专题08 解直角三角形（3大易错点分析+13个易错点+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题08解直角三角形勾股定理专题易错点：1.审题不清：例如，在解决与勾股定理相关的问题时，学生可能会忽视题目中的关键信息，如是否明确指出某个角是直角，或者是否给出了直角三角形的两条直角边的长度。这可能导致错误的解题方向。2.概念理解不透彻：例如，对于勾股定理及其逆定理的理解不透彻。勾股定理说的是在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。而其逆定理是，如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。学生可能会在应用这些定理时发生混淆或错误。3.运算错误：在进行勾股定理的计算时，学生可能会因为运算错误（如加法、减法、乘法、除法等）而得出错误的结果。4.忽视特殊情况：例如，当直角三角形的两条直角边长度相等时，它同时也是一个等腰直角三角形。这种情况下，学生可能会忽视这个特殊性质，导致解题错误。5.无法灵活运用：勾股定理的应用并不仅限于求解三角形的边长，还可以应用于其他领域，如计算物体的斜抛距离等。学生如果不能灵活运用勾股定理，就可能在一些实际问题中无法正确应用。易错点1：赵爽弦图例：“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（

）A．121 B．144 C．169 D．196【答案】C【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，小正方形的面积为，则，可得，则大正方形的面积为，即可求解．【详解】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，又∵小正方形的面积为，则，解得，∴大正方形的面积为，故选：C．变式1：如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为．【答案】32【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．【详解】解：如图，由题意得，，是直角三角形，则大正方形面积，面积，阴影部分的面积，故答案为：32变式2：数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．(1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．方法：______；方法：______；根据以上信息，可以得到的等式是______；(2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；(3)在（）的条件下，若，求斜边的值．【答案】(1)，，；(2)；(3)．【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；（）把代入到（）中的关系式中计算即可求解；本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键．【详解】（1）解：方法：，方法：，可以得到的等式是：，故答案为：，，；（2）解：方法：，方法：，∴，∴；（3）解：把代入得，，∴．易错点2：勾股定理的折叠问题例：如图，在矩形中，，点F是的中点，M是上一点，N是上一点，将矩形沿着折叠，点落在点E处，点C恰好落在点F处，若，则（）A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm【答案】B【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解决问题的关键．设，则，根据折叠的性质可得四边形和四边形关于对称，然后根据勾股定理可得，进而即可解决问题．【详解】解：如图，连接，∵，∴设，则，∵四边形是矩形，，∴，，由折叠可知：四边形和四边形关于对称，∴，，，，∵是的中点，∴，在和中，根据勾股定理得：，，∴，∴，解得（负值舍去），∴．故选：B．变式1：王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图，图，图，

第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上．已知，，则的长是．【答案】【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质．由矩形的性质得到，，，图①由折叠的性质得到：，，推出四边形是矩形，图②由折叠的性质得到四边形是正方形，因此，图③由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，因此，推出，由求解即可．【详解】解：四边形是矩形，，，，图①由折叠的性质得到：，，，∵，，四边形是矩形，图②由折叠的性质得到：，，，四边形是正方形，，，图③由折叠的性质得到：，四边形是矩形，∴，，，，．故答案为：．变式2：（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E、F．求证：四边形是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形和垂直平分线的性质，证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，即可证平行四边形为菱形；（2）过点F作于H，利用折叠的性质和勾股定理，求出，，再由平行线的性质和等角对等边的性质，得到，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理，求出，即可得出四边形的周长；（3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，先求得，得出，由折叠的性质可知：，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理，得出，证明四边形是矩形，通过勾股定理，，再在中，求出的长即可．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为菱形；（2）解：如图，过点F作于H，由折叠可知：，，，，，在中，，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴四边形的周长+；（3）解：过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，∵四边形是平行四边形，，∴，∴，∵，∴，∴，由折叠的性质可知：，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，在中，，∴，在中，．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关键．易错点3：勾股定理的证明例：勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．通过用两种方法计算梯形的面积即可证明勾股定理．【详解】解：矩形旋转得出矩形，，，，，，，，是等腰直角三角形，由题意知：，，，，故选：C．变式1：人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有．（直接填写图序号）【答案】③④/④③【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得．【详解】解：①长方形的面积：，②，③，整理，得，④，整理，得，故答案为：③④．变式2：综合与实践勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明．(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，，连接，，用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证明勾股定理．请你补充该证明过程．【答案】(1)说明见解析；(2)补充证明见解析．【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；（2）先证明，然后分别表示出出梯形，四边形，的面积，再根据四边形的面积-四边形的面积的面积即可求解．【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，∴，即；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵直角梯形的面积，四边形的面积，的面积，∵四边形的面积－四边形的面积的面积∴，化简得：．易错点4：勾股定理的平方关系例：如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键．【详解】解：∵，∴是等边三角形．∴∵∴（SAS），∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴，∴∴故选：B．变式1：如图，己知是正方形，P是对角线上一点，（填“>”、“=”或“<”），延长，与于点Q，与的延长线交于点G，H为的中点，连接，则、、的数量关系为．

