高考大演练理数详解答案河北省衡水中学2016届高三第一次模拟考试

321高考大演练理数详解答案

①河北省衡水中学2016届高三第一次模拟考试

1.A［命题立意］考查集合的运算.

［试题解析］A=(—l,+w),CJ1=(—8,—=1},故选A.

2.D［命题立意］考查复数的运算，共规复数.

［试题解析］

z=a=.=2(L1)=_1+i,_1_i,£也=(_1+i)(_1_j)=2.故选D.3.B

1-z(1-/)(1+/)2

［命题立意］考查程序框图.

［试题解析］循环过程中的值依次为：(2,1,1),(4,2,2),(6,3,4),(8,4,8,止匕时i的值不

小于8,终止循环，输出s=8.故选B.

4.A［命题立意］考查等比数列，椭圆和双曲线的离心率.

［试题解析］1,。,81成等比数列，；.。2=81,。=9或。=-9.当。=9时，圆锥曲线为椭圆，

e=《亘=2后，当。=一9时，圆锥曲线方程，e=虫亘=瓦.故选A.

331

5.D［命题立意］考查二元一次不等式表示平面区域，几何概型.

(x-y>0

［试题解析］满足(、+)，沙且落在丁+>2=4内的点组成如图所示的阴影部分.由几何概

型，满足条件的概率P=L故选D.

6.B［命题立意］考查正、余弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式.

［试题解析］由正弦定理得a=2/?sinA,b=27?sinB,c=2/?sinC.

2RsinAcosB+2RsinBcosA=27?sin2C.

/.sin(A+B)=sin2C,

,/A+B=^-C,CG(0,4).

冗

...sinC=l,.\C=—.

2

h2+c2-a~_V3・•.cosA=^,A/

26

•••8=lf+令《故选B

7.A［命题立意］考查二元一次不等式表示平面区域，直线的斜率公式，正切函数的性质;

考查数形结合的思想.

［试题解析］作不等式组表示的可行域如图.

z=生土1=2^—且表示区域内的点M(x,y)与连线斜率攵的2倍.结合图

x+1x—(—1)2

形和正切函数的性质得kAB<k<kAc.

34

B(3,1),C(1,3),.&8=：AC=7

o7

z故选A.

42

8.A［命题立意］考查空间几何体的三视图，体积；考查空间想象能力.

［试题解析］由三视图知，几何体如图所示.

分别取切中点G和跖中点H.

连掰BG,GH.

则几何体分割为三棱柱6如TW和四棱锥B-CEHG.

=VBGH-ADF+VB-CEHG=X4X4X4+X4X4X4=^.故选A.

9.A［命题立意］考查圆的切线性质，直角三角形的内切圆性质，及曲线的定义和离心率;

考查数形结合的思想.

［试题解析］设|P4|=x,|P与|=y,三个切点分别为B、C、D.

则|PB|=Rc|=g

切册=|叫=阀|一阙=A”骂牛陶一闸=严|

又归q—怩斗

由双曲线的定义知2a=l,a=L

2

e=-y=2.故选A.

10.C［命题立意］考查平面向量的基本定理，向量的线性运算，向量共线，共线定理.

［试题解析］设丽=AAE,DF=//DC,

AE^AO+OE^^+^.DC=OC-OD^---.

2422

:^=^a+-b,DF=^a-^b.

2422

又/=而+丽

：.—a+—b=(-+-)+—a--b,

242222

.AA.〃+l1-//,

BRrP——b-——a+——b.

2422

2〃+1

2-?4

之迨，解得/1=£

4-23

___21

AF"=—a+—6.故选C.

33

11.B［命题立意］考查函数的单调性和奇偶性，数列的项与和的关系，等差数列的概念和性

质；考查综合处理问题的能力.

［试题解析］f(-x)=sin(-x)+(-x)3=-/(x),

.•・/(x)为奇函数.

又/'(x)=COSX+3%2

xe(—―,—)时f'(x)>0,f(x)在上为增函数.

e(—,—)，且/(%())<.Ro<€).

2

,/Sn=pn+软(pw0),二｛%｝为等差数列.

4+/=2«|0<0,.,.q<-a19,/(a,)</(-«19),

；./(%)+/(«19)<0,同理"⑷+/(。用)，…，/(%)+/(«||)<0.

