线性代数第五版课后题答案

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201

解1—4—1

-183

=2x(-4)x3+0x(-l)x(-1)+1x1x8

-Ox1x3-2x(-l)x8-1x(-4)x(-l)

=-24+8+16-4=-4.

"c

ca

(2)cQb

4人c

8c4

解cQ8

1l1

bc

(3)

fe2c2

111

解abc

crb2c2

-hc2+ca2+ah2-ac2-ha2-ch2

=(a-b)(b-c)(c-a).

Xy心

⑷yx+yx

%y

xy%+y

解y%+yx

x+yxy

=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx_y3_(x+y)3T3

=3盯(1+/)-/_3》2y-x3-y3-x3

=-2(xV).

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:

(1)1234;

解逆序数为0

(2)4132;

解逆序数为4:41,43,42,32.

(3)3421;

解逆序数为5:32,31,42,41,21.

(4)2413;

解逆序数为3:21,41,43.

(5)13---(2n-l)24---(2n);

解逆序数为吟吵：

32(1个)

52,54(2个)

72,74,76(3个)

(2n-l)2,(2n—1)4,(2n-l)6,•­•,(2n-l)(2n—2)(n-1个)

(6)13…(2n-l)(2n)(2n-2)•••2.

解逆序数为〃(〃-1)：

32(1个)

52,54(2个)

2

(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,•••,(2n-l)(2n-2)(n-1个)

42(1个)

62,64(2个)

(2〃)2,(2〃)4,(2〃)6,•••,(2〃)(2〃-2)(n-1个)

3.写出四阶行列式中含有因子田口23的项.

解含因子田同23的项的一般形式为

(-1)%11。23的必45,

其中/•，是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.

所以含因子。皿23的项分别是

(一1)GI闷23a32a44=(-1)L11423432a44=-&1闷23a32a44,

(-1)'aI口23a34a42=(-1)%11423434a42R11423434a42.

4.计算下列各行列式：

4124

102

z1X

1J

cZ20

1017

1

41242q

14-47

020

1MC12

解1

2024-2X

33(-

1017101

100110

9xlO

oo

--

n

-X124I

21-41

321

-1

1o31

2)1-z2

562

21412140240

1

3T213122-322

解1^

12321230130

5o625062240

3

240

rK

M-I322

-o

1230

0000

-abacae

(3)bd-cdde;

bfcf-ef

-abacae

解bd-cdde

bfcf-ef

—111

=adfbce1-11=Aabcdef.

a-1oo

1T1o

一P1

1l

o-c•

ood

-1

4)

解1

—QOo07Qo

，

L匕

T1o11o

-^^

nOcl0cl

-O1d0d

O-10T

+

aaad

-

=(-D(-D2+lo—1c1+cd

-Dl0-10

=(-1)(-1>+21=abcd+ab+cd+ad+l.

5.证明：

a2abb2

(1)2aa+b2b=(a-b)3；

111

证明

22122

a?ahb\c2-cxLab-ab-a

laa+b2b[='\lab-a2b-2a

111|100

4

2z2

=(一1产ab-ab-a=(b-a)(b-a),"为。二色一分■

b-a2b-2a

ax+byay+bzaz+bxxyz

⑵ay+bzaz+bxax+by=(a3+h3)yz%

az+hxax+byay+bzz%y

证明

ax+byay+bzaz+bx

ay+bzaz+bxax+by

az+bxax+byay+bz

xay+bzaz+bxyay+bzaz+bx

=ayaz+bxax+by+bzaz+bxax+by

zax+byay+bzxax+byay+bz

xay+bzzyzaz+bx

=ayaz+bx%+〃2zxax+by

zax+byy%yay+bz

xyzyz%

=a3yzx+b3z%y

zxyx>z

Xyzxyz

=a3yzx+b3yz%

zXyzxy

xyz

=(a3+h3)yz%

z%y

a23+1)23+2)23+3)2

h2(Z?+l)2(Z?+2)2(h+3)2

⑶

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2

d23+1)23+2)2("3)2

证明

5

a23+1)23+2)23+3)2

b-0+1)20+2)20+3)2

(C4—C3,C3—C2,C2—C1得)

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2

d2(d+l)2(d+2)23+3)2

2tz+12a+32a+5

b22b+12/7+32/7+5

(得)

c22c+l2c+32c+5C4-C3,C3-C2

d22J+12d+32d+5

22

a22a+l22o

b-2Z?+122-

1

c2c+l22

d22d+l

111

c,%c

2

(4)Q2

44Z7Mc2

c4

二(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);

证明

1l1

b,

〃c

〃2

出4

c2

|614z?44

lc

o111

ob-ac-ad-a

ob(b-a)c(c-a)d(d-a)

b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)

111

=(b-d)(c-d)(d-a)bed

h2(h+a)c2(c+a)d2(d+a)

111

=(h—a)(c—a)(d—a)0c—bd—b

0c(c-b)(c+b+a)d(d-b)(d+b+a)

6

=(b-a\c-a\d-a\c-b\d-b}ckc^h+a)d(d^h+a)

—(ci—b)(a—c)(a—d)(b—c)(b—d)(c—d)(a+b+c+d).