【答案】【分析】利用正方形的性质，证明，得到，根据为的中点，得到，，继而证明，得到，即可推出，根据勾股定理得到，等量代换即可得解．【详解】解：四边形是正方形，，，在与中，，，，为的中点，，，，，在中，，在与中，，，，，，，∵，，，故答案为：，．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．变式2：综合与实践问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四边形．猜想证明：(1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为__________．(2)如图1，在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D．四边形是对余四边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究：(3)如图2，在对余四边形中，，，，则线段和之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由．【答案】(1)或；(2)是，证明见详解；(3)，理由见详解．【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；（2）根据对余四边形的定义，由圆周角定理得出，说明即可；（3）将绕着点B逆时针旋转得到，连接，利用已知条件得出，利用勾股定理可得结论．【详解】（1）解：∵四边形是对余四边形，或时，．∴或．故答案为或．（2）证明：是的直径，点A，B，C在上，．即．∴四边形是对余四边形．（3）猜想：线段和之间的数量关系为：．理由如下：，∴将绕着点B逆时针旋转得到，连接，如图，

则，．．为等边三角形．．，．∴∠BFA+∠ADB=30°．，．．．．．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了对余四边形的定义、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键．锐角三角函数专题易错点：1.理解意义不清：对于锐角三角函数的概念理解不够深入，例如误认为锐角三角函数的值与边的长度有关，而实际上，锐角三角函数值与角的大小有关，与边的长度无关。2.边角关系对应出错：在解题过程中，学生可能会误把某个边当作某个角的邻边或对角边，导致计算错误。因此，在解题时，需要明确每个角和每条边的对应关系。3.利用勾股定理解题漏解：当题目中没有明确哪个角为直角时，学生可能会忽略分类讨论的可能性，导致漏解。因此，在解题时，需要全面考虑所有可能的情况。4.利用勾股定理弄错第三边：在利用勾股定理计算时，学生可能会误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边。因此，在解题时，需要明确每个边的角色和属性。易错点1：特殊角的三角函数值例：在中，若三个内角，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先求出、的度数，即可计算得到结论．【详解】解：∵的度数之比为，，∴，，∴，，∴，故选：B．变式1：如果直线和直线所夹的锐角为，那么的值为．【答案】【分析】本题考查的是一次函数的应用，锐角三角函数的应用，熟练的构建图形是解本题的关键，先画图求解，再利用特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：如图，直线与两函数的交点分别为，，与轴的交点为，∴，，∴，，∴，即，．故答案为：变式2：（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；4【分析】此题考查了实数的混合运算、绝对值、分式的化简求值及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练各部分的运算，一定要细心运算．（1）先计算零指数幂，二次根式，绝对值及特殊角的三角函数值，再计算加减即可；（2）先根据分式的混合运算法则化简，再将代入计算即可．【详解】解：（1）；（2）；当时，原式．易错点2：锐角三角函数的增减性例：s，，的大小关系是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，．又，正弦值随着角的增大而增大，．故选D．变式1：若是锐角，，则应满足．【答案】【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案．【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小，∴，故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．变式2：（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）若，则___________；若，则__________；若，则__________；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）见解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4）【分析】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，有，．利用正弦公式求得；依据余弦公式得到；（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案；（3）利用概念分别得到、、的正弦值和余弦值，比较即可得到答案；（4）由，，利用（1）的结论解答即可．【详解】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，显然有：，．∵，，，而．∴．在图（2）中，中，，，，，∵，∴．即．（2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，∴；．（3）∵，，∴若，则；∵，，∴若，则；∵，，∴若，则．故答案为：=，<，>；（4）∵，，且，∴．【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题的关键．易错点3：同角三角函数关系例：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．变式1：已知，则的值为．【答案】【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴故答案为：．变式2：同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α为锐角，解得，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．