.♦./(q)+...+/(49)<0.故选B.

12.A［命题立意］考查函数解析式，函数零点，函数的单调性，导数的应用.

［试题解析］/(幻为单调函数，且/［/(x)—lnx］=e+l,

设/(X)—lnx=a,.­.f(x)=Inx+a.

/.f(a)=lna+a=e+l,解得a=e,/(x)=Inx+e.

命题①为假命题；命题②中/⑴=e>0,./'(e-3+e<0

e②为真命题；命题③中，由/0)=%得111%=%-0

作》二姑工与^二^^^^图象易得两图象有两个交点,

.•./(x)=x有两个零点，③为假命题；命题④中，

由/(%)-/'(%)=6+1得111%-2-1=0,函数g(x)=lnx-'-l在

XX

3

(0,+8)上为增函数，且g⑴=-2<0,g(2)=ln2—：<0,

，在(1,2)上函数/(幻-(0)=6+1无零点，④为假命题.故选A.

13.［命题立意］考查二项式定理.

［试题解析］/(x)=x6=［l-(l+x)］6,展开式通项为

"禺G-l)，(1+打=(-1)'禺(1+4，

3

.-.«3=(-1)^=-20.

［参考答案］-20

14.［命题立意］考查球的内接几何体；考查整体处理的思想；考查空间想象能力.

［试题解析］。8，平面48。，，。81_4。,又4。，46,。8口48=8,

，AC_L平面A8D所以以AB、AC.AO为棱把三棱锥。-ABC补成一个长方体

则长方体的所有顶点都在球面上，・••球的半径为山上土里=?

13

［参考答案］-

2

15.［命题立意］考查抛物线的定义和几何性质，双曲线的定义和离心率，函数最值，基本不等

式.

A

［试题解析］设P(x0,y0)则为=J』由已知(0,-1),F(O,1),|PF|=3；O+1

•也—-l-+1-］(%+1)2_=L_4^0___.

2222

y/x(,+(y0+l)\y0+6y0+l\y0+6y0+l

当先=0时，m=l.

1__4_>

当先＞0时，m=当且仅当为=1时取等号.

1一2

%+一+6

%

P(±2,1),\PF\=2,|PA|=2V2.

网-网=立一

2

［参考答案］V2+1

16.［命题立意］考查分段函数，函数零点，函数图象，导数的几何意义；考查数形结合的思想.

<____2

［试题解析］当XNO时，由八上五71整理得:-f=i,是双曲线在第一象限的部分，其

21

4

渐近线斜率为

2

作函数图象如图，当时，.=作与以=；4■+1的图象恒有一定交点.

由y=-ln(l_x),得)，'=J—,y'Lo=l.

1一九

.•.y=-ln(l-x)(x<l)在x=0处的切线斜率为1,

当左<1时，y=丘与y=-ln(l-x)(x<0)恒有一个交点，

时，F(x)=/(x)-左(x)有且只有两个零点.

［参考答案］(1,1)

17.［命题立意］考查三角函数倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的单调性，值域和图象

的对称性，正弦定理.

［参考答案］(1)/(x)=V3sinC9jfi:oscox-cos2①x+；

G•OI/O2

=——sin2a)x——(2coscox-ln)

22

G•o1°o

二——sin2cox——2cos2(vx

22

.(%吗

=sin2a)x——

I6J

因为函数/(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为生,

4

所以丁=乃.所以--=71,所以①=1.

2a)

rr

所以/(x)=sin(2x——).

由一生+2k7i<2x--<—+2k7r(kGZ),

262

得一A+麦乃WxW《+kjr(kGZ).

所以函数的单调递增区间为-乡+k肛£+觊(左eZ).

(2)因为(»-a)cosC=dlx)sA,由正弦定理,

得(2sin8-sinA)cosC=sinCTcosA即

2sinBcosC=sinAcosC+sinCUosA

=sin(A+C)

=sinB

IJT

因为sin8w0,所以cosC=—,所以C=—.

23

所以o<8<?

根据正弦函数的图象，可以看出/(X)的最大值为/(B)=1,

此时如公(即5号所以Ag

所以口/WC为等边三角形.

18.［命题立意］考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，二面角，空间向量的应

用，探索性问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力.

［参考答案］连接交AC于点。，则连接A0.