X—10-00

0X—]-00

⑸=x"+〃]X〃1+•一.

000•X—1

anan-\为.2・・丹+，

证明用数学归纳法证明.

-1

当〃=2时，D=x2命题成立.

2=x+a]x+a2,

a2x+a1

假设对于(〃-1)阶行列式命题成立，即

八〃一1,〃一2,..

DH-\=X+a\x+…+an-2X+an-\,

则。”按第一列展开，有

ToOO

XTOO

2=MI+4(T严---：

11X-

=xZ)”-i+a”=x"+aif'+,,,+4”-座+斯.

因此，对于〃阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式£>=det(初)，把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对

角线翻转，依次得

anl•••ann斯•••ann

Dl=.........,D=

2,。3=

%…4“a\}an\%]…人

〃(〃一1)

证明2=3=(-1)2D,D?=D.

证明因为D=det(a(7),所以

7

=(一1),1%…%”

a\\

a2\

=(一1尸(一1)"-2册.

旬,

»(/?-!)

=(_])1+2+…+(〃-2)+(〃-1)£)=(—])

2D.

同理可证

w(/7-l)4]•••Q〃|n(n-\)n(n-\)

Z>2=(-1)^~............=(T)k。=(—D.

a\nann

n[n-1)n(n-\)n(n-i)

a=(T)一厂a=(T)k(-1)-7-。=(一i)"("T)z)=。.

7.计算下列各行列式（。人为攵阶行列式）:

a1

⑴D.=，其中对角线上元素都是。，未写出的元素都是0；

1a

解

ooo1

〃

oaoo0

ooQo0

-

D,尸-（按第〃行展开）

ooo40

1oo04

8

OoOO1

4oOOOQ

0QOOOQ

a(〃一l)x(〃-l)

000-a0(n-l)x(A?-|)

a

=(—1严・(—1)〃；2m2_])

a(〃-2)(〃―2)

xa…a

（2）。〃=ax…a

aa•••x

解将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得

QQ

XO・O

-・

2OO

一X

・

一

一-X

・

・

Z-X--•・

OO一

-XX

再将各列都加到第一列上，得

%+(〃一1)。aaa

0x-a0,••0

D"=00x-a・・・0=[x+(n-l)a](x-a)n~'

0000x-a

an3-1)"…(〃_〃)”

3-1严…

・・・・・・•・・

（3）“用=...9

aa-\…a-n

11…1

解根据第6题结果，有

9

11・・,1

n(n+\)aci—1…a-n

加=（T）2

a1'-'3-1严…(a-ri)"~

an(。-D"…(a-n)n

此行列式为范德蒙德行列式.

2+i=(T)H(。-j+1)]

7Z+1>/>J>1

=(T产-nw-j)]

n+l>i>j>\

〃(〃+D什(〃-1)+…+1■■

F一■n(i)

n+l>/>j>l

n+\>i>j>\

4b〃

瓦

(4)2”=q

q4

d“

解

4b〃

qb\

D=（按第1行展开）

2nq4

,4

10

%o

a\A

q4

0

…0dn

°bn-i

a\b\

+(—1产+%.cid\

C”—1dn—l

Cn0

再按最后一行展开得递推公式

D2n=a“d“D2n-2—bnCnL)2n-2^即02n—

于是以=1I(M一。£)。2•

i=2

而D2=,¥=*一姐,

所以。2Hi(咽-%).

nt=i

(5)D=det(砒,其中处月L/I；

解aij=\i-j\,

01231

1〃-

1o122

1〃-

21o1-3

3110〃-4

2〃

O”=det(%)=1.

-•.-..

n-1n-2n-3n-40

II

1

1

।2一1-1-1J1

r_r-1-1-1-11

/J♦・・♦・♦・♦・・・・

n-1n-2H-3H-40

o)。0o

2。0o

一

20o

一2-2o

二2

.---2

n-12H-32九一42n-5n-1

1+q1…1

1]+的,,,1

⑹D“=,其中⑶做…

11…1+%

解

1+q1•••1

11+%…•1

・・・・••・•・••・

11・・・1+4

q00…001

6Z

一〃290…001

C］一。2

0一〃3〃3...001

C2~C3

~an-\an-]1

000…0一OLn1+Qn

100•-004Z,

—110•-00W

0—11•-00

=a]a2--an

000•,-11*

000•-0—11+如

12

100-004T

010-00右I

001-00靖

=〃]〃2…...........