易错点4：胡不归例：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】连接，过点P作垂足为H，过点Q作垂足为，先求出A，C，B的坐标，得到为等腰直角三角形，求出，得到，利用垂线段最短可知，的最小值为，进而得出结果．【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为，令，即，解得：或，，，当时，，，，，，.，即，根据垂线段最短可知，的最小值为的长度，，，，即的最小值为6．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数中的线段最值问题，等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键得到的最小值为的长度．变式1：如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为．【答案】/【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识．作点关于的对称点，连接，作，垂足为，利用勾股定理求得，利用三角函数求得，将转化为，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，垂足为，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵点与点关于对称，∴，∴，当共线时，有最小值，最小值为的长．在中，，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．变式2：如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．(1)点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标；(2)点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值．【答案】(1)或；(2)．【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、垂线段最短等知识，综合性很强，难度适宜．（1）可分别得到点和点的坐标，再代入抛物线解析式，求解得函数关系式，过点作轴的平行线，交于点，设点P的坐标为，则点D的坐标为，再求解即可；（3）作，垂足为点E，先证得为等腰直角三角形．可得．．当点A，N，E共线时，有最小值．最小值n为线段的长．再求解邓可．【详解】（1）将坐标代入抛物线解析式得，，解得，抛物线的解析式为：，令,得，则,设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，如图，过点P作轴，交于点D．设点P的坐标为，则点D的坐标为．∴．由，得．解得，．∴点P的坐标为或；（2）如图，作，垂足为点E．，，，为等腰直角三角形．∴．∴．当点A，N，E共线时，有最小值．最小值n为线段的长．为等腰直角三角形．，，为等腰直角三角形．，△为等腰直角三角形．∴，即点N的坐标为．∴．∴n的值是．解直角三角形及其应用专题易错点：1.混淆概念：对于初学者来说，混淆“对边”、“邻边”和“斜边”的概念是很常见的错误。在直角三角形中，这些边有特定的定义和关系，必须清楚理解。2.误用三角函数：学生可能会错误地使用三角函数，例如，将正弦函数用于计算余弦值，或者将余弦函数用于计算正弦值。此外，混淆度数和弧度也是常见的错误。3.计算错误：在计算过程中，可能会由于四舍五入、笔误或其他原因产生计算错误。因此，建议在计算过程中进行多次检查，以确保准确性。4.忽视题目条件：在解决实际问题时，学生可能会忽视题目中给出的条件，从而导致错误的答案。因此，在解决问题时，必须仔细阅读题目，确保理解并考虑了所有的条件。5.不恰当的近似：在某些情况下，可能需要使用近似值来简化计算。然而，如果不恰当地使用近似值，可能会导致结果不准确。因此，必须明确何时可以使用近似值，何时需要保持精确。6.忽视单位：在处理实际问题时，单位是非常重要的。忽视单位或者错误地转换单位都可能导致错误的结果。因此，必须确保在计算过程中始终考虑单位。易错点1：解非直角三角形例：如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．【详解】过点A作于点C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴点A的坐标是．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．变式1：如图，在和中，，，，且点B，C，E在同一条直线上，与交于点F，连接、，若，．则的长为．【答案】/【分析】先证明，由此得到，可见的、边AC、都是确定的，因此可通过解求出AD长．【详解】解：如图，分别过点A、D作，，则，在和中，由，，可得：，，∵，，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，分别解和，可得，，∴，又，∴四边形AMND是平行四边形，∴，∴，解，过点D作，由于，，故可设，则，，，由于，故得到，解得，∴．【点睛】本题重点考查了解直角三角形的相关知识．在直角三角形中，知道了除直角外的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其他三个元素．如果没有直角三角形，有时需要构造直角三角形．本题中的的、边AC、经过分析可知都是确定的，故可“化斜为直”，构造直角三角形是解题的关键．变式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论；（2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；（3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴设，则（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，过作于，如图2所示：则，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：过点作于，如图3所示：∵，∴设，则（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。易错点2：仰角、俯角问题例：如图，在200米高的峭壁上端A处，测得塔的塔顶C与塔基D的俯角分别为和，那么塔高是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查仰角、俯角的概念，以及解直角三角形方法．构造为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质及相应的三角函数求得，长，进而求解．【详解】解：延长交过A的水平线于点E．