在口人其。中，A41=2,AO=1,N4AO=60。，

4。2=朋2+AO?-2A4,DAOSos60°=3.

AO2+^02=AA^2,

A。，AO.

•.•平面44.GC，平面ABC。，；.4。J"底面ABCZX

.,・分别以。氏。C。4,所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

A(0,-l,0),B(50,0),C(0,l,0),。(一百,0,0),A(0,0,G).

⑴丽=(-2百,0,0),怠|=(0,1,百)，

A41®=0x(-2^)+1x0+73x0=0,

BD±A4

•.•03平面A4.GC,

平面AAG。的一个法向量々=(i,o,o).

设平面AA^D的一个法向量%=(x2,y2,z2),

“2,AAi,y2+\/3Z2=0,

则而，则［二有X2+Y2=0,

取%=(1,G,—1).

/.以虫勺,&)

同网5

锐二面角。-AA-C的平面角的余弦值是

5

(3)假设在直线CG上存在点P，

使得BP〃平面设在=比己,P(x,y,z),则(x,yT,z)=4(O,l,—),

得P(O,1+2,V32),BP=(-73,1+4

设平面D41cl的一个法向量〃3=（尤3，%，23），・

J"3"1■祠J2必=。

则(n3lDA^，则\向3+&3=0不妨取〃3=（1，°，-1）.

BP//平面。4G,

：.%访=0,即-6一也几=0,得几=一1,即存在点P在cc的延长线上，且CC=CP，使

得BP//平面D4iG.

19.［命题立意］考查独立性检验，离散型随机变量的分布列和数学期望.

［参考答案］（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中6份做不到光

盘，3份能做到光盘.

所以4的可能取值为0，1,2,3.

C_15_5

%=0)=Zf-126-42

等式哈

CC=455

%=2)=

C；12614

*=6=1

噂=3)=

C：12621

随机变量4的分布列可列表如下:

0123

51051

P

42211421

5,10c5cl4

所以E（g）=ox-----l-lx—+2x-----l-3x—=—

422114213

n(ad-be)2

⑵K?

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

100(45x15—30x10)2JOO

-------------------=---«3.03.

55x45x25x7533

因为2.706<—。3.03<3.840.所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘

习惯”与性别有关，即最精确的P值应为0.10.

20.［命题立意］考查椭圆的标准方程和几何性质，直线与椭圆的位置关系，一元二次方程根与

系数的关系；考查整体处理的思想和分类讨论的思想；考查运算求解能力.

［参考答案］（1）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，

设椭圆标准方程为=1(Q>/?>0),X2=8百y的焦点为（0,2A/3）,

a2b2

h=2^3.由e=£='M?—/=,解得/=16,Z?2=12.

a2

22

椭圆C的标准方程为一+匕=1.

1612

22

(2)①直线x=—2与椭圆J+当=1.交于点P(—2,二，2(-2,-3)或P(-2,-3)，

1612

2(-2,3),|=6.设A(x,,y),B(x2，%)，直线AB的方程为y=^x+m,

22

由土+二=1.联立，Wx2+mx+m2-\2-0,

1612

由A：/??-%加2-12)>0,得y<m<4,由韦达定理，得

X]+々=-m,xtx2=病一12,得(5+2)G+2)<0,

即xtx2+2(玉+%)+4<0,

m2-2m-S<0,解得

四边形AP8Q的面积为

S=耳。尸。口（士+工2产-4百工2

=3“8—3川

・・・当加=0时，S取得最大值，最大值为12G.

②当ZAPQ=N8PQ时，直线PA,P8斜率之和为零,

当P(-2,3),。(-2,-3)时，PA的直线方程为y-3=k(x+2).

22

与椭圆方程联立，得(3+4公)x+8k(2k+3)x+4(2k+3)-48=0,

-16k2-24k

/.Xj+(—2)—

3+4/

一1642I

同理，心的直线方程为y-3=M(x+2),.口+(_2)=；

3+4k

X-%=%(X[+2)+3—[―女(々+2)+3]

24k

-3+4公

直线AB的斜率为$二&=-L当P(-2,-3),Q(-2,3)时，

Xj-x22

同理可得直线A8斜率为L.

2

21.［命题立意］考查导数运算，利用导数研究函数的单调性和方程解得问题，探索性问题；考

查转化思想；考查运算求解能力.

