湖北省黄冈市武穴荆竹中学高三数学文期末试题含解析

湖北省黄冈市武穴荆竹中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线与抛物线的一个交点为A（不与原点重合），则直线到抛物线焦点的距离为（

）A．6

B．7

C．9

D．12参考答案：B联立方程：，得到：，∴（舍）∴，又焦点F∴故选：B

2.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[1,2]上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．参考答案：C∵是上的奇函数，且满足，∴，∴函数的图象关于对称，∵函数在区间是减函数，∴函数在上为增函数，且，由题知，，，∴．3.在中，“”是“”的 （

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B4.已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，M为AB中点，点P在内（不含边界），若，则的取值范围是（

）A.(1,2) B. C. D.参考答案：A【分析】首先由已知可知点是的重心，如图，根据向量的运算可知，则化简为，再根据和的范围得到的范围.【详解】如图：，点是的重心，点是的中点，，，当点在内（不含边界），，，，，，，，.故选：A【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算，重点考查转化与化归和化简能力，属于基础题型.5.函数y=x+cosx的图象大致是（

）A

B

C

D参考答案：B6.函数，若，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A7.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：

①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（

）（A）①②

（B）②③

（C）③④

（D）①④参考答案：D略8.函数有最小值，则实数的取值范围是

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B9.现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x?|cosx|；④y=x?2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．【解答】解：①y=xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x?2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选B．10.已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有．给出以下三个命题：①直线是函数图像的一条对称轴；②函数在区间上为增函数；③函数在区间上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（

）．（A）个 （B）个 （C）个 （D）个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为____的学生.参考答案：37

12.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度(如下图所示)，设等级为n级需要的天数为an(n∈N*)，则等级为50级需要的天数a50=

.参考答案：270013.设函数，其中是给定的正整数，且。如果不等式在区间上有解，则实数的取值范围是

。参考答案：略14.已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是________.参考答案：(－∞，1)略15.已知是偶函数，当时，，且当时，

恒成立，则的最大值是

．参考答案：

略16.已知数列{xn}为等差数列，且x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，则数列{xn}的前20项的和为．参考答案：100【考点】数列的求和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过等差中项可知x2=，x19=，利用数列{xn}的前20项的和为，进而计算可得结论．【解答】解：∵数列{xn}为等差数列，∴2xn+1=xn+xn+2，又∵x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，∴x2=，x19=，∴x2+x19=+=10，∴数列{xn}的前20项的和为=100，故答案为：100．【点评】本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．17.设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a=

．参考答案：3考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．解答： 解：复数（a+3i）（1﹣i）=a+3+（3﹣a）i是实数，∴3﹣a=0，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.（本小题满分12分）已知函数，（1）当且时，证明：对，；

（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（3）数列，若存在常数，，都有，则称数列有上界。已知，试判断数列是否有上界．参考答案：20.设数列{an}，{bn}，{cn}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有bn+1=，cn+1=．（1）求数列{cn﹣bn}的通项公式；（2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{an}是公比为a的等比数列，记数列{bn}和{cn}的前n项和分别为Sn和Tn，记Mn=2Sn+1﹣Tn，求Mn＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{cn﹣bn}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{an}和{bn+cn}都是常数项，即有an=a，bn+cn=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得an=an，由Mn=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）=2+a+a2+…+an，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）由于bn+1=，cn+1=．cn+1﹣bn+1=（bn﹣cn）=﹣（cn﹣bn），即数列{cn﹣bn}是首项为2，公比为﹣的等比数列，所以cn﹣bn=2（﹣）n﹣1；（2）bn+1+cn+1=（bn+cn）+an，因为b1+c1=4，数列{an}和{bn+cn}都是常数项，即有an=a，bn+cn=4，即4=×4+a，解得a=2；（3）数列{an}是公比为a的等比数列，即有an=an，由Mn=2Sn+1﹣Tn=2（b1+b2+…+bn）﹣（c1+c2+…+cn）=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）=2+a+a2+…+an，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．由2+＜对任意n∈N*恒成立，即有2+≤，解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．21.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程。非一户一表 用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度。“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月 到次年4月起执行非夏季标准如下：

第一档第二档第三档每户每月用电量（单位：度）[0,200](200,400](400,+∞)电价（单位：元/度）0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65=266.5元，若采用阶 梯电价收费标准，应交电费200×0.61+(400－200)×0.66+(410－400)×0.91=263.1元.为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作 人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88、 268、370、140、440、420、520、320、230、380.组别月用电量频数统计频数频率①[0,100]

②(100,200]

③(200,300]

④(300,400]

⑤(400,500]

⑥(500,600]

合计

(1)在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3)设某用户11月用电量为x度（），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75％的用户带来实惠？参考答案：(1)频率分布表如下：组别月用电量频数统计频数频率①40.04②120.12③240.24④300.3⑤260.26⑥40.4合计

1001

频率分布直方图如下：…………4分

(2)、该100户用户11月的平均用电量度所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.……………………6分(3)、，.…8分由得或或，解得，因，故的最大值为423.……………………10分根据频率分布直方图，时的频率为，故估计“阶梯电价”能给不低于75％的用户带来实惠.…………12分22.