∵在高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角分别为．∴．∵在高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为，且，∴，∴．故选B．变式1：如图，河旁有一座小山，从山顶处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，通过测量可知河的宽度为．现需从山顶到河对岸点拉一条笔直的缆绳，则．（计算结果用含根号的式子表示）．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．根据题意构造直角三角形；利用公共边构造等量关系，进而可求出答案．【详解】解：作交的延长线于点，在中，，，，，设，则，，，，，，解得：，（米）．答：缆绳的长为米．故答案为：变式2：信号山公园位于青岛老城区的中心位置，山顶有幢红色蘑菇楼，取意于古代通信的柄火炬，其中旋转观景楼高共层，楼内镶嵌着反映人类通信发展史的大型彩色釉画某校数学社团登上信号山开展实践活动，他们利用无人机在点处测得观景楼顶端的俯角为，测得观景楼底端的俯角为，此时无人机到山顶地面的垂直距离为米，求旋转观景楼的高度(结果保留整数)．(参考数据：，，，，)【答案】旋转观景楼的高度约为米【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：延长交于点，由题意得：米，，在中，，(米)在中，，(米)(米)旋转观景楼的高度约为米．易错点3：方位角问题例：现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（

）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键；过点B作于点D，根据，，利用三角形内角和定理求出，在得出长度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的长．【详解】如图所示：过点B作于点D，

由题意得：，，，，，，，（千米），，（千米），（千米），故选：A变式1：某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，若轮船继续向正东方向行驶，则轮船与小岛的最短距离海里．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确证明是等腰三角形是解决本题的关键．先过作的垂线，在直角中可以求得，证明是等腰三角形，即可求解．【详解】解：如图，过作的垂线，即为所求，，，，，，（海里），（海里），故答案为：．变式2：2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的北偏西方向上的点A处，且在C岛的南偏西方向上，已知B市在C岛的南偏西方向上，且距离C岛116km．此时，“雪龙2”船沿着方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（参考数据：，，，，，）

【答案】“雪龙2”船大约13点钟到达C岛【分析】本题考查解直角三角形，方向角问题．根据题意过点A作，设，，列方程计算出，，继而得到本题答案．【详解】解：过点A作，，由题意知，，，km，∵，，∴设，，则，∴，解得：，∴，∵，∴，，，答：“雪龙2”船大约13点钟到达C岛．易错点4：坡角、坡比问题例：为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，由题意得：，，斜面的坡度，，设米，则米，在中，（米，在中，，米，（米，米，，解得：，（米，斜坡的长约为10米．故选：B变式1：如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角是，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是12米，梯坎坡度，米．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的长．【详解】解：如下图，延长交于H，作于G，则米，，梯坎坡度，，设米，则米，在中，米，由勾股定理得：，解得：，米，米，（米），米，，，是等腰直角三角形，米，米，故答案为：．变式2：在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，点A、B、F三点共线，且，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡CE的坡比为，旗杆的高度为多少米？（结果保留根号）

【答案】米【分析】本题考查了与坡度、坡比有关的解直角三角形的实际应用，作辅助线构造直角三角形是本题的关键；作于G，于H；设米，由坡比得，由勾股定理即可求得x的值，进而求得的长度；在中，由正切关系求出，则由即可求解．【详解】解：作于G，于H，则四边形为矩形，∴，设米，∵斜坡的坡比为，∴，由