［参考答案］⑴令ln(D=0,得x=2,.・.T(2,0),

3

・•.点T关于直线x=三的对称点为(L0).

2

/./(I)=0,—m+4+/n+0=>m=-3

(2).・・尸a)=r(x)+g1+i)

8

=2iwc+(8+2/77)+—

X

_2mx2+(8+2m)x+8

x

_(2/nr+8)(x+l)

x

vx>0,.*.x+1>0.

当〃220时，x+18+2mx>0,Fr(x)>0,

此时，尸(处在区间(0,+oo］内单调递增;

44

当〃2<0时，由F\x)>0,W0<x<---，由Fr(x)<0,得x>----，

mm

44

此时，尸(工)在区间(0,-2)内单调递增，在区间(-2,+8)内单调递减.

mm

综上所述，当加20时，F(工)在区间内(0,转］单调递增；

44

当加<0时，尸(幻在区间(0,-2)内单调递增，在区间(-2,+00)内单调递减.

mm

(3)由条件(1),知

=,假设曲线y=G(x)上存在两点P,。满足题意，则P,Q只能在y轴的

两侧，设P(t,G⑺)Q>0),则Q(T,r+产).

•••bOPQ是以。为直角顶点的直角三角形，二OTO2=0,即

_产+(产+产居”)=0,①

当()</W2时，G(f)=-t3+尸，此时方程①可化为-t2+(―-+12)(r+*)=o,

化简得/-r+1=0,无解.此时满足条件的P,Q不存在；

当f>2时，G(r)=«ln(r-1),此时方程①可化为一产+。(r+〃)ln(f—l)=0,

化简得L="+l)ln«+l),设/i«)=Q+l)ln«+l),

a

设h'(t)—ln(z—1)+--,

当r>2时，h'(t)>0,人⑺在区间(2,+oo)内单调递增,

〃⑺的值域为(/2(2),+00)即(0,+oo).

.•・当。>0时，方程①总有解.

综上所述，存在满足条件的尸,。时，实数。的取值范围是(0,+8).

22.［命题立意］考查圆周角的性质，切割线定理；三角形相似.

［参考答案］(1)连接由题意知AABE为直角三角形，

因为ZABE=ZADC=90°,ZAEB=ZACB,

所以AABEQAADC,所以一=—,

ADAC

即筋04。=皿0£又43=47,所以

(2)因为FC是圆。的切线，所以尸。2=£4Mg.

又AF=2,CF=2近,所以8/=4,48=8/一4厂=2.

因为NAb=NFBC,又NCFB=NAFC,所以AAFC口ACFB.

所以竺=生，得AC=3=&.

CFCBCF

5

A4C3中，由余弦定理，得cos/ACD=J

4

、府

所以sinZACD=^—=sinZAEB,

4

A54V14

所以AE=

sinZAEB7

23.［命题立意］考查曲线的极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程及应用.

37r

［参考答案］(1)因为直线,过点时,6),且倾斜角为彳,

骂

2

所以直线/的参数方程为骂(t为参数).

2

由p=2Qsin(-^-—)cos(^--),得夕=10cos。，

所以曲线C的直角坐标方程为无2+y2-10x=0.

(2)将直线/的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

(—3—争产+(6+与打=25,

F+9A/2Z+20=0,△=82〉0.

可设彳4为上述方程的两个实根，则有

(4+，2=-90,

|h,，2=20,

又直线/过点尸(2,6),所以

附+1冏小1+同=,+4=90.

24.［命题立意］考查解绝对值不等式，绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题.

fX>?

［参考答案］(1)原不等式等价于］(2X+1)+(2A3)V6，

或122

［(2X+1)-(2X-3)<6,

Jr

或I

［-(2x+l)-(2x-3)W6,

3131

解得一<x<2,或—<x<—,或—l<x<—.

2222

所以不等式的解集为{+1<x<2}.

(2)不等式1082(。2一3。)>2等价于1082(/-3。)+2</(/)„1/，

因为|2x+l|+|2x-3|耳2x+l-(2x-3)|=4,

所以/(x)的最小值为4,

(£/2-3«>0,

于是log2(4-3a)+2<4,即102_30_4<0,

解得T<。<0,或3<。<4,,

所以实数”的取值范围是(-l,0)U(3,4).