000-01*

n

000•••00i+Zq

/=1

=3%•q)(i+Z—)-

('=]ai

8.用克莱姆法则解下列方程组:

JT]+X2+X3+X4=5

⑴3百+2x1一/+44=—2

2%|—3%一七一5%=-2

3X1+X2+2X3+11X4=0

解因为

214

-1

D-1

-1

-32

,

511511I

214141

2=-£-AT

I-212-215

I-2-1-1-

O-323-O2211

,

515-

1

1411C>)

N-21

A2+23“-1

-2-5--242

3-2131o)

O11

4A22

所

以QD

。

。

13

5%]+6%2=1

X+5%2+6%3=0

⑵1X2+5X3+6X4=0.

x3+5x4+6^5=0

X4+5X5=1

解

为

因

56000

15600

Q01560665

一

一=

00156

00015

1600051000

A1

o56001600

A-o15600560

o0156=1507,D2=0156=-1145,

1001501015

A11

561000

1560

1500156o0

01cl60015o0

-I)

0056001o6

001150005

1

5600

1560

1

A0156』22

00151

0001

所以

一

r_1507_1145.703-395—212

「665'%—665'3-66554~~665~，%4~665-

AX]+X2+X3=0

%]+以£+七=0有非零解?

X1+2/ZX+X=0

{23

解系数行列式为

14

211

D=1/J,1=〃一〃丸.

12〃1

令D=o,得

或2=1.

于是，当//=0或4=1时该齐次线性方程组有非零解.

(1—丸)%一2%2+4%3=0

10.问几取何值时，齐次线性方程组12%+(3-丸)马+毛=0有非零解?

+々+(1一丸)巧=0

解系数行列式为

1-2-24I11-2-3+A4

D=23-21=21-21

11l-/l||101-2

=(1—??.)^+(A—3)—4(1—>i)—2(1—A)(—3—71)

=(1—/i)^+2(1—A)-+/?.—3.

令。=0,得

A—0,A,—2或A—3.

于是，当2=0,2=2或2=3时，该齐次线性方程组有非零解.

第二章矩阵及其运算

1.已知线性变换：

15

%=2%+2%+%

<%2=3乂+%+5%，

、%3=3乂+2%+3%

求从变量Xi,X2,X3到变量y\,y2,y3的线性变换.

解由已知:

⑷仅

(2f-7-49Yv八

故%=363%

13、32㈤

X=—7玉4%2+9xj

<%=6玉+3々一7%3.

%=3%]+2%2-4%3

2.已知两个线性变换

[玉=2y+%p,=-3^+z2

J%2=-2y+3%+2%,J%=22]+Z3,

〔%〔为=

3=4y+%+5%-z2+3Z3

求从Zl,Z2,Z3到X],X2,X3的线性变换.

解

由

知

已

2o

3

-241

f-613YzJ

=12-49z2

I。-116及

X1=-6Z1+Z2+323

所以有<%2=124-422+923.

X3=-1021-^2+16Z3

16

(Ill](123)

3.设A=11—1B=-1-24,求3A5-24及4rB.

(1-11JI。5i)

fl1231Uli)

解3AB-2A=311-24-211-1

JT51JU-iU

fo58、fl1nf-21322、

=30-56-211—1-2-1720

(29ojU-i(429—2,

fl11Y123、fo58、

ATB=11-1-1-240-56

「I1人。51J1290；

4.计算下列乘积:

f431丫71

(1)1-232；

(57O11J

f431Y7)(4x7+3x2+lxl)(35、

解1-232=lx7+(-2)x2+3xl=6

(57。人I5x7+7x2+0xlJ

⑵a

解(123)2=(lx3+2x2+3xl)=(10).

⑴

(3)1(-12)；

(2x(-1)2x214)

解1(-12)=1x(-1)1x22

(3x(-1)3x2；6J

17

fl31

,力214O^i0-12

(4)U-134j1-31

(40-2)

fl311

214O^i0-12f6-78^

解1-134J1-31(20-5-6)-

(40-2)

।23

(5)(%]%?X3)"12"23

解

\a\3a23的3人

=(a1Mi+412X2+413X3a12X1+422X2+42K3aiyi+a262+a3M5)X2

VX37

5.设A=0Ij,5=(；?),问：

(1)AB=BA吗？

解AB^BA.

因为46=C*，="，所以A屏8人

(2)(A+5)2=A2+2A5+52吗？

解(A+B)2^A2+2AB+B2.

因为A+B=(j|1

18

(A+3)2=2Y22)(814)

5人25厂(1429)

但25+叫:第@9限第,

所以(A+B)2^A2+2AB+B2.

(3)(A+5)(A-B)=A2-B2吗？

解(A+B)(A-B]^A2-B2.

o2

因为A+6=125O1

oo6

2)1-

(A+6)(A-6)=2gOJO9

故(A+8)(A-8)4—破

6.举反列说明下列命题是错误的：

⑴若储=。，则AW;

解取A=[g1)，贝ijTw,但AM.

