高中数学第一章三角函数1 2任意角的三角函数1 2 3三角函数的诱导公式教案苏教版必修4

1．2.3三角函数的诱导公式eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六，并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题．本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础，它们主要用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题．在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．本部分内容的重点是六个诱导公式的推导，在公式的推导中，首先确定180°＋α角、－α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论，另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一．公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角，但是在推导中却把α拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在．课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角．学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制转化的练习．三维目标1．通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：六个诱导公式的推导及灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．课时安排2课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))第1课时导入新课投影显示以下问题：sineq\f(π,6)＝________，coseq\f(π,6)＝________，sineq\f(13π,6)＝______，coseq\f(13π,6)＝________，sin(－eq\f(π,6))＝________，cos(－eq\f(π,6))＝________，sineq\f(5π,6)＝________，coseq\f(5π,6)＝________，sineq\f(7π,6)＝________，coseq\f(7π,6)＝________.学生能马上说出sineq\f(π,6)、coseq\f(π,6)的值，对于其他的值可能会有点困难，请仔细观察一下，其他的角与eq\f(π,6)之间有什么关系吗？你能否将其他角用eq\f(π,6)表示出来？推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))1．2kπ＋α，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成是锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名不变，符号看象限．2.eq\f(π,2)±α，eq\f(3π,2)±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名改变，符号看象限．这九组诱导公式总的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．其中，变与不变是指函数名是否改变，奇偶是指α前面是eq\f(π,2)的奇数倍还是偶数倍，α当成锐角来看，符号是指等号右边的正负号．活动：在初中学习的锐角三角函数值，可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或使用计算器求得．教师可组织学生思考讨论如下问题：0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得；90°到360°的角β能否与锐角α相联系？通过分析β与α的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求[90°，360°)内的角β的三角函数值，转化为求有关锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想．通过分析，归纳得出：如图1.图1β＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(180°－α，β∈[90°，180°，,180°＋α，β∈[180°，270°，,360°－α，β∈[270°，360°.))教师引导学生分α为锐角和任意角作图分析：如图2.图2引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角α与180°＋α的关系．无论α为锐角还是任意角，180°＋α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择180°＋α为研究对象．利用图形还可以直观地看出角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P′(－x，－y)．由此指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式四：sin(180°＋α)＝－sinα，cos(180°＋α)＝－cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.并进一步引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用．教师引导学生在单位圆中讨论－α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考任意角α和－α的终边的位置关系：－α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．探索、概括、对照公式四的推导过程，由学生自己完成公式二的推导，即sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.教师适时点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立，并进一步引导学生观察分析公式二的特点，得出公式二的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．学生自然会想到π－α与α会有什么关系呢？教师与学生一起讨论π－α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π－α的终边的位置关系：π－α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求π－α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．通过观察思考发现以上公式可以用下面一段话来概括：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．教师进一步点拨以上公式可简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1见课本本节例1.