高斯小学奥数含答案三年级(下)第13讲简单抽屉原理

第十三讲简

单抽屉原理

苹果•这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理.

一般地，我们有如下结论：

抽屉原理I

把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，

里面至少有2个苹果.

以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均

放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果.但如果把10个苹果放进9个抽屉，

这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果,因为即使每个

抽履都放1个苹果时，也只能放进199个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使

该抽屉中有2个苹果.

类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面

至少有2个苹果.事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉

里放99911个苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个.但如果把100个

苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉

中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果.

我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理.

抽屉鸟理H

把m个苹果放入n个抽屉(m大于n)，结果有两种可能:

(1)如果mn没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“mn”个苹果；

(2)如果mn有余数，那么就一定有抽屉至少放了“mn的商再加T个苹果.

抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出

的，在组合数学中有着非常重要的地位.

如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了苹果.

如果把97片培根放在8个盘子，那么一定有盘子至少放了培根.

如果把98只羊放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了羊.

回想刚才得出抽屉原理的过程,在计算时我们都使用了平均分配的思想.为什么要平

构分呢？因为只有这样做才能使得放入同一个抽屉的苹果尽量少，求出的结果才是至少

个•虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果尽量

少一这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形.这一原则不仅体现

在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常有用.

飞嬴例题〔

T、鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条•至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5

条相同品种的鱼？

分析：如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有

多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了.

冲练习1

一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6

个相同颜色的彩球？

例题2

一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有

3个，绿色的有1个-现在闭着眼睛从中摸球，清问：

(1)至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？

(2)至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？

分析：仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？

金QJ2

爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗•小明特别喜欢吃

苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能

保证能拿到两种口味的糖？

将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入个布袋里.请问:

(1)一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？

(2)一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？(两只袜子颜色相同即为一双)

分析：结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？

练习3

袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只-现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问:

(1)至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？

(2)至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？

Q例题4

一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张.现

在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至

少都有3张，那么最少要取出多少张牌？

分析：本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两

个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？

口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个-要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠

子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？

a例题5

大头把一副围棋子混装在一个盒子中(围棋子有黑、白两种颜色)，然后每次从盒子中摸出4

枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？(不必考虑每次摸出的4

枚棋子的顺序)

分析：摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多可能摸了几次?

☆XI☆

鸽巢原理

r鸽巢原理又名抽屉原理或狄利克雷原理，它由德国数学家狄利克雷(Divichlet，1805-1855)

首先发现-鸽巢原理在组合学中占据着非常重要的地位，它常被用来证明一些关于存在性的数学

问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用-使用鸽巢原理解题的关键是巧妙构造鸽巢或抽

屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则-鸽巢原理的应用在几何图形中：

例：在边长为2的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1.

分析：由题意，可以构造出4个抽屉，每个抽屉满足在其中的距离至多为1•根据抽屉原理，在

隐一

4个抽屉里分别放置4个点，不论第5个点如何放置，都满足两点之间的距离最多为1.

国王让阿凡提在88的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒.结果每个格子里至少放一粒米，

无论怎么放都至少有3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒?

分析：至少有3个格子里的米粒一样多的反面是最多只有2个格子的米粒数一样多，想想这

时格子里至少有多少个米粒？

例题6

二桃杀三士

《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事-齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶

子-这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳・但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国

的宰相晏婴-晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，

按功劳的大小吃桃.

三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子,于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田

开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃-两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳-公孙接、田开疆

都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子-并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃

桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了-古冶子见了，后悔不迭•仰天长叹道：“如

果放弃桃子而隐瞒功劳，

则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气.如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什

么勇士！”说罢，也拔剑自杀了.

晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋•汉朝的一

位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：”……一朝被谗言，二桃杀三士•诜

能为心谋，相国务晏子！"_______________________________________________________________________________

|值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理一一抽屉原理.

在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽

屉里，即有两人必须合吃一个桃子.如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避

免.

作业

1.口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个•小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出

1个球.他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？

2.小钱的存钱罐中有4种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、

20个.小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的

面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？

3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根.在黑暗中取出一些筷

廷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）

#4.盒子里一共有4种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件,

3个？

才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有

5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜.

至少有多少名学生，才

能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？

第十三讲简单抽屉原理

1

答案：17

解答：17-最不利情况是没有5条相同品种的鱼，这时最多每个品种都有4条鱼，一共4416条-只要比

16条多，就能保证有5条相同品种的鱼了-因此至少捞出17条鱼.

2.例题2

答案：(1)19;(2)15.

解答：(1)如果取出的球没有三种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种，红球和黄球最多，全都取出共有10818

个球-只要多于18个，就能保证有三种颜色的球了，因此至少取出19个.

(2)如果取出的球中红球和黄球不同时出现，最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出，并且红球和黄球中的一种也都取出，

红球比黄球多，应将红球全部取出，此时共取出311014个球，因此至少取出15个球，

才能保证红球黄球同时出现.

3.例题3

答案：(1)13;(2)14.

解答：C)如果没有颜色相同的两双袜子，这时每种颜色的袜子至多3只＞一共至多1233312只.因

此至少摸出13只才能保证有两双颜色相同的袜子.

(2)如果没有颜色不同的两双袜子，那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的，这时最多有

9111113只袜子-因此至少摸出14只才能保证有两双颜色不同的袜子.

4.例题4

答案：33.

解答：反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张最不利的情况就要使取的牌尽量多，

我们应该将其中两种花色尽量多取、剩下两种花色都取2张，包括2张大小王牌，最多能取

13222232张牌-因此至少取出33张才能保证满足要求.

5.例题5

答案：11.

解答：摸出的棋子的颜色情况有五种：4白、3白1黑、2白2黑、1白3黑、4黑•根据最不利原则，如果没

有三次摸出棋子颜色情况相同，最多是每种情况各摸出2次，一共2510次•只要摸的次数比10次多，就

能保证至少有三次摸出棋子颜色情况相同-因此至少摸11次.

6.例题6

答案:1055.

简答：如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有112233L32321056个米粒・

如果少于1056个米粒，就必然有三个格子里的米粒数一样多，

因此至多有1055个米粒.

7.练习1

答案：36.

简答：如果不满足条件，最多可以取出7535个彩球，因此取出36个彩球就能保证有6个颜色相同的.

8.练习2

答案：61：31.

简答：第一个问题，如果不满足条件，拿的都不是苹果味的，最多拿光了桔子味的和菠萝味的，一共303060

颗.因此至少拿61颗，才能保证拿到苹果味的.第二个问题，如果拿的不到两种口味，最多一种口味，最多可以拿30颗，因

此至少拿31颗才能保证拿到两种口味.

9.练习3

答案：(1)10;(2)13.

简答：C)至少摸出333110只袜子.(2)至少摸出1012113只袜子.

答案：2