⑵若A2=A,贝1]4=0或4=后

解取A=[1j),贝I」T=A,但AM且AW£

⑶若AX=AR且AM,贝ljX=y.

贝IAX=ay,且AHO,mX^Y.

7.设A=(；力,求不,篦…，屋

19

(X10)

8.设A=041,求屋.

(00"

解首先观察

彷\

210Y21%1|

20A1—021o

2/L­

2刈

。

0OA00O—

27

U33矛32)

A3=A2-A=0犬31

00尤

o4万6曾

43

A=A-A=O出4龙

0Z,

P5尤10.

A5=A4-A=0无5尤

00尤

‘龙攵无T售二12无：-2

Ak—2

八一0尤以一

(00无

用数学归纳法证明：

当女=2时，显然成立.

20

假设人时成立，则"1时,

z

(

尤

2无

无

o年o21

Ak+-Ak-A=OOOOA

7

7

(k+l)k光一

龙+1(k+1)尤T

(左：1)无t

=o无+|

00龙+i

7

由数学归纳法原理知:

尤k光7秘二12龙-2、

2

Ak=0无k少t

00无

9,设A,8为〃阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B'AB也是对称矩阵

证明因为A7=A,所以

(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,

从而是对称矩阵.

10.设A,8都是〃阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是

AB=BA.

证明充分性：因为且AB=84,所以

(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,

即AB是对称矩阵.

必要性：因为『斗”与民且(A8)r=A8,所以

AB^AB)T=BTAT=BA.

11.求下列矩阵的逆矩阵:

21

(1)

A=

解（2I）-141=15故A-1存在.因为

(cos0-sin。、

(sin。cos。y

(cosO-sin。

解A=(sinScosO.⑷=1M,故4T存在.因为

cos。sin。

名厂(-sin。cosO

A-'=-^-A*=cos。sin。)

所以

IAI-sin。cos。J

z21X

(1I

342

3)

-4

12、

3

解A4

5T.IAI=2M,故Ai存在.因为

/

44、

raA111f-420)

24242

lA44=-136-1

333/「3214-2.

-210]

所以代4m13

3

-T-2

—167-ij

22

0

3念，•aM).

0

,由对角矩阵的性质知

fl)

%J_o

4-1_%

o.•_L

12.解下列矩阵方程：

⑴冏x=(厂";

解x/沈仁丹沈尚忐谭)

(21-(\

⑵X210=

UT1J1V2)

解X=

10

11T

-23

=43-

3-33

/221\

82■

-5'

一

I337—

23

4\2o3

—X

2/1o

43

解X

2o

3o

-4

21o2

61o

1

312

1-

4

F0O03、

lrolO1-04

\ooX7

lo

z'o"NI320,

3

-4o

解X-1oooo1

oo1o3

7

OS

rlo-

o1-403oO113

N-1

oooI1o

31

-2\

13.利用逆矩阵解下列线性方程组:

%+2X2+3毛=1

(1)<2X]+2X2+5X3=2；

3X(+5X2+X3=3

解方程组可表示为

3丫71、m

故52=0

V⑼

24

X]=1

从而有<%2=°・

玉=0

玉一%2一％3=2

(2)<2%一%一3.=1•

3%+2%2—5%3=0

解方程组可表示为

fl-1-1丫始⑶

2-1-3%2=1，

32-5‘人工310J

㈤1-1

故=2—11=0,

\X3j\32-5J10)13,

%=5

故有<%2=°•

左=3

14.设屋=。（k为正整数），证明（E-A）T=E+A+A2+-•♦+屋1

证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为

E-Ak=(E-A)(E+A+A2+--•+AA-1),

所以(E-A)(E+A+A2+---+Ak-')=E,

由定理2推论知(E-A)可逆，且

(E-A)~^E+A+A2+---+Ak~'.

证明一方面，有E=(E-A)T(EY).

另一方面，由屋=。，有

E=(E-A)+(A-A2)+A2------屋、(心-屋)

=(E+A+A2+---+AA-1)(E-A),

故(E-A)~\E-AME+A+A2+---+Ak~'XE-A),

两端同时右乘（E-A）T,就有

25

(E-AyXE-A)=E+A+A2+---+Ak-1.

15.设方阵A满足A?-4-2E=。，证明A及A+2E都可逆，并求及

(4+26-\

证明由A?-A-2E=。得

A2T=2E,gpA(A-E)=2E,

或A-1(A-E)=E,

由定理2推论知A可逆，且AT=J(A—E).

由A2-A-2£=O得

A2-A-6£=-4£,即(A+2E)(A-3E)=-4E,

或(A+2E>；(3E-A)=E

由定理2