变式训练1．利用公式求下列三角函数值：(1)cos225°；(2)sineq\f(11π,3)；(3)sin(－eq\f(16π,3))；(4)cos(－2040°)．解：(1)cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－eq\f(\r(2),2)；(2)sineq\f(11π,3)＝sin(4π－eq\f(π,3))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)；(3)sin(－eq\f(16π,3))＝－sineq\f(16π,3)＝－sin(5π＋eq\f(π,3))＝－(－sineq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)；(4)cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).点评：由上述例题我们可看出，利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，这是数学中很重要的一种思想方法，教师在学生完成例1后应留出足够的时间让学生思考总结．2．cos330°等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)答案：C3．下列各数中，与sin2007°的值最接近的是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)答案：C例2化简：eq\f(cos180°＋αsinα＋360°,sin－α－180°cos－180°－α).活动：引导学生认真仔细的观察题目，重点考查学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度．适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的．解：sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sinα)＝sinα，cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cosα，cos(180°＋α)＝－cosα，sin(360°＋α)＝sinα，所以原式＝eq\f(－cosαsinα,sinα－cosα)＝1.点评：运用诱导公式时首先将负角化为正角.变式训练化简：eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°).解：eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)＝eq\f(\r(1＋2sin360°－70°cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.思路2例1化简cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°.活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．解：cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°＝cos(360°－45°)－sin30°＋sin(180°＋45°)＋cos(360°＋120°)＝cos(－45°)－eq\f(1,2)－sin45°＋cos120°＝cos45°－eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)＋cos(180°－60°)＝eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)－cos60°＝－1.点评：利用诱导公式化简是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证：eq\f(tan2π－θsin2π－θcos6π－θ,－cosθsin5π＋θ)＝tanθ.分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．证明：左边＝eq\f(tan2π－θsin2π－θcos6π－θ,－cosθsin5π＋θ)＝eq\f(tan－θsin－θcos－θ,－cosθsinπ＋θ)＝eq\f(tanθsinθcosθ,cosθsinθ)＝tanθ＝右边．所以原式成立．规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－cosx；(2)g(x)＝x－sinx.活动：根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性时，可以按以下步骤进行：先根据解析式确定函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称．(1)若定义域关于原点不对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)若定义域关于原点对称，再讨论f(x)和f(－x)的关系．若f(x)＝f(－x)，则函数是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数．解：(1)因为函数f(x)的定义域是R，且f(－x)＝1－cos(－x)＝1－cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)因为函数g(x)的定义域是R，且g(－x)＝－x－sin(－x)＝－x－(－sinx)＝－(x－sinx)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习1、2、3.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))本节课我们学习了公式一、公式二、公式三、公式四四组公式，这四组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时经常用到，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知向已知转化的化归思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本习题1.213、14、15.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π＋α的终边关于原点对称．(2)角α的终边与角－α的终边关于x轴对称．(3)角α的终边与角π－α的终边关于y轴对称．二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限．”(2)公式中的α是任意角．(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．基本步骤是：任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2π角的三角函数锐角的三角函数三角函数．即负化正，大化小，化为锐角再查表．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、错解剖析我们在对已知条件等式进行变形时，特别是进行平方变形时，往往不经意间会扩大或缩小角的取值范围，而造成漏解或增解，对于上述情况，一定要注意题目所给条件对角的限制，要将所求得的解进行验证，或检查变形对角的范围有无影响．