②河北省衡水中学2016届高三第二次模拟考试

1.B［命题立意］考查函数的定义域，不等式的解集及集合的运算.

［试题解析］A={x>=Jx_4}={x|xN4},CRA={X|X<4},

B={x|-l<2x-l<0}=<xO<x<1>,(QA)A5=-^0<x<^>.

2.A［命题立意］考查命题的否定.

［试题解析］命题“甚<0,使得*NO”的否定是“VxWO,无2<0”.

z=—=2"1+”=20-0=-1+i,:.z=-l-i,:.zd=(-l+0(-l-z)=2.故选D.3.B

1-i(l-i)(l+i)2

［命题立意］考查共规复数、复平面，考查新定义问题，考查考生应用能力.

a,bz,l+z

［试题解析］由c,d==ad-bc,得-i,2i=2zi+i(\+i')=0.

=------i,z=---1—i,z的对应点第二象限.

2i2222

4.A［命题立意］考查程序框图，考查考生的识图能力、逻辑思维能力和计算能力.

［试题解析］S=3,n=\,T=2<2S;

S-6,n-2,T=8<IS;

S=9,〃=3,T=17<2S;

S=12,〃=4,T=29>2S;

输出T=29.故选A.

5.C［命题立意］考查导数的几何意义

［试题解析］r(x)=3x2-l,3x2-l=2,x=±l,/(—1)=3J⑴=3.

；.尸点坐标为(1,3)和(-1,-3).

6.A［命题立意］考查双曲线的标准方程及几何性质，直线与圆相切.

［试题解析］设渐近线方程为y=+kx,由点到直线的距离公式有：

厂L=l,=设双曲线方程3炉—^=44/0)

正+1

又双曲线过点(2,1),/.3x22-1=2,2=11

22

.二_匕=1

,丁17

3

7.A［命题立意］考查三角函数的图象变换，三角函数的性质.

jr冗

［试题解析］g(x)=sin2(x——)——=sin(2x-^)=-sin2x,

42

g(-x)=-sin(-2x)=sin2x=-g(x),g(x)为奇函数,

jrjrJT

0<2x<-,0<%<-,g(x)在(0,—)上单调递减，，选B.

244

8.D［命题立意］考查等差数列及通项公式.

［试题解析］由=(〃-+(〃+1)4用知数列｛mz〃｝为等差数列.

记2=1x4］=1也=2。2=2x3=6,d=b2-b、=5

「也=1+(〃-1)x5=5〃-4,

444

=5/7—4.凡=5—,a”=5---=4一.

n205

9.C［命题立意］考查几何体的三视图，考查考生的空间想象能力和识图能力.［试题

解析］AA8C是边长2G的正三角形，。为AA3C的中心，

VO1•平面ABC,E4=VB=VC=4,则

OA=2^x—X-=2,VO=A/42-22=273,

23

・•.侧视图面积是：，x2Gx2G=6.

2

10.C［命题立意］考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查函数的零点，考查数形结合的

数学思想.

［试题解析］作出y=/(X)在(0,6)的图象如图，/(X)—；=0在(0,6)内

的零点有4个，设为％2£工4,显然M+工2=2,入3+尤4=10，

X]+尤2+毛+工4=12.

11.c［命题立意］考查几何概型的概率，向量的模及不等式恒成立问题的解法.

［试题解析］c=(2n+3cosa.n-3sina),

.\|c|2=(2n+cosa)2+(n-3sinGr)2=57t2-F9+6n(2cosa-sina)

5/+9+6>/^〃cos(a+。)(其中sin0=f,cos6=^^).

VaGR,\c\<6,

5n2+9+6A/5cos(a+6)W36.

.,.5n2+9+6>/5<36,

即，5〃2+矿6—匕75/+/6—2=7有两根4,〃2,4<°，**•〃在

2-010

12.A［命题立意］考查向量的运算，三角公式的应用，椭圆定义的应用及最值问题.

［试题解析］由题知：2sm1等）+谒（弩）弓

1-cos(fi+C)+1+COS(^-C)=-,2cosA=—cos(8-C),若A最大，则

22

ZB=ZC,cosA=-1,又成卜|而|+1定J,

.・•点P在以3、。为焦点，长轴长为2国的椭圆上.

