐴𝐷𝐶相交于𝐴𝐶.

新知探究探究二：平面的基本性质情境设置在日常生活中，我们经常看到这样一个场景：自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.问题1：上述是一种什么原理呢?【解析】这实际上就是我们平常说的三角形的稳定性，其原理就是不在同一条直线上的三点可以确定一个平面.新知探究探究二：平面的基本性质情境设置问题2：若直线与平面只有一个公共点，则直线在平面内吗？若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内吗?【解析】若只有一个公共点，则直线一定不在平面内；若有两个公共点，则直线一定在平面内.问题3：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗?【解析】因为平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线.新知生成知识点三平面的基本性质1.平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，，三点不共线存在唯一的平面使，新知生成知识点三平面的基本性质1.平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

，

，且，𝑙⊂𝛼基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，，、不重合𝛼∩𝛽=𝑙，且𝑃∈𝑙，𝑙唯一

新知生成知识点三平面的基本性质2.平面的推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

三、点、线共面问题例题3如图，已知直线𝑎//𝑏//𝑐，𝑙∩𝑎=𝐴，𝑙∩𝑏=𝐵，𝑙∩𝑐=𝐶.求证：直线𝑎，𝑏，𝑐和𝑙共面.

反思感悟方法总结证明点、线共面的方法证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面𝛼，再证明其余点、线确定平面𝛽，最后证明平面𝛼，𝛽重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.新知运用跟踪训练3已知𝐴∈𝑙，𝐵∈𝑙，𝐶∈𝑙，𝐷∉𝑙，如图.求证：直线𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐶𝐷共面.

四、点共线、线共点问题

反思感悟方法总结1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.2.证明三线共点的步骤(1)首先证明两条直线共面且交于一点；(2)证明这个点在这两条直线所在的两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点.新知运用

新知运用跟踪训练4(2)已知△𝐴𝐵𝐶在平面𝛼外，𝐴𝐵∩𝛼=𝑃，𝐴𝐶∩𝛼=𝑅，𝐵𝐶∩𝛼=𝑄，如图.求证：𝑃，𝑄，𝑅三点共线.

五、平面的交线问题

反思感悟方法总结基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的突破口就是找这两个平面的两个公共点.新知运用

随堂检测1.有以下说法：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm.其中正确说法的个数为().A.1 B.2 C.3 D.42.经过空间任意三点作平面().A.只有一个 B.有两个C.有无数多个