[例]已知tan(π－α)＝a2，|cos(π－α)|＝－cosα，求eq\f(1,cosπ＋α)的值．错解：∵tan(π－α)＝a2，∴tanα＝－a2<0.∵|cos(π－α)|＝－cosα>0，∴cosα<0.∴α是第二象限角．又cos(π＋α)＝－cosα＝eq\f(1,\r(1＋tan2α))＝eq\f(1,\r(1＋a4))，∴eq\f(1,cosπ＋α)＝eq\r(1＋a4).点评：一个实数的平方不一定是正数，可能是零，因此，本题不能漏掉角α的终边在x轴的非正半轴上的情形．而由于tanα存在，这就决定了角α的终边不在y轴上，即cosα不为零，因此，由tanα＝－a2≤0，|cos(π－α)|＝－cosα≥0即cosα≤0，可知角α的终边在第二象限或x轴的非正半轴上．若角α的终边在第二象限，即cosα<0时，eq\f(1,cosπ＋α)＝eq\r(1＋a4)；若角α的终边在x轴的非正半轴上，即a＝0时，eq\f(1,cosπ＋α)＝－eq\f(1,cosα)＝1.综合上述两种情况可得eq\f(1,cosπ＋α)＝eq\r(1＋a4).二、备用习题1．设A、B、C是三角形的三个内角，下列等式成立的是()A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝sinCC．tan(A＋B)＝tanCD．tanA＝tanB－tanC2．函数f(x)＝coseq\f(π,3)x(x∈Z)的值域为()A．{－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0,1}B．{－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1}C．{－1，－eq\f(\r(3),2)，0，eq\f(\r(3),2)，1}D．{－1，－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)，1}3．已知sineq\f(5π,7)＝m，则coseq\f(2π,7)的值是()A．mB．－mC.eq\r(1－m2)D．－eq\r(1－m2)4．化简eq\f(sinnπ＋α,cosnπ＋α)(n∈Z)所得的结果是()A．tannαB．－tannαC．tanαD．－tanα5．设tan(3π＋θ)＝a，则eq\f(sinθ－5π＋cosπ－θ,sin－θ－cosπ＋θ)的值为()A.eq\f(a＋1,a－1)B.eq\f(a－1,a＋1)C.eq\f(－a－1,a－1)D.eq\f(－a＋1,a－1)6．化简：eq\f(sinkπ－αcoskπ＋α,sin[k＋1π＋α]cos[k＋1π－α])(k∈Z)．参考答案：1.B2.B3.C4.C5.A6.－1.(设计者：郑吉星)第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式一、二、三、四，现在请同学们回忆一下相应的公式，提问多名学生上黑板默写公式．在此基础上，我们今天继续探究别的诱导公式，揭示课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))1．若一个角的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则这两个角具有怎样的数量关系？2．用已有公式得出eq\f(π,2)＋α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式．我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y＝x对称的角的数量关系．教师让学生充分探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y＝x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y＝x对称的两个点的坐标之间的关系进行推导．如图1，设任意角α的终边与单位圆的交点P1(x，y)，由于角eq\f(π,2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，角eq\f(π,2)－α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y＝x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有图1sinα＝y，cosα＝x，cos(eq\f(π,2)－α)＝y，sin(eq\f(π,2)－α)＝x.从而得到公式五：活动：教师点拨学生将eq\f(π,2)＋α转化为π－(eq\f(π,2)－α)，从而利用公式三和公式五达到我们的目的．因为eq\f(π,2)＋α可以转化为π－(eq\f(π,2)－α)，所以求eq\f(π,2)＋α角的正余弦问题就转化为利用公式三接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导公式六．公式六：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括．eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～六都叫做诱导公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))eq\a\vs4\al(学了六组诱导公式后，能否进一步归纳概括诱导公式，怎样概括？)讨论结果：诱导公式一～四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2kπ＋α(k∈Z)，π±α，－α(可看作0－α)．其中2kπ，π，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角±α，函数名称不改变．而公式五、六，这些公式左边的角分别是eq\f(π,2)±α，eq\f(3π,2)－α.其中eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α，函数名称要改变．两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限．教师指点学习方法：如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低．学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了．因此，要求大家多做这方面的工作，以后数学的学习就不再是枯燥无味的了．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1求证：(1)sin(eq\f(3π,2)－α)＝－cosα；(2)cos(eq\f(3π,2)－α)＝－sinα.活动：直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题．证明：(1)sin(eq\f(3π,2)－α)＝sin[π＋(eq\f(π,2)－α)]＝－sin(eq\f(π,2)－α)＝－cosα；(2)cos(eq\f(3π,2)－α)＝cos[π＋(eq\f(π,2)－α)]＝－cos(eq\f(π,2)－α)＝－sinα.