在AABC中，设反=2,由余弦定理得22=AB2+AC2-24B［iosA,

2

又AB=AC,得AB当点尸在短轴端(与点A在BC两侧)时,

PA

最大为(J=+6)+2=2"

BCV33

13.［命题立意］考查等差数列的通项公式及前n项和公式，等比中项概念.

2

［试题解析］,/a5=。3囚।,，(4+4dy=(q+2d)(q+1Od),

又d=l,q=-1

S12=12x(-1)+^|^=54.

［参考答案］54

14.［命题立意］考查基本不等式的应用.

［试题解析］:正数满足*2+2孙-3=0,.,.)•=/■-二

2x2

2al11

2x+y=2x+—--=-(%+-)>3(当且仅当x=—即x=一时取等号).

2x22xxx

［参考答案］3

15.［命题立意］考查线性规划知识的应用.

fx=2(x=2

［试题解析］由(2x-y-m=0得(y=4-mA(2,4-m)

rn+4

x=------

\x+y=43加+48-/77

由［2x-y-/n=0得8-〃z8()

产亍3'3

直线3x+y—z=0时过点8时，z最大,

c722+48-7721八「

/.3x----+-----=10/.m=5.

33

A(2,-l),直线3%+y-z=0过点A时，z最小,

Zmin=3x2+(-1)=5.

［参考答案］5

16.［命题立意］考查三棱锥与球相接问题，运用导数分析最值.

［试题解析］如图，设VO=x,OD=y,,则。。=3)，,公^£。口八丫。。,1"=”,

EO0D

即口叵工，得V二七，

2yx--4

@棱锥=gS^BCUO=；*《AB［CDWO

=—x—x2百yx3yxx=也xy1='J'

32-X2-4

、“/、12后(炉-4)4后_48&2

V(X)=-------------——=-------7-----------

,-4)2*2—4)2

令V'(x)=0,得》=2百，.•.高为26n寸，三棱锥体积最小.

［参考答案］2出

17.［命题立意］考查正弦定理的应用，三角公式的应用，三角函数的值域.

31

［参考答案］(1)由已知得2sin24-2sin2c=2(3cos2。-上si/C)

44

化简得sinA=@,故4=巳或空

233

(2)由正弦定理一^―=」一=，一=2,得。=2sinB,C=2sinC,故

sinBsinCsinA

4sinB-2sinC=4sinB-2sin(-----8)=3sinB->/3cosB

3

=26sin(B-勺.

因为附所以手8＜《会人?全

所以2b—c=26sin(B—［白，2)..

18.［命题立意］考查独立性检验的基本思想方法及随机变量的分布列及数学期望.

［参考答案］(1)2乘2列联表

年龄不低于45年龄低于45

合计

岁的人数岁的人数

支持a=3c=2932

不支持0=7d=ll18

合计104050

50x(3x11-7x29)2

K2»6.27<6.635

(3+7)(29+11)(3+29)(7+11)

所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.

J的可能取值为0,1,2,3.

八、C；Cl62884

%=0)=+2=—x—=——,

C；Cf01045225

G28

4X6

a=X--+X16一

45一

415

c;104160

G-16­

+W

X一X

P(4=2)=W-X4-45

CGI15

P(J=3)=

C;

所以《的分布列是

g0123

84104352

p

225225225225

1047064

所以J的取值是E4)=0H----------1----------1--------——

2252252255

19.［命题立意］考查面面垂直的性质，线面垂直的证明，二面角的求法，空间向量知识的应用,

考查考生的空间想象能力和推理论证能力.

［参考答案］(1)在梯形A8C。中，

-AB//CD,AD=DC=CB=1,/BCD=120°,

AB=2BD~+AD2-2ABD4£>Q:os60°=3.

AB2=AD2+BD2,：.AD1BD.

•.•平面平面A8C£>=BD,DEu平面BEFD,DE±DB,

.•.£>£_L平面ABC。，二£)£J_AD又flBO=D,AO_L平面.

(2)由(1)可建立分别以直线D4,OB,DE为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令

EP=2(0<2<>/3),则D(0,0,0),A(l,0,0),8(0,瓜0),P(0,2,1),

:.AB=(-1,73,0),BP=(0,A-V3,l)

设勺=(x,y,z)为平面PA6的一个法向量,

H]rt4B=0,-x+\/3y=0,

由)为廊=0,得［几一有y+z=0,

取y=l,则/=(6,1,6—4),:%=(0,1,0)是平面ADE1的一个法向量,

・•・*=的]________

J3+1+-1)2X1

1

,/0<2<-73,A-百时，cos3有最大值—.