点评：由公式五及六推得eq\f(3π,2)±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到eq\f(2k＋1π,2)(k∈Z)的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式使用．例2见课本本节例3.变式训练化简：eq\f(sin2π－αcosπ＋αcos\f(π,2)＋αcos\f(11π,2)－α,cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin\f(9π,2)＋α).解：原式＝eq\f(－sin2αcosα[－cos\f(π,2)－α],－cosαsinα[－－sinα]sin\f(π,2)＋α)＝eq\f(－sinα,cosα)＝－tanα.思路2例1(1)已知f(cosx)＝cos17x，求证：f(sinx)＝sin17x；(2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx?活动：对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形．观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinx＝cos(eq\f(π,2)－x)或cosx＝sin(eq\f(π,2)－x)．要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移．(1)证明：f(sinx)＝f[cos(eq\f(π,2)－x)]＝cos[17(eq\f(π,2)－x)]＝cos(8π＋eq\f(π,2)－17x)＝cos(eq\f(π,2)－17x)＝sin17x，即f(sinx)＝sin17x.(2)解：f(cosx)＝f[sin(eq\f(π,2)－x)]＝sin[n(eq\f(π,2)－x)]＝sin(eq\f(nπ,2)－nx)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－sinnx，n＝4k，k∈Z，,cosnx，n＝4k＋1，k∈Z，,sinnx，n＝4k＋2，k∈Z，,－cosnx，n＝4k＋3，k∈Z，))故所求的整数为n＝4k＋1(k∈Z)．点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练已知cos(eq\f(π,6)－α)＝m(m≤1)，求sin(eq\f(2π,3)－α)的值．解：∵eq\f(2π,3)－α－(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(π,2)，∴eq\f(2π,3)－α＝eq\f(π,2)＋(eq\f(π,6)－α)．∴sin(eq\f(2π,3)－α)＝sin[eq\f(π,2)＋(eq\f(π,6)－α)]＝cos(eq\f(π,6)－α)＝m.点评：(1)当两个角的和或差是eq\f(π,2)的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来．(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.例2见课本本节例4.变式训练若函数f(n)＝sineq\f(nπ,6)(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝__________.解：∵sineq\f(nπ,6)＝sin(eq\f(nπ,6)＋2π)＝sineq\f(n＋12π,6)，∴f(n)＝f(n＋12)．又f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2＋eq\r(3).例3已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2003)＝－1，求f(2004)的值．活动：寻求f(2003)＝－1与f(2004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的关键和要害．解：f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)＝asin(2002π＋π＋α)＋bcos(2002π＋π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)，∵f(2003)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1.∴f(2004)＝asin(2004π＋α)＋bcos(2004π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.点评：解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用．解答本题的关键和要害就是求得式子asinα＋bcosβ＝1，它是联系已知和未知的纽带．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习1～4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”．公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘．利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握．利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))1．求值：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°.2．已知sin(x＋y)＝1，求证：tan(2x＋y)＋tany＝0.3．已知tan(π－α)＝2，求：(1)eq\f(sin2α－2sinαcosα－cos2α,4cos2α－3sin2α＋1)；(2)2sin(3π＋α)cos(eq\f(5π,2)＋α)＋sin(eq\f(3π,2)－α)sin(π－α)．参考答案：1.44.5.2.略.3.(1)－1；(2)2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究．因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活、熟练掌握公式．通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美．激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质．2．用口诀记忆公式：①π±α，－α，2kπ＋α的三角函数公式为：“函数名不变，符号看象限．”②eq\f(π,2)±α，eq\f(3π,2)±α的三角函数公式为：“函数名改变，符号看象限”，其中α看成锐角．3．用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、错解点击是否存在角α、β，α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝eq\r(2)cos(eq\f(π,2)－β)，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．错解：将已知条件化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，即sin2α＝eq\f(1,2)，sinα＝±eq\f(\r(2),2).∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴α＝eq\f(π,4)或α＝－eq\f(π,4).(1)当α＝eq\f(π,4)时，由②得cosβ＝eq\f(\r(3),2)，∵0<β<π，∴β＝eq\f(π,6)；(2)当α＝－eq\f(π,4)时，由②得cosβ＝eq\f(\r(3),2)，∵0<β<π，∴β＝eq\f(π,6).故存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)或α＝－eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)，使得两个等式同时成立．点评：若将所求得的α、β的两组值分别代入①式会发现，当α＝－eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)时，①式不成立，造成这种错误的原因是：我们对①②进行平方时，扩大了角α与β的取值范围．事实上，由①式可知sinα与sinβ需同号，由②式可知cosα与cosβ需同号，而我们在平方消元(角β)时，将①式平方后，sinα与sinβ可异号，而这是不允许的．因此，我们在对三角函数式进行非等价变形时，要注意检验其是否满足题设条件．本题只存在一组值α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)符合题意．本题如果改变角α的范围为0<α<π，则本题有两解：α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)，或α＝eq\f(3π,4)，β＝eq\f(5π,6).二、备用习题1．在△ABC中，下列等式一定成立的是()A．sineq\f(A＋B,2)＝－coseq\f(C,2)B．sin(2A＋2B)＝－cos2CC．sin(A＋B)＝－sinCD．sin(A＋B)＝sinC2．如果f(sinx)＝cosx，那么f(－cosx)等于()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx3．计算下列各式的值：(1)sin(－1200°)cos(1290°)＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°；(2)tan(27°－α)tan(49°－β)tan(63°＋α)tan(139°－β)．4．化简：eq\f(sin540°－αtanα－270°cosα－270°,cosα－180°tan810°＋αsin－α－360°).5．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，求[sin(α＋eq\f(3π,2))·sin(eq\f(3π,2)－α)·tan2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(eq\f(π,2)－α)·cos(eq\f(π,2)＋α)]的值．参考答案：1.D2.C3.(1)2；(2)－1.4.－tanα.5．解：∵5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－eq\f(3,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).∴cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(4,5).∴tanα＝±eq\f(3,4).∴原式＝eq\f(－cosα－cosα·tan2α－tanα,sinα－sinα)＝tanα＝±eq\f(3,4).三、关于数学公式的记忆与变形对于数学公式，除简单加以应用之外，还应在深刻理解其内涵的基础上会进行适当的公式变形．数学公式变形是中学数学教学的重要组成部分，为了理解公式的内在本质，公式变形是数学教学不可缺少的内容．数学公式变形应做到三有，即变之有用，变之有规，变之有益．1．公式变形的目的最终应体现在其实用的价值上，一个公式的等价变形往往有多种，教学中应择其有用的变形，以提高应用公式的效能．2．数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．3．公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽，而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质．附：1．2.3三角函数的诱导公式第一课时作者：陈春芳，江苏省锡山高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计思想))教材分析新旧教材对比第一、老教材的诱导公式是分散在几学时中学完的，这样学生对诱导公式没有整体的认识，在推导方面花时长，而且也不便于学生记忆．苏教版新教材在研究了同角三角函数的基本关系后再来系统研究不同角的三角函数之间的关系，在研究时不是盲目地研究任意两个角而是从角的终边关系出发，抓住三角函数的定义来研究几类终边关于某些特殊的直线和点具有某些对称关系的角的三角函数值之间的关系．第二、老教材从计算特殊角的三角函数值提出问题，由此推广到研究任意角α与π＋α的三角函数值之间的关系．研究的方法是由角的定义得到π＋α的终边即为α终边的反向延长线，从而得到它们的终边关于原点对称，再根据三角函数的定义计算三角函数值，比较计算结果从而得到诱导公式二．这样处理的难点是直接从数的角度研究，比较抽象，不符合学生的认知规律．第三、根据三角函数的定义知道三角函数值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理，而新教材从终边的对称关系出发借助单位圆，充分利用三角函数的几何定义，借助几何图形的对称性直接得出终边关于某些直线或点对称的角的三角函数值之间的关系，苏教版新教材的处理方式突出了数形结合思想，而且也比较直观．公式二的推导是关键，在突破这一组公式的证明后其他几组公式学生完全可以自己推导．因此在这一组公式的推导中可以让学生尝试从代数定义和几何定义两方面进行推理证明，让他们体会比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性，这也是引入单位圆的必要性．新教材先由形的直观认识再上升到数之间的本质联系，这样比较符合学生的认知规律，易于学生接受．新教材在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质，堪称经典．第四、由于苏教版新教材更好更准确地抓住了诱导公式的本质，所以整个处理过程一气呵成，自然合理，便于理解和记忆．老教材的诱导公式的推导思路是：eq\x(问题)→eq\x(\a\al(特殊角之,间的关系))→eq\x(\a\al(终边的位置,关系对称))→eq\x(\a\al(三角函数值之间,的关系诱导公式))新教材的诱导公式的推导思路是：设计期望(1)教学内容方面：新教材这节课的内容庞杂、公式繁多，显得分散，不便于学生记忆．从数学知识的和谐性角度出发，本课以终边关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称为载体，三角函数的定义为依据，推导出六组诱导公式，整个知识的发生发展过程都围绕终边对称这根主线．(2)教学对象方面：新课程教学中要求创设有利于引导学生主动学习的课程环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析和解决问题的能力．