2

„冗

.•.6的最小值为一.

3

20.［命题立意］考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，考查考生的运算求

解能力..

-m+—n=l,

82

［参考答案］(1)由题可得:

—m+—n=\

163y

解得m=4,H=1.

所以曲线C的方程为y2+4/=1

222

(2)由题意得：y,+4x,=1,y2+4X2=l,x,x2+y[y2=0.

原点。到直线MN的距离

.四时阴4(西+凹)25+%七

|A8|小(一一,)2+(--%)2

2

l(l-3x,)(l-3x^)“_3(尤12+々2)+9*2

2222

―\2-3(X,+X2)~\2-3(X,+X2)

由西々+,必=0得：

22

犬年=城％2=(1-4%1)(1-4%2)

—1—4(xj+x,~)+

所以

2222

-3(x,+x2)+—(JC,+X2)+-

d=\----------------------——

22

\2-3(X,+X2)

||一|(」+%2)+9斗2%2亚

22-

2-3(^+^2)V

所以直线MN恒与定圆/+尸=1相切

-5

21.［命题立意］考查运用导数分析函数的单调区间，最值及不等式恒成立问题，考查分类与整

合的数学思想.

［参考答案］(1)函数的定义域为/?,

ex(x2-mx+1-2x+/n)e'(x-l)(x一加-D

八x)=

(x2-mr+1)(x2-mx+1)2

①当/篦+1=1,即根=()时，f\x)>0,此时/(x)在R上单调递增

②当机+1>1,即0<m<2时，

X£(-8,l)时，f\x)>0,此时/(X)单调递增，

xe(l,m+l)B'j*,/r(x)<0,此时/(x)单调递减，

X£(〃2+l,+00)时，fXx)>0,此时了(%)单调递增.

③当m+1<1,即一2〈根<0时，

%£(-8,〃2+1)时，，/Z(X)>0,此时/(%)单调递增，

X£(〃2+l,l)时，f\x)<0,此时/(X)单调递减，

%£(1,+8)时，-(%)>0,此时/(幻单调递增.

综上所述，①当相=0时，/(X)在R上单调递增，

@当0V加<2时，，/(X)在(一8,1)和(m+1,+8)上单调递增，/(X)在(1,m+1)上单调递减.

③当一2<加V0时/(X)在(-00,m+1)和(1,+00)上单调递增，/(X)在(m+1,1)上单调递减.

(2)①当X£(0,l］时，/(X)min=/(°)=l，g(X)max=L所以函数/⑴图象在g。)图象的上方.

用+1

②当m+1］时，函数/(x)单调递减，所以其最小值为/(m+l)=-----,g(x)最大值为加+1,

m+2

所以下面判断了(机+1)与加+1的大小，即判断/与(l+x)x的大小，其中x=m+le(l，T，

令m(x)=ex-(1+x)x,m'(x)=ex-2x-l,

令h(x)=mr(x),则"(x)=e*-2

因x=〃2+1e11，T所以〃'(％)=e'-2>0,m'(x)单调递增；

32(31

所以加⑴=e—3<0,加(耳)=e2-4〉0,故存在x0e1,-,

使得m"(x0)=e"-2x0-1=0.

3

所以加(幻在(1,与)上单调递减，在(x0,1)上单调递增.

222

所以加(X)>根(无0)=e")-x0-x0=2x0+1-x0-x0=-x0+x0+1

所以x。*1mg0)y+g>。即，〉…x时，也即

/(m+1)>/«+1,所以函数/(x)的图象总在y=x上方.

22.［命题立意］考查切割线定理及射影定理的应用.

［参考答案］(1)由题可知弧BD是以为A为圆心，D4为半径作圆，而ABCO为正方形，.•.££>

为圆4的切线，依据切割线定理得互^二郎郎

•.•圆。以为直径，是圆。的切线，同样依据切割线定理得EC?：.初

故£C=ED;.E为8的中点.

(2)连接CT,•.•8。为圆。的直径，.・.。尸，3/

由SgcE-~xBCxCE=gxBExCF

得。/=耳=述，又在RfABCE中,由射影定理得

V55