本节课公式很多，推导、理解、记忆、应用都是问题，这对学生是挑战，因此“逼”着他们找规律，这样有利于培养学生从复杂现象中归纳出本质问题的意识和能力．(3)教学活动方面：本节课按新课程教学的理念，引导学生积极参与教学，促使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式．当教学任务完成时，对学生创新意识的培养起到潜移默化的作用．有利于对所学内容的理解和记忆，增强了学生可持续发展的能力．教学目标eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知识与技能))(1)借助单位圆和角终边之间的对称关系推导出正弦、余弦的诱导公式；(2)能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(过程与方法))(1)通过公式的推导培养学生的创新能力、探索归纳能力；(2)在公式的推导过程中，突出了对称的思想和数形结合的思想；(3)通过公式的运用使学生了解未知到已知、复杂到简单的转化过程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(情感、态度与价值观))(1)在数学的学习过程中，培养学生提出问题和解决问题的能力，数学表达和数学交流能力，发展学生的应用意识和创新意识；(2)通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径；(3)引导学生赏析数学的严谨美、统一美、结构美、简单美和奇异美，并用这些唤起学生对数学的热情和钟爱．学情分析知识方面：学生已经学习了终边相同的角的表示，三角函数的代数定义和几何意义，在本节课的学习中教师只要把问题分解，抓住三角函数定义，围绕“对称”展开讨论和探究，对学生作适当的引导，让学生从形的角度出发观察归纳，再进行严密的推理证明，体现了数学的严谨性．学生的难点在于公式五的推导，所以前面的教学中要作好铺垫，利用角α和角β的终边关于直线y＝x的对称关系突破这个难点．方法技能方面：学生已经初步掌握了数形结合、变量代换、分类讨论、化归转化等思想方法，对研究问题的一般方法已经有所了解，围绕问题展开讨论、交流、学习．教学重难点教学重点：公式的推导．教学难点：公式推导过程中的思考方法、公式的归类与记忆．eq\o(\s\up7(),\s\do5(实施方案))知识引入阶段——提出问题，明确目标师：前面我们研究了同角三角函数之间的基本关系．那么对于不同的两个角，它们的三角函数之间有没有联系呢？对于任意的两个角我们不妨先来研究终边具有某些对称关系的两个角的三角函数值之间的关系．根据三角函数的定义知道角α的三角函数值由角α的终边确定．终边具有某些对称关系的两个角，它们的三角函数值之间有何联系？这就是这节课我们要探讨的问题．问题：角α的终边关于直线、点有哪些特殊的对称关系？结论：终边相同，关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称等．问题：设角α和角β的终边具有上述对称关系，我们如何去寻找它们的三角函数值之间的关系？结论：根据三角函数的几何意义，数形结合，从图形上寻找几何关系，或者根据三角函数的代数定义计算．eq\x(创设问题情境，激活学生的思维，给学生指明研究方向，明确目标，拟定计划.)知识探索阶段——探索、证明诱导公式师：1.角α和角β的终边相同合作交流：由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等，学生很容易得出公式一(教师板书公式一)师：2.角α和角β的终边关于x轴对称合作交流：①先探讨角α和角β的三角函数值间的关系．学生思考，教师作适当的提示，引导学生可以从数和形两个角度思考，数的角度就是要在终边上找两点，而这样的两个点应该是关于x轴对称的两个点．而从形的角度就要引导学生充分利用单位圆，这样两个对称点的坐标就可以直接用角的三角函数值表示，这样三角函数值之间的关系就很明朗了．无论哪个角度都要紧扣终边的对称关系以及其终边上对称点的坐标之间的关系，在学生作了充分的思考和探究后请学生讲解推导过程，帮助学生进行思维的监控和反思．学生一边回答，教师一边板书完整的解答过程，以下是解答过程：代数方法：设角α终边上一点P(x，y)，则其关于x轴的对称点P1(x，－y)在角β的终边上．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，sinβ＝eq\f(－y,r)，cosβ＝eq\f(x,r)，tanβ＝eq\f(－y,x).(r＝eq\r(x2＋y2)>0)图1所以得出sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝－tanβ.几何方法：设角α和角β的终边分别与单位圆交于P，P1两点，则有P(cosα，sinα)，P1(cosβ，sinβ)．由点的对称关系得：sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝－tanβ.②再探讨角α和角β的关系．(由前面终边相同的角的知识归纳出角α和角β的关系)学生归纳：β＝－α＋2kπ(k∈Z)．特别地，当k＝0时，β＝－α也满足条件，于是得出sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(公式二)设计目的：由对称关系分别从数和形两个方面寻找终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系，充分利用对称性，让学生比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性．把问题呈现给学生，引导学生积极主动探究，调动他们求知的积极性和主动性，将公式二的推导过程展示给学生，目的在于突破这一组公式后，就可以让学生自行推导其余的各组公式．师：借助刚才我们探讨的方法，下面请同学们自己选择合适的方法探究角α和角β的终边关于y轴，原点对称时你能得出什么结论．学生活动：留时间给学生推导，教师巡视，对有困难的同学给予适时的指导，情感上对学生给予鼓励，帮助学生树立克服困难的信心．稍后请同学回答，并将学生的成果用投影仪展示，加以适当调整修正即可得到公式三和公式四．知识拓展：1.公式二、三、四能否由其中的两个推出另外一个？2．由公式二你能得出三角函数的什么性质？合作探究：角α和角β的终边关于直线y＝x对称：(1)角α和角β的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？(2)角eq\f(π,2)－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？(3)由(1)和(2)你能得出什么结论？图2师生互动：多媒体展示图形，先让学生观察动画，教师引导学生从图形和函数中点关于直线对称的知识一步步突破难点，对于eq\f(π,2)－α与α的终边是否关于直线y＝x对称，可以先从特殊角观察，再推广到一般情况．从而和学生一起合作推导出公式五．突破难点：对于问题(1)我是这样引导学生的：从三角函数的几何意义得出角α和角β的终边与单位圆交点的坐标，接着可以通过两种途径寻找角α和角β的正弦函数和余弦函数值之间的关系．方法一：通过三角形相似得到线段之间的关系，再根据有向线段的方向得出函数值之间的关系．方法二：函数中某点(a，b)关于直线y＝x对称点的坐标为(b，a)，进而得出函数值之间的关系．师：利用公式二和公式五你又能发现什么？学生活动：由学生推导出公式六．设计目的：几组